Interferența luminii

Uneori, două drumuri ale luminii se întâlnesc și produc zone mai luminoase și zone mai întunecate. Fenomenul se numește interferență și arată comportarea ondulatorie a luminii. Când două unde coerente de aceeași polarizare ajung în fază, amplitudinile lor se adună și intensitatea crește. Când ajung în opoziție de fază, amplitudinea rezultantă este diferența modulelor amplitudinilor lor; pentru amplitudini egale se anulează. Lumina nu „dispare” din univers în dungile întunecate; energia este redistribuită între direcții.

Pentru un desen stabil, undele care se întâlnesc trebuie să păstreze o relație de fază în timp; spunem că sunt coerente. Două becuri obișnuite independente nu dau un model stabil de dungi, fiindcă fazele lor se schimbă haotic. O singură sursă împărțită în două drumuri produce unde coerente.

Diferența de drum optic contează. Dacă una dintre unde traversează un material diferit, aceeași distanță geometrică înseamnă altă schimbare de fază. De aceea straturi subțiri, precum pelicula de săpun, afișează culori de interferență. Culorile nu sunt pigmenți permanenți ai săpunului: se schimbă cu grosimea peliculei și cu direcția privirii.

Interferența luminii poate fi observată cu dispozitivul Young, tratat în „Dispozitivul Young”, sau în pelicule subțiri, tratate în „Interferența localizată”. Înainte de formule, întreabă de unde vin cele două unde, ce fază au inițial și pe ce drum ajung la punctul observat.

Coerența. O sursă obișnuită emite lumina în trenuri de undă independente și de durată finită, iar faza relativă a trenurilor de la atomi diferiți variază haotic. Două astfel de surse nu dau franje stabile. Din aceeași sursă se obțin două unde coerente prin divizarea frontului de undă (fantele lui Young) sau prin divizarea amplitudinii (reflexia parțială pe fețele unei pelicule). Franjele se văd numai dacă diferența de drum este mai mică decât lungimea de coerență $L_c$, adică lungimea trenului de undă: câțiva micrometri la lumina albă, de ordinul milimetrilor la lampa cu sodiu și zeci de centimetri la un laser He–Ne.

Drumul optic pe o porțiune de lungime geometrică $d$ într-un mediu cu indicele $n$ este $L=nd$. Dacă undele pornesc în fază, diferența de drum optic $\Delta$ determină defazajul $\Delta \phi =2\pi \Delta /{\lambda }_0$, cu ${\lambda }_0$ lungimea de undă în vid. Condițiile de interferență sunt

La reflexia pe un mediu cu indice mai mare se adaugă ${\lambda }_0/2$ la diferența de drum. Intensitatea rezultantă a două unde de aceeași polarizare este

La intensități egale, $I=4I_0{\cos }^2(\Delta \phi /2)$, deci $I_{\max }=4I_0$ și $I_{\min }=0$. În general, $I_{\max }=(\sqrt{I_1}+\sqrt{I_2}{)}^2$ și $I_{\min }=(\sqrt{I_1}-\sqrt{I_2}{)}^2$. Contrastul franjelor se măsoară prin vizibilitatea $V=(I_{\max }-I_{\min })/(I_{\max }+I_{\min })=2\sqrt{I_1{I}_2}/(I_1+I_2)$, care este maximă ($V=1$) numai pentru $I_1=I_2$. Valoarea medie a intensității este $I_1+I_2$: interferența redistribuie energia, nu o creează și nu o distruge. Două unde cu polarizări perpendiculare nu interferă, pentru că termenul cu $\cos \Delta \phi$ dispare și intensitatea este simplu $I_1+I_2$. La fel, două unde cu frecvențe diferite dau un termen care se anulează în medie, deci ochiul și detectoarele văd numai suma intensităților. Franjele stabile cer deci aceeași frecvență, aceeași polarizare și o diferență de fază constantă în timp.

Exemplu rezolvat 1. Două fascicule coerente au intensitățile $I_1=4,0W/{\mathrm{m}}^2$ și $I_2=1,0W/{\mathrm{m}}^2$. Se cer intensitățile extreme, vizibilitatea și media.

1. Amplitudinile sunt proporționale cu $\sqrt{I}$, deci cu $2$ și $1$ (în $\sqrt{W/{\mathrm{m}}^2}$).
2. Maximul este $I_{\max }=(2+1{)}^2=9,0W/{\mathrm{m}}^2$, iar minimul este $I_{\min }=(2-1{)}^2=1,0W/{\mathrm{m}}^2$.
3. Vizibilitatea este $V=(9-1)/(9+1)=0,80$.
4. Media este $(9+1)/2=5,0W/{\mathrm{m}}^2=I_1+I_2$.

Minimul nu este zero, deoarece amplitudinile sunt diferite, iar energia totală rămâne aceeași.

Exemplu rezolvat 2. Într-un interferometru, un fascicul de lumină cu ${\lambda }_0=589\mathrm{nm}$ traversează un tub vidat de lungime $\ell =10,0\mathrm{cm}$, iar fasciculul coerent cu el traversează un tub identic umplut cu aer, cu $n=1,000293$. Câte franje se deplasează la umplerea tubului?

