Continuitatea funcțiilor

Funcția $f$ este continuă în punctul $a$ al domeniului ei dacă ${\lim }_{x\to a}f(x)=f(a)$, adică dacă $f(a-0)=f(a+0)=f(a)$. Într-un capăt al unui interval se folosește limita laterală care are sens. Funcția este continuă pe o mulțime dacă este continuă în fiecare punct al ei. Funcțiile elementare (polinomiale, raționale, cu radical, exponențiale, logaritmice, trigonometrice) sunt continue pe domeniile lor. Suma, produsul, câtul (acolo unde numitorul nu se anulează) și compunerea funcțiilor continue sunt funcții continue. La o funcție definită pe ramuri se verifică numai punctele în care se schimbă formula. Pe un interval, funcția continuă are graficul dintr-o singură bucată, care se poate desena fără ridicarea creionului.

Exemplu rezolvat. Definim $f(x)=x+1$ pentru $x\ne 2$ și $f(2)=k$. Aflăm $k$ pentru care $f$ este continuă în $2$.

1. Pentru $x\ne 2$, $f(x)=x+1$, deci ${\lim }_{x\to 2}f(x)=3$.
2. Continuitatea cere $f(2)={\lim }_{x\to 2}f(x)$, adică $k=3$.
3. Pentru $k=3$ funcția coincide cu $x+1$ pe $\mathbb{R}$ și este continuă peste tot.

Operații cu funcții continue. Dacă $f$ și $g$ sunt continue în $a$, atunci $f+g$ și $f\cdot g$ sunt continue în $a$, iar $\frac{f}{g}$ este continuă în $a$ când $g(a)\ne 0$. Dacă $g$ este continuă în $a$ și $f$ este continuă în $g(a)$, atunci $f\circ g$ este continuă în $a$. De exemplu, $h(x)=\frac{\sqrt{x+2}}{x^2-1}$ este continuă pe tot domeniul ei, $[-2;-1)\cup (-1;1)\cup (1;+\infty )$, deoarece radicalul cere $x\ge -2$, iar numitorul se anulează în $\pm 1$. Tipurile de discontinuități (eliminabilă, de salt, infinită) sunt descrise în „Limite și continuitate — introducere”.

Exemplu rezolvat. Studiem continuitatea funcției parte întreagă, $f(x)=[x]$. Pe fiecare interval $(n;n+1)$ cu $n\in \mathbb{Z}$ funcția este constantă, deci continuă. Într-un număr întreg $n$, limita la stânga este $n-1$, limita la dreapta este $n$, iar $f(n)=n$. Cele trei valori nu coincid, deci $f$ este discontinuă în fiecare număr întreg (are salt de lungime $1$). Funcția este continuă la dreapta în $n$, dar nu la stânga.

Teorema semnului. Dacă $f$ este continuă pe un interval $I$ și $f(x)\ne 0$ pentru orice $x\in I$, atunci $f$ păstrează același semn pe tot intervalul $I$. De aceea, între două zerouri consecutive ale unei funcții continue semnul nu se schimbă, ceea ce justifică tabelele de semne.

Proprietatea lui Darboux. Dacă $f$ este continuă pe intervalul $I$, $a<b$ sunt puncte din $I$ și $c$ este un număr cuprins între $f(a)$ și $f(b)$, atunci există $\xi \in [a;b]$ cu $f(\xi )=c$. Echivalent, imaginea unui interval printr-o funcție continuă este un interval. Un caz particular este esențial în aplicații: dacă $f$ este continuă pe $[a;b]$ și $f(a)\cdot f(b)<0$, atunci ecuația $f(x)=0$ are cel puțin o soluție în $(a;b)$. Teorema dă existența soluției, nu unicitatea; pentru unicitate se adaugă monotonia funcției, de exemplu prin semnul derivatei.

Dacă funcția este derivabilă într-un punct, ea este continuă în acel punct. Reciproca nu este adevărată: $|x|$ este continuă în $0$, dar nu este derivabilă în $0$.

