Difracția luminii

Lumina pare adesea să meargă în linie dreaptă și să facă umbre cu margini clare. Dacă trece printr-o fantă comparabilă cu lungimea ei de undă, lumina se răspândește lateral prin difracție. Fenomenul se numește difracție. Pe un ecran pot apărea o zonă centrală luminoasă și alte zone mai slabe, separate de regiuni întunecate.

Difracția nu înseamnă că lumina „lovește” fanta și sare ca o bilă. Fiecare parte a frontului de undă care trece prin deschidere contribuie la undele ce ajung dincolo de ea. Aceste contribuții interferează între ele. De aceea distribuția intensității nu este uniformă. O fantă mai îngustă produce o răspândire unghiulară mai mare a luminii transmise.

La o ușă obișnuită, lumina vizibilă are o lungime de undă mult mai mică decât deschiderea, astfel că difracția nu este evidentă cu ochiul liber. Sunetul are lungimi de undă comparabile cu dimensiunile unei uși și îl poți auzi după colț. Aceasta nu înseamnă că lumina nu se difractă deloc; efectul este doar foarte mic în acea geometrie.

O rețea de difracție are multe fante apropiate și separă culorile luminii după lungimea de undă. Spectrele obținute ajută la identificarea surselor de lumină. Nu privi un laser direct sau prin instrumente optice; experimentele cu fascicule concentrate se fac cu protecții potrivite.

Difracția se explică prin principiul Huygens–Fresnel: fiecare punct al frontului de undă care ajunge în deschidere devine sursă de unde secundare coerente, iar în fiecare punct al ecranului se adună (interferă) contribuțiile tuturor acestor surse. Fenomenul este vizibil când dimensiunea deschiderii este de cel mult câteva sute de lungimi de undă. Pentru lumina vizibilă ($\lambda$ între $400\mathrm{nm}$ și $700\mathrm{nm}$), fantele au lățimi de zeci de micrometri sau mai mici.

Fanta simplă. Fanta de lățime $a$ este iluminată normal cu lumină monocromatică, iar ecranul se află la distanța $D\gg a$. Unghiul $\theta$ se măsoară față de normala la fantă. Minimele de intensitate apar în direcțiile în care razele pornite din cele două jumătăți ale fantei se anulează două câte două:

Valoarea $m=0$ nu dă un minim, ci centrul maximului principal. Maximul central are lățimea unghiulară $2\lambda /a$ și lățimea liniară $2\lambda D/a$ pe ecran (la unghiuri mici), adică de două ori lățimea maximelor laterale. Maximele laterale sunt mult mai slabe: primul are doar circa $4,7\%$ din intensitatea centrală. Îngustarea fantei lărgește figura de difracție, iar lărgirea fantei o strânge spre centru.

Rețeaua de difracție. O rețea are fante identice, paralele și echidistante, la distanța $d$ una de alta; $d$ se numește constanta rețelei și este inversul numărului de linii pe unitatea de lungime. Maximele principale se află în direcțiile în care undele de la fantele vecine au diferența de drum $k\lambda$:

Ordinul $k$ este limitat de condiția $\sin {\theta }_k<1$, deci $k<d/\lambda$, iar numărul total de maxime principale este $2k_{\max }+1$, cu cel central inclus. Cu cât sunt luminate mai multe fante, cu atât maximele sunt mai înguste și mai luminoase. Lumina albă dă un maxim central alb, iar în fiecare ordin $k\ge 1$ un spectru în care violetul este mai aproape de centru decât roșul, deoarece $\sin {\theta }_k$ crește cu $\lambda$. Ordinea culorilor este opusă celei dintr-o prismă, unde violetul se abate cel mai mult.

Exemplu rezolvat 1. O fantă cu lățimea de $0,10\mathrm{mm}$ este iluminată cu un laser He–Ne ($\lambda =633\mathrm{nm}$), iar ecranul se află la $3,0\mathrm{m}$. Se cer lățimea maximului central și efectul îngustării fantei.

1. Primul minim satisface $a\sin \theta =\lambda$, deci $\sin \theta =6,33\cdot 10^{-7}/10^{-4}=6,33\cdot 10^{-3}$.
2. Unghiul este mic, deci $\mathrm{tg}\theta \approx \sin \theta$, iar distanța primului minim față de centru este $y=D\mathrm{tg}\theta =3,0\cdot 6,33\cdot 10^{-3}=1,9\cdot 10^{-2}\mathrm{m}=19\mathrm{mm}$.
3. Maximul central se întinde între minimele $m=+1$ și $m=-1$, deci are lățimea $2y=38\mathrm{mm}$.
4. La $a=0,050\mathrm{mm}$, lățimea se dublează: $2y=76\mathrm{mm}$.

