Limite de șiruri calculate cu integrala definită

Dacă $f$ este continuă pe $[a;b]$, diviziunea în $n$ părți egale are punctele $x_k=a+k\cdot \frac{b-a}{n}$ și norma $\frac{b-a}{n}\to 0$. Sumele Riemann cu aceste puncte tind la integrală:

Cazul cel mai des întâlnit este $[a;b]=[0;1]$, cu suma $\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)$ și limita ${\int }_0^{1}f(x)dx$. Un șir dat ca sumă se transformă în integrală astfel:

1. se scoate din fiecare termen factorul $\frac{1}{n}$, care este lățimea unei bucăți;
2. se scrie restul termenului numai cu $\frac{k}{n}$;
3. se recunoaște funcția $f$, cu $x=\frac{k}{n}$, și intervalul $[0;1]$;
4. limita șirului este ${\int }_0^{1}f(x)dx$.

Dacă punctele sunt $a+k\cdot \frac{b-a}{n}$, în locul factorului $\frac{1}{n}$ apare $\frac{b-a}{n}$, iar intervalul este $[a;b]$.

Exemplu rezolvat. Calculăm ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^n\frac{k}{n}$. Funcția este $f(x)=x$ pe $[0;1]$, deci limita este ${\int }_0^{1}xdx=\frac{1}{2}$. Direct, suma este $\frac{1}{n^2}\cdot \frac{n(n+1)}{2}=\frac{n+1}{2n}\to \frac{1}{2}$, ceea ce confirmă rezultatul.

De ce funcționează. Cu $x_k=\frac{k}{n}$ pe $[0;1]$, intervalele $[x_{k-1};x_k]$ au lungimea $\frac{1}{n}$, iar ${\xi }_k=\frac{k}{n}$ este capătul drept al fiecărui interval. Suma $\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)$ este deci o sumă Riemann. Cum $f$ este continuă, ea este integrabilă și sumele tind la integrală când norma tinde la $0$, indiferent de punctele intermediare alese. De aceea, capetele stângi, ${\sum }_{k=0}^{n-1}$, dau aceeași limită: diferența dintre cele două sume este $\frac{f(1)-f(0)}{n}\to 0$. Pentru $f(x)=x^2$ și $n=1000$, sumele cu capete stângi și drepte sunt aproximativ $0,3328$ și $0,3338$, iar integrala este $\frac{1}{3}$.

Cum găsești intervalul. Pentru $x=\frac{k}{n}$, indicele $k=1$ dă un punct care tinde la $0$ când $n\to \infty$, iar $k=n$ dă exact $1$; de aceea intervalul este $[0;1]$. Dacă suma are forma ${\sum }_{k=1}^{n}g(k,n)$, se caută transformarea $g(k,n)=\frac{1}{n}f\left(\frac{k}{n}\right)$, adică se împarte numărătorul și numitorul la o putere potrivită a lui $n$. Dacă punctele sunt de forma $a+k\cdot \frac{b-a}{n}$, factorul $\frac{b-a}{n}$ se introduce prin înmulțire și împărțire, iar constanta rămasă iese în fața limitei.

Exemplu rezolvat. Calculăm ${\lim }_{n\to \infty }{\sum }_{k=1}^n\frac{k}{n^2+k^2}$.

1. Împărțim numărătorul și numitorul la $n^2$: $\frac{k}{n^2+k^2}=\frac{1}{n}\cdot \frac{k/n}{1+(k/n{)}^2}$.
2. Funcția este $f(x)=\frac{x}{1+x^2}$, continuă pe $[0;1]$.
3. Limita este ${\int }_0^1\frac{x}{1+x^2}dx=\frac{1}{2}\ln (1+x^2){|}_0^1=\frac{1}{2}\ln 2$, adică aproximativ $0,3466$. Pentru $n=2000$, suma este aproximativ $0,34670$.

Exemplu rezolvat. Calculăm ${\lim }_{n\to \infty }\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{2n}\right)$. Suma are $n$ termeni, $\frac{1}{n+k}$ cu $k=1,\dots ,n$, și fiecare tinde la $0$, dar numărul lor crește, deci regula sumei nu se aplică. Scriem $\frac{1}{n+k}=\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{1+\frac{k}{n}}$. Funcția este $f(x)=\frac{1}{1+x}$, continuă pe $[0;1]$, deci limita este ${\int }_0^1\frac{dx}{1+x}=\ln (1+x){|}_0^1=\ln 2$. Pentru $n=2000$ suma este aproximativ $0,69302$, iar $\ln 2\approx 0,69315$.

Ultimul indice al sumei determină capătul din dreapta al intervalului. De exemplu, în ${\sum }_{k=1}^{2n}\frac{1}{n+k}=\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^{2n}\frac{1}{1+k/n}$ punctul $\frac{k}{n}$ ajunge până la $2$, deci intervalul este $[0;2]$, iar limita este ${\int }_0^2\frac{dx}{1+x}=\ln 3$.

