Limite și continuitate — introducere

Limita funcției $f$ în punctul $a$ este numărul (sau simbolul $+\infty$, respectiv $-\infty$) spre care se apropie $f(x)$ când $x$ se apropie de $a$, fără să ia valoarea $a$. Ea nu depinde de valoarea lui $f$ în $a$ și există chiar dacă $f$ nu este definită în $a$. Continuitatea cere mai mult: $f$ este definită în $a$ și ${\lim }_{x\to a}f(x)=f(a)$. Se studiază și comportarea la $+\infty$ și la $-\infty$, de unde rezultă asimptotele graficului.

Calculul limitelor se învață în „Limite de funcții”, „Forme nedeterminate” și „Limite remarcabile”. Proprietățile funcțiilor continue sunt în „Continuitatea funcțiilor”, dreptele de care se apropie graficul în „Asimptotele graficului”, iar „Regula lui l'Hospital” are lecția ei.

Exemplu rezolvat. Fie $f(x)=\frac{x^2-x-6}{x-3}$ pentru $x\ne 3$ și $f(3)=1$. Verificăm continuitatea în $3$.

1. Pentru $x\ne 3$, $x^2-x-6=(x-3)(x+2)$, deci $f(x)=x+2$.
2. Când $x\to 3$, $f(x)\to 5$, deci ${\lim }_{x\to 3}f(x)=5$.
3. Cum $f(3)=1\ne 5$, funcția nu este continuă în $3$.

Dacă am pune $f(3)=5$, funcția ar deveni continuă.

Limita în $a$ are sens când $a$ este punct de acumulare al domeniului $D$: orice interval deschis centrat în $a$ conține puncte din $D$ diferite de $a$. Pentru $L\in \mathbb{R}$, scriem ${\lim }_{x\to a}f(x)=L$ dacă pentru orice $\epsilon >0$ există $\delta >0$ astfel încât, pentru orice $x\in D$ cu $0<|x-a|<\delta$, avem $|f(x)-L|<\epsilon$. Definiția cu șiruri este echivalentă: pentru orice șir $(x_n)$ din $D\setminus \{a\}$ cu $x_n\to a$, șirul $(f(x_n))$ are limita $L$.

Exemplu rezolvat. Arătăm, cu definiția, că ${\lim }_{x\to 2}(3x-1)=5$. Fie $\epsilon >0$. Avem $|(3x-1)-5|=3|x-2|$, iar $3|x-2|<\epsilon$ dacă $|x-2|<\epsilon /3$. Alegem $\delta =\epsilon /3$ și condiția din definiție este îndeplinită.

Limita este unică: dacă există, valoarea ei este un singur număr sau un singur simbol $\pm \infty$. Pentru limită infinită, ${\lim }_{x\to a}f(x)=+\infty$ înseamnă că pentru orice $M>0$ există $\delta >0$ astfel încât $f(x)>M$ când $0<|x-a|<\delta$. La infinit, ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=L$ cere ca, pentru orice $\epsilon >0$, să existe $M$ cu $|f(x)-L|<\epsilon$ oricând $x>M$; domeniul trebuie să nu fie mărginit superior.

Exemplu rezolvat. Arătăm că ${\lim }_{x\to 0}\frac{1}{x^2}=+\infty$. Fie $M>0$. Inegalitatea $\frac{1}{x^2}>M$ este echivalentă cu $x^2<\frac{1}{M}$, adică cu $|x|<\frac{1}{\sqrt{M}}$. Pentru $\delta =\frac{1}{\sqrt{M}}$ și $0<|x|<\delta$ avem $\frac{1}{x^2}>M$, ceea ce încheie demonstrația.

Limitele laterale sunt $f(a-0)={\lim }_{x\to a,x<a}f(x)$ și $f(a+0)={\lim }_{x\to a,x>a}f(x)$. Într-un punct interior, limita există dacă și numai dacă ambele limite laterale există și sunt egale. Funcția $\frac{|x|}{x}$ are în $0$ limita la stânga $-1$ și limita la dreapta $1$, deci nu are limită în $0$.

Caracterizarea cu șiruri arată și când o limită nu există. Exemplu rezolvat. Pentru $\sin \frac{1}{x}$ în $0$, luăm $x_n=\frac{1}{n\pi }$ și $y_n=\frac{1}{\pi /2+2n\pi }$. Ambele șiruri tind la $0$. Avem $\sin \frac{1}{x_n}=\sin (n\pi )=0$ și $\sin \frac{1}{y_n}=\sin \left(\frac{\pi }{2}+2n\pi \right)=1$. Cele două șiruri de valori au limite diferite, deci ${\lim }_{x\to 0}\sin \frac{1}{x}$ nu există. Aceeași metodă arată că ${\lim }_{x\to +\infty }\cos x$ nu există: pe șirurile $2n\pi$ și $2n\pi +\pi$, care tind la $+\infty$, valorile cosinusului sunt $1$, respectiv $-1$.

