Limite de funcții

Limita funcției $f$ în punctul $a$ este numărul $L$ (sau simbolul $+\infty$, respectiv $-\infty$) de care se apropie valorile $f(x)$ când $x$ se apropie de $a$, cu $x\ne a$. Se notează ${\lim }_{x\to a}f(x)=L$; la fel se definesc limitele la $+\infty$ și la $-\infty$. Într-un punct interior al domeniului, limita există dacă și numai dacă limitele laterale există și sunt egale. Pentru o funcție elementară (polinomială, rațională, cu radical, exponențială, logaritmică, trigonometrică) și un punct $a$ din domeniul ei, limita este chiar $f(a)$, deci se calculează prin substituție. Dacă substituția conduce la o formă nedeterminată, se continuă cu tehnicile din lecția „Forme nedeterminate”.

Exemplu rezolvat. Calculăm ${\lim }_{x\to 2}\frac{x^2+1}{x+1}$.

1. Funcția este rațională, iar $a=2$ aparține domeniului, deoarece numitorul $2+1=3$ este nenul.
2. Substituim: $\frac{2^2+1}{2+1}=\frac{5}{3}$.
3. Limita este $\frac{5}{3}$.

Limitele de bază. Pentru $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$: ${\lim }_{x\to +\infty }{x}^n=+\infty$, iar ${\lim }_{x\to -\infty }{x}^n$ este $+\infty$ pentru $n$ par și $-\infty$ pentru $n$ impar; ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{1}{x^n}=0$. Pentru $a>1$, ${\lim }_{x\to +\infty }{a}^x=+\infty$ și ${\lim }_{x\to -\infty }{a}^x=0$; pentru $a\in (0;1)$ rezultatele se inversează. Pentru logaritm, ${\lim }_{x\to +\infty }\ln x=+\infty$ și ${\lim }_{x\to 0^{+}}\ln x=-\infty$. Funcția $\mathrm{arctg}$ are limitele $\pm \frac{\pi }{2}$ la $\pm \infty$, iar $\sin$ și $\cos$ nu au limită la $\pm \infty$, pentru că oscilează între $-1$ și $1$. Un polinom de grad $n\ge 1$ are la $\pm \infty$ aceeași limită ca termenul său dominant $a_n{x}^n$: de exemplu, ${\lim }_{x\to -\infty }(x^3-5x^2+1)={\lim }_{x\to -\infty }{x}^3=-\infty$.

Operațiile cu limite. Dacă $\lim f=l_1$ și $\lim g=l_2$ sunt numere reale, atunci suma, produsul și câtul (pentru $l_2\ne 0$) au limitele $l_1+l_2$, $l_1{l}_2$ și $\frac{l_1}{l_2}$. Cu limite infinite, rezultatul este sigur în aceste cazuri: $l+(\pm \infty )=\pm \infty$; $(+\infty )+(+\infty )=+\infty$; $l\cdot (\pm \infty )=\pm \infty$ pentru $l\ne 0$, cu semnul dat de regula semnelor; $\frac{l}{\pm \infty }=0$; $\frac{l}{0}=\pm \infty$ pentru $l\ne 0$, dacă numitorul tinde la $0$ păstrând semn constant (tinde la $0^{+}$ sau la $0^{-}$), semnul fiind produsul dintre semnul lui $l$ și semnul numitorului. Dacă $u(x)\to b$ și $f$ este continuă în $b$, atunci ${\lim }_{x\to a}f(u(x))=f(b)$; dacă $u(x)\to \pm \infty$ și $f$ are limita $L$ la $\pm \infty$, atunci $f(u(x))\to L$. Restul cazurilor se tratează în „Forme nedeterminate”. La o funcție definită pe ramuri, limita într-un punct de îmbinare se obține din limitele laterale, calculate fiecare cu formula ramurii respective. Dacă o limită într-un punct finit $a$ este $+\infty$ sau $-\infty$, dreapta $x=a$ este asimptotă verticală a graficului, tema lecției „Asimptotele graficului”.

Simetria reduce calculul: dacă $f$ este pară și ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=L$, atunci și ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=L$; dacă $f$ este impară, atunci ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-L$, deoarece $f(x)=\pm f(-x)$ și $-x\to +\infty$ când $x\to -\infty$.

Criterii de existență. Dacă $f(x)\ge g(x)$ pe o vecinătate a punctului de limită și $g\to +\infty$, atunci $f\to +\infty$ (criteriul minorării). Dacă $|f(x)-L|\le g(x)$ și $g\to 0$, atunci $f\to L$ (criteriul majorării). Dacă $g\le f\le h$ și $g,h\to L$, atunci $f\to L$ (criteriul cleștelui).

Exemplu rezolvat. Calculăm limitele în $x=1$ ale expresiilor $\frac{x+2}{(x-1{)}^2}$ și $\frac{x+2}{x-1}$. Numărătorul tinde la $3$ în ambele cazuri. În prima, $(x-1{)}^2\to 0$ cu valori pozitive, deci limita este $\frac{3}{0^{+}}=+\infty$. În a doua, pentru $x<1$ numitorul este negativ și limita laterală este $-\infty$, iar pentru $x>1$ este $+\infty$; limitele laterale diferă, deci limita nu există.

