Forme nedeterminate

Cazurile exceptate la calculul limitelor, numite și forme nedeterminate, sunt $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty }{\infty }$, $\infty -\infty$, $0\cdot \infty$, $1^{\infty }$, ${\infty }^0$ și $0^0$. Despre o limită care are una dintre aceste forme nu se poate spune nimic înainte de a transforma expresia, deoarece rezultatul depinde de funcțiile concrete. Se vede în trei limite de forma $\frac{0}{0}$ în punctul $0$: $\frac{x}{x}$ are limita $1$, $\frac{2x}{x}$ are limita $2$, iar $\frac{x^2}{x}$ are limita $0$. Simbolul $\frac{0}{0}$ nu este un număr și nu poate fi simplificat. Expresia se transformă prin factorizare, amplificare cu conjugata, aducere la același numitor sau scoaterea factorului dominant.

Exemplu rezolvat. Calculăm ${\lim }_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}$.

1. Prin substituție se obține $\frac{0}{0}$, deci forma este nedeterminată.
2. Pentru $x\ne 2$, descompunem numărătorul: $\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$.
3. Funcția $x+2$ are limita $4$ în $x=2$, deci limita cerută este $4$.

Forma $\frac{0}{0}$. Pentru rapoarte de polinoame se scoate factorul $x-a$ de la numărător și de la numitor. Dacă apar radicali, se amplifică fracția cu conjugata expresiei care conține radicalul. Dacă apar funcții trigonometrice, exponențiale sau logaritmice, se folosesc limitele din „Limite remarcabile” sau regula din „Regula lui l'Hospital”.

Exemplu rezolvat. Calculăm ${\lim }_{x\to 1}\frac{x^3-1}{x^2-1}$. Substituția dă $\frac{0}{0}$. Descompunem: $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ și $x^2-1=(x-1)(x+1)$. Pentru $x\ne 1$ raportul este $\frac{x^2+x+1}{x+1}$, iar în $x=1$ acesta are valoarea $\frac{3}{2}$. Limita este $\frac{3}{2}$. Ordinea de lucru este aceeași la toate formele: întâi se încearcă substituția, apoi, numai dacă apare o formă nedeterminată, se alege transformarea potrivită.

Forma $\frac{\infty }{\infty }$. Se împarte numărătorul și numitorul la puterea dominantă a lui $x$. La rapoartele de polinoame, limita la $\pm \infty$ este $0$ când gradul numărătorului este mai mic, raportul coeficienților dominanți când gradele sunt egale și $\pm \infty$ când gradul numărătorului este mai mare. Atenție la radicali: pentru $x<0$ avem $\sqrt{x^2}=|x|=-x$.

Exemplu rezolvat. Calculăm ${\lim }_{x\to -\infty }\frac{x^3+2x}{3-x^2}$. Gradul numărătorului este mai mare decât al numitorului, deci limita este infinită. Împărțim la $x^2$: expresia devine $\frac{x+\frac{2}{x}}{\frac{3}{x^2}-1}$. Numitorul tinde la $-1$, iar numărătorul la $-\infty$, deoarece $x\to -\infty$ și $\frac{2}{x}\to 0$. Câtul are limita $\frac{-\infty }{-1}=+\infty$. Numeric, pentru $x=-10^4$ valoarea este aproximativ $10^4$.

Exemplu rezolvat. Calculăm ${\lim }_{x\to -\infty }\frac{\sqrt{x^2+1}}{x+2}$. Pentru $x<0$, $\sqrt{x^2+1}=|x|\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}=-x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}$. Împărțind numărătorul și numitorul la $x$ obținem $\frac{-\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{1+\frac{2}{x}}$. Numărătorul tinde la $-1$, numitorul la $1$, deci limita este $-1$. La $+\infty$, aceeași expresie are limita $+1$, deoarece acolo $\sqrt{x^2}=x$.

Nu toate rapoartele cu numitor nul sau infinit sunt nedeterminate: $\frac{c}{0}$ cu $c\ne 0$, $\infty +\infty$, $\infty \cdot \infty$ și $\frac{c}{\infty }$ au rezultate sigure, care se află din semnele factorilor (vezi „Limite de funcții”).

Forma $\infty -\infty$. Diferența a doi radicali sau a unui radical și a unui polinom se amplifică cu conjugata; transformarea se bazează pe identitatea $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, care elimină diferența de radicali din numărător. O diferență de fracții se aduce la numitor comun. La o diferență de polinoame se scoate factorul dominant.

Exemplu rezolvat. Calculăm ${\lim }_{x\to +\infty }\left(\sqrt{x^2+4x}-x\right)$. Amplificăm cu conjugata: $\sqrt{x^2+4x}-x=\frac{4x}{\sqrt{x^2+4x}+x}$. Pentru $x>0$, împărțim la $x$ și obținem $\frac{4}{\sqrt{1+\frac{4}{x}}+1}$, care tinde la $\frac{4}{1+1}=2$.