Funcția $f$ este continuă în $a\in D$ dacă $f(a-0)=f(a+0)=f(a)$, adică dacă limita există și este egală cu $f(a)$. Un punct în care continuitatea cade este de trei feluri:

• discontinuitate eliminabilă: limita există și este finită, dar $f(a)$ lipsește sau este diferită de ea (cazul din „Pe scurt”);
• salt: limitele laterale sunt finite și diferite; partea întreagă $[x]$ în $x=2$ are $f(2-0)=1$, $f(2+0)=2$ și $f(2)=2$;
• discontinuitate infinită: cel puțin una dintre limitele laterale este $+\infty$ sau $-\infty$, ca la $\frac{1}{x}$ în $0$.

Exemplu rezolvat. Fie $f(x)=x^2+2x+a$ pentru $x\le 0$ și $f(x)=\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}$ pentru $x>0$. La stânga, $f(0-0)=f(0)=a$. La dreapta, amplificăm cu conjugata: $\frac{x}{x(\sqrt{x+1}+1)}=\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}$, deci $f(0+0)=\frac{1}{2}$. Continuitatea în $0$ cere ca cele trei valori să fie egale, deci $a=\frac{1}{2}$.

Limita este instrumentul din spatele a trei noțiuni de clasa a XI-a. Continuitatea înseamnă limită egală cu valoarea funcției. Asimptotele sunt limite infinite într-un punct sau limite la $\pm \infty$. Derivata este limita raportului $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ când $x\to a$, tratată în „Derivate — introducere”.

Când expresia conține un modul, se separă cazurile $x<a$ și $x>a$, iar limitele laterale decid dacă limita există.

Problemă. Valoarea limitei ${\lim }_{x\to 1}\frac{|x-1|}{x^2-1}$ este:

• a) $\frac{1}{2}$
• b) $-\frac{1}{2}$
• c) $0$
• d) $1$
• e) limita nu există
• f) $+\infty$

Rezolvare. Pentru $x>1$, $|x-1|=x-1$ și raportul este $\frac{1}{x+1}\to \frac{1}{2}$. Pentru $x<1$, $|x-1|=-(x-1)$ și raportul este $-\frac{1}{x+1}\to -\frac{1}{2}$. Limitele laterale sunt diferite, deci limita nu există. Numeric, pentru $x=1,01$ raportul este aproximativ $0,4975$, iar pentru $x=0,99$ este aproximativ $-0,5025$. Răspunsul corect este e). Varianta a) reține numai limita din dreapta, iar b) numai pe cea din stânga. Varianta c) înlocuiește $x=1$ doar în numărător, d) simplifică $|x-1|$ cu $x-1$ și uită factorul $x+1$, iar f) vede numitorul zero și conchide infinit, deși numărătorul se anulează și el.

Alt exemplu. Determinăm $m$ astfel încât $f(x)=\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}$ pentru $x\ne 0$, $f(0)=m$ să fie continuă în $0$. Amplificăm cu conjugata: $\frac{x}{x(\sqrt{x+4}+2)}=\frac{1}{\sqrt{x+4}+2}$ pentru $x\ne 0$. Când $x\to 0$, limita este $\frac{1}{4}$, deci $m=\frac{1}{4}$.

Alt exemplu. Pentru ce valoare a lui $a$ are limită finită ${\lim }_{x\to 2}\frac{x^2+ax-6}{x-2}$? Numitorul tinde la $0$, deci limita finită cere ca numărătorul să tindă și el la $0$: $4+2a-6=0$, adică $a=1$. Atunci $x^2+x-6=(x-2)(x+3)$, raportul se reduce la $x+3$ pentru $x\ne 2$, iar limita este $5$. Pentru orice altă valoare a lui $a$, numărătorul tinde la un număr nenul, iar limitele laterale ale raportului în $2$ sunt infinite, cu semne opuse, deci raportul nu are limită finită.

Greșeli frecvente

• Greșit: ${\lim }_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}$ nu există pentru că fracția nu este definită la $x=1$.
  Corect: pentru $x\ne 1$ expresia este $x+1$, deci limita este $2$.
• Greșit: limitele laterale diferite dau o limită bilaterală.
  Corect: limita bilaterală nu există.
• Greșit: continuitatea cere doar existența limitei.
  Corect: limita trebuie să egaleze valoarea funcției.
• Greșit: ${\lim }_{x\to 0}\sin \frac{1}{x}=0$, pentru că $\frac{1}{x}$ devine foarte mare.
  Corect: limita nu există, deoarece pe șirul $\frac{1}{n\pi }$ valorile sunt $0$, iar pe șirul $\frac{1}{\pi /2+2n\pi }$ sunt $1$.

Înainte și după

Întrebări frecvente