1. Diferența de drum optic este $\Delta =(n-1)\ell =2,93\cdot 10^{-4}\cdot 0,100=2,93\cdot 10^{-5}\mathrm{m}$.
2. Numărul de franje care trec printr-un punct este $N=\Delta /{\lambda }_0=2,93\cdot 10^{-5}/(5,89\cdot 10^{-7})\approx 49,7$.
3. Se deplasează aproximativ $50$ de franje.

Chiar și o zecime dintr-o franjă se poate observa, de aceea acest montaj (refractometrul Jamin) măsoară diferențe de indice de refracție de ordinul $10^{-6}$.

Coerența și condițiile de interferență

Ca două unde să dea franje staționare, ele trebuie să fie coerente: aceeași frecvență și o diferență de fază constantă. În practică, cele două unde se obțin din aceeași sursă, împărțind fasciculul în două. Într-un punct, undele se întăresc dacă diferența lor de drum optic este un multiplu de $\lambda$ (ajung în fază) și se anulează dacă este un număr impar de $\frac{\lambda }{2}$ (ajung în opoziție). Energia nu dispare: ea se redistribuie, mai multă în maxime și mai puțină în minime (deloc, dacă cele două unde au amplitudini egale).

Dispozitivul Young

O sursă luminează două fante foarte apropiate, aflate la distanța $2l$ una de alta. Cele două fante se comportă ca surse coerente. Pe un ecran aflat la distanța $D$, mult mai mare decât $2l$, într-un punct aflat la distanța $x$ de centru, diferența de drum este $\Delta =\frac{2lx}{D}$. Din condițiile de maxim și minim rezultă franje echidistante, la distanța $i=\frac{\lambda D}{2l}$ una de alta. În centru ($x=0$) este întotdeauna un maxim, numit maximul central.

Ce schimbă interfranja

Interfranja crește cu lungimea de undă și cu distanța până la ecran și scade când fantele se depărtează. Dacă tot dispozitivul este scufundat într-un lichid cu indicele $n$, lungimea de undă scade de $n$ ori, deci și interfranja. În lumină albă, maximul central este alb, iar celelalte franje sunt colorate, pentru că fiecare culoare are altă interfranjă.

Lama pusă în fața unei fante

O lamă transparentă cu grosimea $e$ și indicele $n$, pusă în fața uneia dintre fante, mărește drumul optic al razei respective cu $(n-1)e$. Toată figura de interferență se deplasează spre fanta acoperită, cu $\Delta x=\frac{(n-1)eD}{2l}$, iar interfranja nu se schimbă.

Înainte și după

• Înainte: lungimea de undă și drumul optic, din capitolul Optica ondulatorie; interferența undelor mecanice, de la începutul clasei a XI-a.
• După: difracția luminii și rețeaua de difracție, unde interferă undele de la foarte multe fante.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: interfranja

Lumina roșie a unui laser ($\lambda =640\text{nm}$) trece prin două fante paralele aflate la $2l=0,8\text{mm}$ una de alta, iar franjele se privesc pe un perete aflat la $D=1,25\text{m}$. La ce distanță sunt două franje luminoase vecine?

1. $i=\frac{\lambda D}{2l}=\frac{640\cdot 10^{-9}\cdot 1,25}{0,8\cdot 10^{-3}}=10^{-3}\text{m}=1\text{mm}$.

Exemplul 2: a treia franjă întunecată

Pentru același dispozitiv, la ce distanță de maximul central se află a treia franjă întunecată?

1. Prima franjă întunecată corespunde lui $k=0$, a treia lui $k=2$.
2. $x_{\min }=(2k+1)\frac{\lambda D}{4l}=5\cdot \frac{i}{2}=5\cdot 0,5=2,5\text{mm}$.

Exemplul 3: dispozitivul în apă

Dacă tot dispozitivul din exemplul 1 este scufundat în apă ($n=\frac{4}{3}$), ce interfranjă se obține?

1. $i^{\prime }=\frac{i}{n}=\frac{1\text{mm}}{4/3}=0,75\text{mm}$.

Exemplul 4: o lamă în fața unei fante (nivel de examen)

În fața uneia dintre fantele dispozitivului din exemplul 1 se pune o lamă de sticlă ($n=1,5$) cu grosimea de $12,8\mu \text{m}$. Cu cât se deplasează franjele și cu câte interfranje?

1. Drumul optic al razei crește cu $(n-1)e=0,5\cdot 12,8\cdot 10^{-6}=6,4\cdot 10^{-6}\text{m}$, adică exact $10\lambda$.
2. $\Delta x=\frac{(n-1)eD}{2l}=\frac{6,4\cdot 10^{-6}\cdot 1,25}{0,8\cdot 10^{-3}}=10^{-2}\text{m}=10\text{mm}$.
3. $\frac{\Delta x}{i}=10$ interfranje: maximul central ajunge unde era maximul de ordinul $10$, de partea fantei acoperite.