Exemplu rezolvat. Funcția $f(x)=x^3-x-1$ este continuă pe $[1;2]$, fiind polinomială. Calculăm $f(1)=-1$ și $f(2)=5$. Cum $f(1)\cdot f(2)<0$, ecuația $f(x)=0$ are cel puțin o soluție în $(1;2)$. Derivata $f^{\prime }(x)=3x^2-1$ este pozitivă pe $[1;2]$ (are valoarea $2$ în $x=1$ și crește), deci $f$ este strict crescătoare și soluția este unică. Valoarea ei este aproximativ $1,3247$.

Exemplu rezolvat. Determinăm numerele reale $a$ și $b$ pentru care funcția

este continuă în $0$. Limita la stânga este ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin 4x}{x}=4\cdot 1=4$, iar limita la dreapta este $b+{\lim }_{x\to 0}\frac{\ln (1+2x)}{x}=b+2$. Continuitatea cere $4=a+1=b+2$, deci $a=3$ și $b=2$.

Exemplu rezolvat. Arătăm că ecuația $e^x+x=3$ are exact o soluție. Fie $g(x)=e^x+x-3$, funcție continuă pe $\mathbb{R}$. Avem $g(0)=-2<0$ și $g(1)=e-2>0$, deci există o soluție în $(0;1)$. Derivata $g^{\prime }(x)=e^x+1$ este pozitivă, deci $g$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$ și soluția este unică. Ea este aproximativ $0,792$.

Proprietatea lui Darboux

O funcție definită pe un interval $I$ are proprietatea lui Darboux dacă, pentru orice $a<b$ din $I$ și orice $\lambda$ între $f(a)$ și $f(b)$, există $c\in [a,b]$ cu $f(c)=\lambda$. Echivalent, imaginea oricărui interval inclus în $I$ este un interval. Orice funcție continuă pe un interval are această proprietate. Intuitiv, graficul unei funcții continue se desenează dintr-o singură trăsătură: dacă un punct al graficului este sub axa $Ox$ și altul deasupra ei, curba taie axa între ele.

Consecința uzuală: dacă $f$ este continuă pe $[a,b]$ și $f(a)\cdot f(b)<0$, ecuația $f(x)=0$ are cel puțin o soluție în $(a,b)$. Pentru a arăta că ecuația $f(x)=g(x)$ are o soluție într-un interval:

1. Formezi $h=f-g$ și verifici că este continuă pe $[a,b]$.
2. Arăți că $h(a)$ și $h(b)$ au semne contrare.
3. Concluzia este că există $c\in (a,b)$ cu $h(c)=0$, adică $f(c)=g(c)$.
4. Dacă enunțul cere o soluție unică, arăți și că $h$ este strict monotonă pe interval, de exemplu cu semnul derivatei.

O funcție continuă care nu se anulează pe un interval are semn constant pe el, deci semnul se află dintr-o singură valoare calculată în interval. O funcție cu un salt nu are proprietatea: partea întreagă $f(x)=[x]$ ia pe $[0,2]$ valorile $0$ și $2$, dar nu ia valoarea $\frac{1}{2}$. Reciproca nu este adevărată: există funcții cu proprietatea lui Darboux care nu sunt continue. Conform teoremei lui Darboux, derivata unei funcții derivabile pe un interval are proprietatea lui Darboux, chiar dacă nu este continuă; de aceea o funcție cu salt nu poate fi derivata unei funcții.

Exemplu rezolvat. Arată că ecuația $x^3+x-1=0$ are o singură soluție reală, situată în $\left(\frac{1}{2},1\right)$.

1. Funcția $f(x)=x^3+x-1$ este continuă pe $\mathbb{R}$, ca orice polinom.
2. $f\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{3}{8}<0$ și $f(1)=1>0$, deci există o soluție în $\left(\frac{1}{2},1\right)$.
3. $f$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$, ca sumă de funcții strict crescătoare, deci nu are alte zerouri.

