Teoremele lui Rolle și Lagrange

Teorema lui Rolle spune că, dacă $f$ este continuă pe $[a;b]$, derivabilă pe $(a;b)$ și $f(a)=f(b)$, există cel puțin un $c\in (a;b)$ cu $f^{\prime }(c)=0$. Teorema lui Lagrange înlocuiește egalitatea valorilor de la capete cu o pantă medie: există $c\in (a;b)$ cu $f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

Exemplu rezolvat. Pentru $f(x)=x^2$ pe $[-1;1]$:

1. Polinomul este continuu și derivabil.
2. $f(-1)=f(1)=1$, deci aplicăm Rolle.
3. $f^{\prime }(x)=2x$ se anulează la $c=0$, aflat în interval.

Rolle: dacă $f$ este continuă pe $[a;b]$, derivabilă pe $(a;b)$ și $f(a)=f(b)$, există $c\in (a;b)$ cu $f^{\prime }(c)=0$. Lagrange: dacă $f$ este continuă pe $[a;b]$ și derivabilă pe $(a;b)$, există $c\in (a;b)$ cu $f(b)-f(a)=f^{\prime }(c)(b-a)$. Geometric, Rolle dă un punct al graficului cu tangentă orizontală, iar Lagrange dă un punct în care tangenta este paralelă cu secanta dintre $A(a;f(a))$ și $B(b;f(b))$. În limbaj de mișcare, Lagrange spune că un automobil care parcurge $150$ km în $2$ ore are la un moment dat viteza instantanee exact $75$ km/h.

Rolle se demonstrează astfel: o funcție continuă pe $[a;b]$ își atinge valoarea maximă și valoarea minimă. Dacă ele coincid, $f$ este constantă și $f^{\prime }=0$ peste tot. Altfel, cel puțin una este atinsă într-un punct interior $c$, deoarece $f(a)=f(b)$, iar teorema lui Fermat din lecția „Extremele funcțiilor” dă $f^{\prime }(c)=0$. Lagrange rezultă din Rolle aplicată funcției $g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$, pentru care $g(a)=g(b)=f(a)$.

Fiecare ipoteză contează. Funcția $|x|$ pe $[-1;1]$ are $f(-1)=f(1)$, dar derivata nu se anulează nicăieri, fiindcă $|x|$ nu este derivabilă în $0$. Funcția $f(x)=x$ pentru $x\in [0;1)$, cu $f(1)=0$, are $f(0)=f(1)$ și derivata $1$, dar nu este continuă în $1$.

Consecințe ale teoremei lui Lagrange:

• dacă $f^{\prime }=0$ pe un interval, $f$ este constantă pe acel interval; dacă $f^{\prime }=g^{\prime }$ pe un interval, $f-g$ este constantă;
• dacă $f^{\prime }\ge 0$ pe un interval, $f$ este crescătoare, iar dacă $f^{\prime }>0$, strict crescătoare (detaliile sunt în lecția „Monotonia prin derivată”);
• dacă $f$ este continuă în $x_0$, derivabilă pe o vecinătate a lui $x_0$ fără $x_0$ și există ${\lim }_{x\to x_0}{f}^{\prime }(x)=\ell$, atunci $f^{\prime }(x_0)=\ell$; funcția este derivabilă în $x_0$ când $\ell$ este finit;
• între două rădăcini ale unei funcții derivabile $f$ se află cel puțin o rădăcină a lui $f^{\prime }$, deci dacă $f^{\prime }$ are cel mult $k$ rădăcini pe un interval, $f$ are cel mult $k+1$ rădăcini distincte pe acel interval.

Prima consecință se aplică astfel: $h(x)=\mathrm{arctg}x+\mathrm{arctg}\frac{1}{x}$ are $h^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{x^2+1}=0$ pe intervalul $(0;+\infty )$, deci $h$ este constantă acolo și egală cu $h(1)=\frac{\pi }{2}$.

Exemplu rezolvat. Aplicăm Rolle funcției $f(x)=x^3-3x$ pe $[-\sqrt{3};\sqrt{3}]$.

1. Polinomul este continuu și derivabil pe $\mathbb{R}$.
2. $f(-\sqrt{3})=f(\sqrt{3})=0$.
3. $f^{\prime }(x)=3x^2-3=0$ pentru $x=\pm 1$, iar ambele valori sunt în $(-\sqrt{3};\sqrt{3})$.

Exemplu rezolvat. Pentru $f(x)=x^3$ pe $[0;2]$, panta secantei este $\frac{8-0}{2}=4$. Ecuația $f^{\prime }(c)=3c^2=4$ are soluțiile $\pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$; doar $c=\frac{2\sqrt{3}}{3}\approx 1,15$ aparține lui $(0;2)$.

Exemplu rezolvat. Arătăm că ecuația $x^3-3x+1=0$ are exact trei rădăcini reale.

1. $f^{\prime }(x)=3(x-1)(x+1)$ are două rădăcini, deci $f$ are cel mult trei.
2. $f(-2)=-1$, $f(-1)=3$, $f(1)=-1$, $f(2)=3$: schimbările de semn dau câte o rădăcină în $(-2;-1)$, $(-1;1)$ și $(1;2)$.
3. Sunt cel puțin trei rădăcini și cel mult trei, deci exact trei.

Exemplu rezolvat. Pentru $x>0$ aplicăm Lagrange funcției $\ln (1+t)$ pe $[0;x]$: $\ln (1+x)=\frac{x}{1+c}$ cu $c\in (0;x)$. Din $1<1+c<1+x$ rezultă $\frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x$.

Exemplu rezolvat. Funcția $f(x)=e^{2x}-1$ pentru $x\le 0$, $f(x)=\ln (1+2x)$ pentru $x>0$ este continuă în $0$, iar $f^{\prime }(x)=2e^{2x}\to 2$ la stânga, $f^{\prime }(x)=\frac{2}{1+2x}\to 2$ la dreapta. Conform consecinței, $f^{\prime }(0)=2$.

Greșeli frecvente

• Greșit: Rolle se aplică fără $f(a)=f(b)$.
  Corect: egalitatea este una dintre ipoteze; fără ea se folosește Lagrange.
• Greșit: punctul $c$ poate fi unul dintre capete.
  Corect: teoremele garantează un punct interior.
• Greșit: teorema lui Lagrange garantează un singur $c$.
  Corect: garantează existența, nu unicitatea.
• Greșit: pentru $f(x)=|x|$ pe $[-1;1]$ avem $f(-1)=f(1)$, deci există $c$ cu $f^{\prime }(c)=0$.
  Corect: $|x|$ nu este derivabilă în $0$, deci Rolle nu se aplică, și într-adevăr $f^{\prime }$ nu se anulează.
• Greșit: dacă $f^{\prime }$ are două rădăcini, atunci $f$ are exact trei rădăcini.
  Corect: are cel mult trei; numărul exact se stabilește din semnele valorilor lui $f$.

Înainte și după

Întrebări frecvente