Exemplu rezolvat. Calculăm ${\lim }_{x\to 1,x>1}\ln (x-1)$ și ${\lim }_{x\to +\infty }\mathrm{arctg}(x^2)$. Domeniul lui $\ln (x-1)$ este $(1;+\infty )$, deci în $x=1$ se studiază doar limita la dreapta. Aici $u(x)=x-1\to 0^{+}$, iar $\ln u\to -\infty$ când $u\to 0^{+}$, deci limita este $-\infty$. În al doilea caz, $x^2\to +\infty$, iar $\mathrm{arctg}$ are limita $\frac{\pi }{2}$ la $+\infty$, deci limita este $\frac{\pi }{2}$.

Exemplu rezolvat. Calculăm limitele laterale ale funcției $e^{-1/x}$ în $0$. Pentru $x\to 0$, $x>0$: $-\frac{1}{x}\to -\infty$, deci $e^{-1/x}\to 0$. Pentru $x\to 0$, $x<0$: $-\frac{1}{x}\to +\infty$, deci $e^{-1/x}\to +\infty$. Limitele laterale sunt $0$ și $+\infty$, deci funcția nu are limită în $0$.

Exemplu rezolvat. Calculăm ${\lim }_{x\to +\infty }(x+\sin x)$. Termenul $\sin x$ nu are limită, deci regula sumei nu se aplică. Din $\sin x\ge -1$ rezultă $x+\sin x\ge x-1$, iar $x-1\to +\infty$; din criteriul minorării, limita este $+\infty$. Analog, ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{\sin x}{x}=0$, pentru că $\left|\frac{\sin x}{x}\right|\le \frac{1}{x}$ pe $(0;+\infty )$ și $\frac{1}{x}\to 0$.

La infinit, expresiile cu $\sin x$ sau $\cos x$ se împart la puterea dominantă a lui $x$, iar termenii trigonometrici împărțiți la $x$ se majorează cu $\frac{1}{x}$. Limita ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ este valabilă numai când $x\to 0$.

Problemă. Valoarea limitei ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{2x+\sin x}{x-\cos x}$ este:

• a) $\frac{1}{2}$
• b) $1$
• c) $2$
• d) $3$
• e) limita nu există
• f) $+\infty$

Rezolvare. Pentru $x>0$ împărțim numărătorul și numitorul la $x$ și obținem $\frac{2+\frac{\sin x}{x}}{1-\frac{\cos x}{x}}$. Din $|\sin x|\le 1$ și $|\cos x|\le 1$ rezultă $\left|\frac{\sin x}{x}\right|\le \frac{1}{x}$ și $\left|\frac{\cos x}{x}\right|\le \frac{1}{x}$, deci ambele rapoarte tind la $0$, iar limita este $\frac{2+0}{1-0}=2$. Numeric, pentru $x=1000$ expresia este aproximativ $2,002$, iar pentru $x=10^6$ aproximativ $2,0000015$. Răspunsul corect este c). Varianta a) inversează raportul coeficienților. Varianta b) scrie $\frac{\infty }{\infty }=1$. Varianta d) folosește $\frac{\sin x}{x}\to 1$ și obține $\frac{2+1}{1-0}=3$, deși acea limită este valabilă doar în $0$. Varianta e) conchide că limita nu există deoarece $\sin x$ și $\cos x$ nu au limită, dar împărțiți la $x$ ei devin neglijabili. Varianta f) vede $\frac{\infty }{\infty }$ și scrie $\infty$.

Alt exemplu. Calculăm ${\lim }_{x\to 1}\frac{x-3}{x^2-2x+1}$. Numitorul este $(x-1{)}^2$, pozitiv pentru $x\ne 1$, deci tinde la $0^{+}$ din ambele părți, iar numărătorul tinde la $-2$. Limitele laterale sunt egale, $\frac{-2}{0^{+}}=-\infty$, deci limita există și este $-\infty$. Pentru $\frac{x-3}{x-1}$, în același punct, limitele laterale sunt $-\infty$ la dreapta și $+\infty$ la stânga, deci limita nu există.

Greșeli frecvente

• Greșit: $\lim f/g=(\lim f)/(\lim g)$ când $\lim g=0$.
  Corect: regula cere numitor limită nenul; pentru $\frac{l}{0}$ se studiază semnul numitorului.
• Greșit: valoarea lui $f(a)$ decide singură limita.
  Corect: contează valorile lui $f(x)$ pentru $x$ apropiat de $a$.
• Greșit: limita laterală din dreapta și cea din stânga sunt întotdeauna egale.
  Corect: se calculează separat, iar limita există numai dacă ele coincid.
• Greșit: ${\lim }_{x\to +\infty }\sin x=1$, pentru că $1$ este valoarea maximă.
  Corect: $\sin x$ oscilează între $-1$ și $1$ și nu are limită la $+\infty$.
• Greșit: ${\lim }_{x\to -\infty }{x}^3=+\infty$.
  Corect: pentru exponent impar limita este $-\infty$.
• Greșit: ${\lim }_{x\to 1}\frac{3}{x-1}=+\infty$.
  Corect: limita la stânga este $-\infty$, deci limita nu există.

Înainte și după