Exemplul 5: stratul antireflex și pana de aer

a) Ce grosime minimă trebuie să aibă un strat antireflex cu $n=1,30$, depus pe o lentilă de sticlă, pentru $\lambda =520\text{nm}$, la incidență normală? b) O pană de aer cu unghiul $\alpha =10^{-4}\text{rad}$ este iluminată normal cu $\lambda =550\text{nm}$. Cât este interfranja?

1. a) Ambele reflexii se fac pe un mediu mai refringent: $e=\frac{\lambda }{4n}=\frac{520}{4\cdot 1,30}=100\text{nm}$.
2. b) În aer $n=1$: $i=\frac{\lambda }{2\alpha }=\frac{550\cdot 10^{-9}}{2\cdot 10^{-4}}=2,75\cdot 10^{-3}\text{m}=2,75\text{mm}$.

La Bac (modulul de optică) și la admiterea la UMFCD, întrebările cer aproape întotdeauna diferența de drum optic și clasificarea punctului ca maxim sau minim. Pașii sunt: se scrie fiecare drum ca $\sum n_j{d}_j$, se face diferența, se compară cu ${\lambda }_0$ și se țin seama de eventualele inversări de fază la reflexie.

• Dacă sursele oscilează în opoziție de fază, condițiile de maxim și minim se inversează.
• O lamă cu fețe plan-paralele de grosime $t$ și indice $n$, introdusă pe un drum, adaugă $(n-1)t$ la diferența de drum optic și deplasează modelul cu $N=(n-1)t/{\lambda }_0$ franje.
• Ordinul unui maxim este $k=\Delta /{\lambda }_0$ și trebuie să fie întreg; la valoare semi-întreagă apare un minim.

Capcanele sunt compararea lungimilor geometrice în loc de cele optice și folosirea lui $\lambda$ din mediu în locul lui ${\lambda }_0$ cu drumuri optice.

Exemplu în formatul examenului. Două fascicule coerente, aflate în fază la sursă, au ${\lambda }_0=500\mathrm{nm}$. Pe unul dintre drumuri se introduce o lamă de sticlă cu $n=1,5$ și grosimea de $4,0\mu \mathrm{m}$. Numărul de franje cu care se deplasează modelul de interferență este:

• a) 4
• b) 8
• c) 12
• d) 20

Rezolvare.

1. Lama adaugă drumului optic $(n-1)t=0,5\cdot 4,0=2,0\mu \mathrm{m}$, pentru că ea înlocuiește aerul de aceeași grosime.
2. Numărul de franje este $N=2,0\cdot 10^{-6}/(5,0\cdot 10^{-7})=4$.

Răspuns corect: a).

Varianta b) se obține dacă se folosește numai grosimea $t$, c) dacă se folosește $nt$, iar d) dacă se calculează $(n+1)t$.

Unde apare la examen

• Admiterea la Medicină, UMF „Carol Davila”: tematica de fizică 2026 are, la optica ondulatorie, tema „Interferența”, cu dispozitivul Young și interferența localizată (tematica 2026). Formatul probei este pe pagina admiterii la Medicină Carol Davila.
• Bacalaureatul, proba de fizică: în modulul D, Optică, programa de examen cere condițiile de obținere a interferenței staționare, lungimea de undă, elementele dispozitivului Young, franjele, diferența de drum optic, condițiile de maxim și minim și interfranja; interferența localizată nu este în programa de examen (programa de examen, anexa 2 la OMECTS 5610/2012).

Greșeli frecvente

• Greșit: a crede că două becuri independente produc automat franje stabile.
  Corect: franjele stabile cer surse coerente, obținute dintr-o singură sursă.
• Greșit: a confunda drumurile geometrice egale cu drumurile optice egale prin medii diferite.
  Corect: drumul optic este $n\cdot d$.
• Greșit: a ignora schimbarea de fază la reflexie în pelicule subțiri.
  Corect: la reflexia pe un mediu mai refringent se adaugă $\lambda /2$.
• Greșit: în franjele întunecate lumina se pierde.
  Corect: energia se redistribuie spre franjele luminoase; media intensității rămâne $I_1+I_2$.
• Greșit: a folosi $2l$ ca jumătate din distanța dintre fante.
  Corect: în formula din manual, $2l$ este toată distanța dintre fante; dacă enunțul o notează cu $d$, atunci $i=\frac{\lambda D}{d}$.
• Greșit: a numerota prima franjă întunecată cu $k=1$.
  Corect: prima franjă întunecată este la $\frac{i}{2}$ de centru, adică $k=0$ în formula minimelor.
• Greșit: a spune că interfranja crește când dispozitivul este scufundat în lichid.
  Corect: lungimea de undă scade de $n$ ori, deci și interfranja scade de $n$ ori.
• Greșit: a considera că o lamă pusă în fața unei fante schimbă interfranja.
  Corect: lama deplasează toată figura de interferență, dar distanța dintre franje rămâne aceeași.

Înainte și după

Întrebări frecvente