Exemplu rezolvat. Calculăm ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n}\left(e^{1/n}+e^{2/n}+\cdots +e^{n/n}\right)$. Suma este $\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^n{e}^{k/n}$, deci $f(x)=e^x$ și limita este ${\int }_0^1{e}^{x}dx=e-1$. Verificare: suma este geometrică, cu rația $e^{1/n}$, și este egală cu $\frac{1}{n}\cdot e^{1/n}\cdot \frac{e-1}{e^{1/n}-1}$. Cum $\frac{e^{1/n}-1}{1/n}\to 1$ (limită remarcabilă), rezultatul este tot $e-1\approx 1,718$.

Exemplu rezolvat. Calculăm ${\lim }_{n\to \infty }{\sum }_{k=1}^n\frac{n}{n^2+k^2}$. Împărțim la $n^2$: $\frac{n}{n^2+k^2}=\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{1+(k/n{)}^2}$, deci $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$ și limita este ${\int }_0^1\frac{dx}{1+x^2}=\mathrm{arctg}x{|}_0^1=\frac{\pi }{4}$. Pentru $n=2000$ suma este aproximativ $0,78527$, iar $\frac{\pi }{4}\approx 0,78540$.

Exemplu rezolvat. Calculăm ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1^3+2^3+\cdots +n^3}{n^4}$. Termenul general este $\frac{k^3}{n^4}=\frac{1}{n}{\left(\frac{k}{n}\right)}^3$. Funcția este $f(x)=x^3$, deci limita este ${\int }_0^1{x}^{3}dx=\frac{1}{4}$. Se verifică cu formula sumei cuburilor: $\frac{n^2(n+1{)}^2}{4n^4}=\frac{(n+1{)}^2}{4n^2}\to \frac{1}{4}$.

Exemplu rezolvat. Calculăm ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^n\sin \frac{k\pi }{n}$. Argumentul este $\pi \cdot \frac{k}{n}=\pi x$, deci $f(x)=\sin (\pi x)$ pe $[0;1]$. Limita este ${\int }_0^1\sin (\pi x)dx=-\frac{\cos (\pi x)}{\pi }{|}_0^1=\frac{1-(-1)}{\pi }=\frac{2}{\pi }$.

Exemplu rezolvat. Calculăm ${\lim }_{n\to \infty }{\sum }_{k=1}^n\frac{2}{n}\sqrt{1+\frac{2k}{n}}$. Punctele sunt $1+\frac{2k}{n}=a+k\cdot \frac{b-a}{n}$ cu $a=1$ și $b=3$, iar factorul $\frac{2}{n}=\frac{b-a}{n}$ este lățimea. Funcția este $f(x)=\sqrt{x}$ pe $[1;3]$, deci limita este ${\int }_1^3\sqrt{x}dx=\frac{2}{3}x\sqrt{x}{|}_1^3=\frac{2}{3}(3\sqrt{3}-1)$, adică aproximativ $2,797$.

Exemplu rezolvat. Calculăm $L={\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{\frac{(n+1)(n+2)\cdots (2n)}{n^n}}$. Împărțim fiecare factor al numărătorului la $n$: expresia de sub radical este ${\prod }_{k=1}^n\left(1+\frac{k}{n}\right)$. Logaritmul ei, împărțit la $n$, este $\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^n\ln \left(1+\frac{k}{n}\right)$, o sumă Riemann a funcției $\ln (1+x)$ pe $[0;1]$, cu limita ${\int }_0^1\ln (1+x)dx=2\ln 2-1$. Prin continuitatea exponențialei, $L=e^{2\ln 2-1}=\frac{4}{e}$.

Greșeli frecvente

• Greșit: ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^n\frac{k}{n}=1$, pentru că ultimul termen este $\frac{n}{n}=1$.
  Corect: valorile $\frac{k}{n}$ parcurg intervalul $[0;1]$, iar limita este ${\int }_0^{1}xdx=\frac{1}{2}$.
• Greșit: ${\lim }_{n\to \infty }{\sum }_{k=1}^n\frac{1}{n+k}=0$, pentru că fiecare termen tinde la $0$.
  Corect: suma are $n$ termeni, iar limita este ${\int }_0^1\frac{dx}{1+x}=\ln 2$.
• Greșit: $\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^n\sin \frac{k\pi }{n}$ are limita ${\int }_0^1\sin xdx$.
  Corect: $\frac{k\pi }{n}=\pi \cdot \frac{k}{n}$, deci funcția este $\sin (\pi x)$, iar limita este $\frac{2}{\pi }$.
• Greșit: înlocuiești orice sumă cu o integrală fără să găsești factorul $\frac{1}{n}$.
  Corect: identifici mai întâi pasul și îl scoți prin transformare algebrică dacă este ascuns.
• Greșit: ${\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{1}{2}$.
  Corect: primitiva este $\frac{x^3}{3}$, deci integrala este $\frac{1}{3}$.

Înainte și după