La o funcție definită pe ramuri, continuitatea într-un punct de îmbinare cere trei valori egale: limita la stânga, limita la dreapta și valoarea funcției. Uneori una dintre limite este o formă $\frac{0}{0}$, care se rezolvă mai întâi.

Problemă. Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=ax+1$ pentru $x\le 3$ și $f(x)=\frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}$ pentru $x>3$, este continuă în $3$ pentru:

• a) $a=\frac{1}{4}$
• b) $a=\frac{1}{12}$
• c) $a=-\frac{1}{3}$
• d) $a=-\frac{1}{4}$
• e) $a=-\frac{1}{6}$
• f) nicio valoare a lui $a$

Rezolvare. Valoarea în $3$ este $f(3)=3a+1$, iar limita la stânga coincide cu ea. La dreapta, limita are forma $\frac{0}{0}$. Amplificăm cu conjugata: $\frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}=\frac{(x+1)-4}{(x-3)(\sqrt{x+1}+2)}=\frac{1}{\sqrt{x+1}+2}$ pentru $x>3$, iar limita este $\frac{1}{2+2}=\frac{1}{4}$. Condiția $3a+1=\frac{1}{4}$ dă $3a=-\frac{3}{4}$, adică $a=-\frac{1}{4}$. Numeric, pentru $x=3,0001$ valoarea ramurii din dreapta este aproximativ $0,24999$. Răspunsul corect este d). Varianta b) rezolvă $3a=\frac{1}{4}$ și uită termenul $1$. Varianta a) egalează direct $a$ cu limita. Varianta e) folosește limita greșită $\frac{1}{2}$ în loc de $\frac{1}{4}$, deoarece trece $\sqrt{x+1}+2$ în $2$. Varianta c) consideră $\frac{0}{0}=0$ și rezolvă $3a+1=0$. Varianta f) conchide că funcția nu poate fi continuă pentru că la dreapta apare $\frac{0}{0}$.

Alt exemplu. Determinăm $m$ astfel încât $f(x)=x^2+m$ pentru $x\le 1$ și $f(x)=\frac{x-1}{\ln x}$ pentru $x>1$ să fie continuă în $1$. Valoarea în $1$ este $1+m$. La dreapta, cu $t=x-1\to 0$, avem $\frac{x-1}{\ln x}=\frac{t}{\ln (1+t)}\to 1$. Din $1+m=1$ rezultă $m=0$.

Alt exemplu. Arătăm că ecuația $\cos x=x$ are o soluție în $(0;1)$. Fie $h(x)=\cos x-x$, continuă pe $\mathbb{R}$. Avem $h(0)=1>0$ și $h(1)=\cos 1-1\approx -0,46<0$, deci $h$ se anulează în $(0;1)$. Pe acest interval $h^{\prime }(x)=-\sin x-1<0$, deci $h$ este strict descrescătoare și soluția, aproximativ $0,739$, este unică.

Greșeli frecvente

• Greșit: funcția este continuă în $a$ chiar dacă $f(a)$ nu există.
  Corect: valoarea în punct este necesară, iar $a$ trebuie să aparțină domeniului.
• Greșit: continuitatea garantează derivabilitatea.
  Corect: $|x|$ este continuă, dar nu derivabilă în $0$.
• Greșit: semne opuse la capete garantează o rădăcină pentru orice funcție.
  Corect: trebuie continuitate pe tot intervalul.
• Greșit: $f(x)=\frac{1}{x}$ are $f(-1)=-1<0<1=f(1)$, deci ecuația $\frac{1}{x}=0$ are o soluție în $(-1;1)$.
  Corect: $f$ nu este definită în $0$, deci nu este continuă pe $[-1;1]$, iar ecuația nu are soluții.
• Greșit: dacă $f(a)\cdot f(b)>0$, ecuația $f(x)=0$ nu are soluții în $(a;b)$.
  Corect: poate avea un număr par de soluții; pentru $f(x)=x^2-1$ pe $[-2;2]$ avem $f(-2)=f(2)=3$, iar soluțiile sunt $\pm 1$.

Înainte și după