Forma $0\cdot \infty$. Produsul se scrie ca raport, trecând unul dintre factori la numitor sub forma inversului său. De exemplu, $x\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}+x}$, iar pentru $x\to +\infty$ limita este $\frac{1}{2}$. Pentru $x\ln x$ la $0^{+}$ se scrie $\frac{\ln x}{1/x}$ și se folosește regula lui l'Hospital; limita este $0$.

Formele $1^{\infty }$, ${\infty }^0$ și $0^0$. Pentru $f(x)>0$ se folosește $f^g=e^{g\ln f}$ și se calculează limita exponentului $g\ln f$, care are forma $0\cdot \infty$. Pentru $1^{\infty }$ există și regula din „Limite remarcabile”: dacă $u\to 0$ și $uv\to l$, atunci $(1+u{)}^v\to e^l$. Exemple: ${\lim }_{x\to +\infty }{x}^{1/x}=e^{\lim \frac{\ln x}{x}}=e^0=1$ și ${\lim }_{x\to 0^{+}}{x}^x=e^{\lim x\ln x}=e^0=1$.

La o diferență de fracții se află numitorul comun, se reduc factorii comuni și abia apoi se calculează limita. Eliminarea unui factor nul este permisă pentru că limita ignoră valoarea din punctul $a$.

Problemă. Valoarea limitei ${\lim }_{x\to 1}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{2}{x^2-1}\right)$ este:

• a) $0$
• b) $\frac{1}{2}$
• c) $1$
• d) $-\frac{1}{2}$
• e) $+\infty$
• f) limita nu există

Rezolvare. Fiecare fracție are modulul tinzând la infinit, deci forma este $\infty -\infty$. Numitorul comun este $x^2-1=(x-1)(x+1)$, iar $\frac{1}{x-1}=\frac{x+1}{(x-1)(x+1)}$. Diferența devine $\frac{x+1-2}{(x-1)(x+1)}=\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}=\frac{1}{x+1}$ pentru $x\ne 1$. Limita este $\frac{1}{2}$. Limitele laterale coincid, deoarece funcția $\frac{1}{x+1}$ este continuă în $1$. Numeric, pentru $x=1,001$ expresia este aproximativ $0,4998$. Răspunsul corect este b). Varianta a) scrie $\infty -\infty =0$. Varianta c) simplifică factorul $x-1$ și uită factorul $x+1$ din numitor. Varianta d) greșește semnul numărătorului și obține $\frac{2-(x+1)}{(x-1)(x+1)}=-\frac{1}{x+1}$. Varianta e) păstrează numai primul termen, care are limita $+\infty$ la dreapta lui $1$. Varianta f) adună numărătorii în loc să scadă: $\frac{x+3}{(x-1)(x+1)}$ are limitele laterale $+\infty$ și $-\infty$ în $1$.

Alt exemplu. Calculăm ${\lim }_{x\to +\infty }\left(\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x}\right)$. Amplificăm cu suma radicalilor: numărătorul devine $(x^2+x+1)-(x^2-x)=2x+1$. Pentru $x>0$, împărțim numărătorul și numitorul la $x$: $\frac{2+\frac{1}{x}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}}$. Numărătorul tinde la $2$, numitorul la $1+1=2$, deci limita este $1$. Pentru $x=1000$, diferența radicalilor este aproximativ $1,0005$. Fără amplificare, încercarea de a scădea separat limitele radicalilor ar fi dat $\infty -\infty$ și nicio concluzie.

Alt exemplu. Calculăm ${\lim }_{x\to +\infty }{\left(\frac{x+3}{x+1}\right)}^x$. Baza tinde la $1$ și exponentul la $+\infty$, deci forma este $1^{\infty }$. Scriem baza ca $1+u$ cu $u=\frac{2}{x+1}$, care tinde la $0$. Exponentul este $v=x$, iar $uv=\frac{2x}{x+1}\to 2$. Limita este $e^2$, adică aproximativ $7,389$, valoare confirmată numeric pentru $x=10^6$.

Greșeli frecvente

• Greșit: $\frac{0}{0}=0$ sau $\frac{0}{0}=1$.
  Corect: forma $\frac{0}{0}$ este nedeterminată; $\frac{x^2}{x}$, $\frac{x}{x}$ și $\frac{2x}{x}$ au în $0$ limitele $0$, $1$ și $2$.
• Greșit: anularea factorului $x-2$ face expresia inițială definită la $x=2$.
  Corect: egalitatea transformată este adevărată doar pentru $x\ne 2$, iar limita nu depinde de valoarea din $2$.
• Greșit: $\infty -\infty =0$.
  Corect: diferența cere o transformare; ${\lim }_{x\to +\infty }(x+1-x)=1$, iar ${\lim }_{x\to +\infty }(2x-x)=+\infty$.
• Greșit: ${\lim }_{x\to -\infty }\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=1$.
  Corect: pentru $x<0$, $\sqrt{x^2}=-x$, deci limita este $-1$.
• Greșit: $1^{\infty }=1$.
  Corect: forma este nedeterminată, de exemplu ${\lim }_{x\to +\infty }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e$.

Înainte și după