Centrul de greutate al unei suprafețe

Centrul de greutate al unei plăci plane omogene este punctul în care se poate considera concentrată toată greutatea plăcii; placa sprijinită în acest punct rămâne în echilibru. Pentru regiunea de sub $f(x)\ge 0$ pe $[a;b]$, cu aria $A={\int }_a^{b}f(x)dx>0$, coordonatele sunt $x_G=\frac{1}{A}{\int }_a^{b}xf(x)dx$ și $y_G=\frac{1}{2A}{\int }_a^{b}f(x{)}^{2}dx$.

Exemplu rezolvat. Pentru dreptunghiul de sub $f(x)=2$ pe $[0;4]$:

1. $A={\int }_0^{4}2dx=8$.
2. $x_G=\frac{1}{8}{\int }_0^{4}2xdx=2$.
3. $y_G=\frac{1}{16}{\int }_0^{4}4dx=1$, deci centrul este $(2;1)$.

De unde vin formulele. Regiunea de sub graficul lui $f$ se împarte în fâșii verticale subțiri, de lățime $dx$. Fâșia de abscisă $x$ are aria $f(x)dx$, iar centrul ei se află la înălțimea $\frac{f(x)}{2}$. Placa fiind omogenă, masa este proporțională cu aria, deci centrul de greutate al întregii regiuni este media ponderată cu ariile a centrelor fâșiilor. Abscisele dau $x_G=\frac{{\int }_a^{b}xf(x)dx}{{\int }_a^{b}f(x)dx}$, iar ordonatele dau $y_G=\frac{{\int }_a^b\frac{f(x)}{2}f(x)dx}{A}=\frac{1}{2A}{\int }_a^{b}f(x{)}^{2}dx$.

Regiunea dintre două grafice. Dacă $g(x)\le f(x)$ pe $[a;b]$, regiunea dintre graficele lor are aria $A={\int }_a^b(f-g)dx$. Fâșia de abscisă $x$ are aria $(f-g)dx$ și centrul la înălțimea $\frac{f+g}{2}$, deci

Dacă densitatea depinde numai de $x$ și este $\rho (x)$, aria se înlocuiește cu masa: $x_G=\frac{\int x\rho f}{\int \rho f}$ și $y_G=\frac{\int \frac{1}{2}\rho f^2}{\int \rho f}$.

Exemplu rezolvat. Sub dreapta $y=x$, între $0$ și $2$, avem $g=0$ și $A={\int }_0^{2}xdx=2$.

1. Abscisa este $x_G=\frac{1}{2}{\int }_0^2{x}^{2}dx=\frac{1}{2}\cdot \frac{8}{3}=\frac{4}{3}$.
2. Ordonata este $y_G=\frac{1}{4}{\int }_0^2{x}^{2}dx=\frac{1}{4}\cdot \frac{8}{3}=\frac{2}{3}$.
3. Centrul $\left(\frac{4}{3};\frac{2}{3}\right)$ coincide cu media coordonatelor vârfurilor $(0;0)$, $(2;0)$ și $(2;2)$ ale triunghiului obținut.

Exemplu rezolvat. Regiunea de sub parabola $y=x^2$, pentru $x\in [0;1]$, are $A={\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{1}{3}$.

1. Abscisa este $x_G=3{\int }_0^1{x}^{3}dx=\frac{3}{4}$.
2. Ordonata este $y_G=\frac{1}{2A}{\int }_0^1{x}^{4}dx=\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{5}=\frac{3}{10}$.
3. Centrul este $\left(\frac{3}{4};\frac{3}{10}\right)$. Abscisa depășește $\frac{1}{2}$, deoarece regiunea are mai multă arie lângă $x=1$ decât lângă $x=0$.

Exemplu rezolvat. Aflăm centrul de greutate al regiunii mărginite de $y=x$ și $y=x^2$, adică de graficele lui $f(x)=x$ și $g(x)=x^2$ pe $[0;1]$, unde $g\le f$.

1. Aria este $A={\int }_0^1(x-x^2)dx=\frac{1}{6}$.
2. Abscisa este $x_G=6{\int }_0^1(x^2-x^3)dx=6\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{2}$.
3. Ordonata este $y_G=\frac{1}{2A}{\int }_0^1(x^2-x^4)dx=3\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)=\frac{2}{5}$.
4. Centrul este $\left(\frac{1}{2};\frac{2}{5}\right)$. Punctul se află între cele două grafice, fiindcă pentru $x=\frac{1}{2}$ avem $x^2=\frac{1}{4}<\frac{2}{5}<\frac{1}{2}=x$; la o regiune convexă, centrul de greutate se află în interiorul regiunii.

Regiuni compuse. Momentele se adună, ca și ariile, deci dacă regiunea se împarte în părți cu ariile $A_1;A_2;\dots$ și centrele $G_1;G_2;\dots$, atunci $x_G=\frac{A_1{x}_1+A_2{x}_2+\cdots }{A_1+A_2+\cdots }$, iar $y_G$ se scrie la fel. Placa în formă de L, formată din dreptunghiul $[0;2]\times [0;1]$, cu aria $2$ și centrul $\left(1;\frac{1}{2}\right)$, și din dreptunghiul $[0;1]\times [1;3]$, cu aria $2$ și centrul $\left(\frac{1}{2};2\right)$, are $x_G=\frac{2\cdot 1+2\cdot \frac{1}{2}}{4}=\frac{3}{4}$ și $y_G=\frac{2\cdot \frac{1}{2}+2\cdot 2}{4}=\frac{5}{4}$.

Axe de simetrie. Dacă regiunea are o axă de simetrie, centrul de greutate se află pe ea. Dacă regiunea este simetrică față de axa $Ox$, adică se află între $g=-f$ și $f$, atunci $y_G=0$, fiindcă $f^2-g^2=0$. Pentru semidiscul de sub $f(x)=\sqrt{R^2-x^2}$ pe $[-R;R]$, axa $Oy$ este axă de simetrie, deci $x_G=0$. Aria este $A=\frac{\pi R^2}{2}$, iar ordonata este $y_G=\frac{1}{\pi R^2}{\int }_{-R}^R(R^2-x^2)dx=\frac{1}{\pi R^2}\cdot \frac{4R^3}{3}=\frac{4R}{3\pi }\approx 0,42R$.

Punctul de întâlnire a medianelor este în interiorul oricărui triunghi nedegenerat. Raportul pe fiecare mediană se măsoară de la vârf: porțiunea până la centru este de două ori mai lungă decât porțiunea rămasă până la mijlocul laturii opuse.

Greșeli frecvente

• Greșit: centrul de greutate este mereu în originea reperului.
  Corect: depinde de poziția și forma regiunii.
• Greșit: la $y_G$ se integrează doar $f$, ca la arie.
  Corect: intervine $f^2/2$ pentru regiunea de sub grafic.
• Greșit: formulele pentru lamă omogenă se aplică fără modificări unei densități variabile.
  Corect: se folosesc momente ponderate.
• Greșit: pentru semidisc, $y_G=\frac{R}{2}$, adică la jumătatea înălțimii.
  Corect: $y_G=\frac{4R}{3\pi }\approx 0,42R$, sub jumătatea înălțimii, fiindcă semidiscul are mai multă arie lângă diametru.
• Greșit: la un triunghi dreptunghic cu catetele pe axe, de lungimi $a$ și $b$, centrul de greutate este la mijlocul ipotenuzei.
  Corect: este punctul $\left(\frac{a}{3};\frac{b}{3}\right)$, la o treime din fiecare catetă, măsurată de la unghiul drept.

Înainte și după