O fantă de o zecime de milimetru produce deci, pe un perete aflat la câțiva metri, o figură de difracție lată de câțiva centimetri, ușor de văzut cu ochiul liber.

Exemplu rezolvat 2. O rețea cu $600$ linii/mm este iluminată normal cu lumina galbenă a sodiului, $\lambda =589\mathrm{nm}$. Câte maxime principale apar și sub ce unghiuri?

1. Constanta rețelei este $d=1\mathrm{mm}/600=1,67\cdot 10^{-6}\mathrm{m}$.
2. Pentru $k=1$: $\sin {\theta }_1=\lambda /d=5,89\cdot 10^{-7}/1,67\cdot 10^{-6}=0,353$, deci ${\theta }_1=20,7^{\circ }$.
3. Pentru $k=2$: $\sin {\theta }_2=0,707$, deci ${\theta }_2=45,0^{\circ }$.
4. Raportul $d/\lambda =2,83$ arată că $k_{\max }=2$, deoarece ordinul $3$ ar cere $\sin \theta =1,06>1$. Apar $2\cdot 2+1=5$ maxime.

La unghiuri de zeci de grade, aproximația $\sin \theta \approx \mathrm{tg}\theta$ nu mai este permisă. Cu lumină albă ($400$–$700\mathrm{nm}$), aceeași rețea dă spectre de ordinul 1 între $13,9^{\circ }$ și $24,8^{\circ }$ și de ordinul 2 între $28,7^{\circ }$ și $57,1^{\circ }$, deci primele două ordine nu se suprapun.

Aplicații. Spectroscopul cu rețea măsoară lungimile de undă ale liniilor spectrale, iar un CD, cu pistele la $1,6\mu \mathrm{m}$, difractă lumina ca o rețea prin reflexie. Planurile de atomi dintr-un cristal, la distanțe de ordinul $0,1\mathrm{nm}$, difractă razele X și permit determinarea structurii cristaline. Interferența, care stă la baza figurii de difracție, este tratată în lecția Interferența luminii, iar o altă cale de a obține un spectru în lecția Dispersia și polarizarea luminii.

Exemplu rezolvat 3: unghiul maximului și ordinul maxim. O rețea are $300$ de trăsături pe milimetru și este iluminată normal cu lumină cu $\lambda =550\text{nm}$. Sub ce unghi apare maximul de ordinul $1$? Care este ordinul maxim și câte maxime principale se văd?

1. $d=\frac{1}{300}\text{mm}\approx 3,33\mu \text{m}=3,33\cdot 10^{-6}\text{m}$.
2. $\sin {\theta }_1=\frac{\lambda }{d}=\frac{550\cdot 10^{-9}}{3,33\cdot 10^{-6}}=0,165$, deci ${\theta }_1\approx 9,5^{\circ }$.
3. $\frac{d}{\lambda }\approx 6,06$, deci $k_{\max }=6$.
4. Numărul de maxime: $2\cdot 6+1=13$ (cele șase ordine de fiecare parte și maximul central).

Exemplu rezolvat 4: lungimea de undă din unghi. O rețea cu $600$ de trăsături pe milimetru dă maximul de ordinul $1$ al unei radiații sub unghiul de $20^{\circ }$ ($\sin 20^{\circ }\approx 0,342$). Ce lungime de undă are radiația?

1. $d=\frac{1}{600}\text{mm}\approx 1,667\cdot 10^{-6}\text{m}$.
2. $\lambda =d\sin {\theta }_1=1,667\cdot 10^{-6}\cdot 0,342\approx 5,70\cdot 10^{-7}\text{m}=570\text{nm}$, o radiație galben-verzuie.

Exemplu rezolvat 5: poziția pe ecran. Pentru rețeaua din exemplul 3, ecranul se află la $1,2\text{m}$ de rețea. La ce distanță de maximul central apare maximul de ordinul $1$?

1. $\mathrm{tg}{\theta }_1=\mathrm{tg}9,5^{\circ }\approx 0,167$.
2. $x_1=D\mathrm{tg}{\theta }_1\approx 1,2\cdot 0,167\approx 0,20\text{m}$.

Pentru un unghi atât de mic, aproximarea $\mathrm{tg}\theta \approx \sin \theta$ dă $1,2\cdot 0,165\approx 0,198\text{m}$, practic același rezultat.

Exemplu rezolvat 6: spectre care se suprapun. O rețea este iluminată cu lumină albă, cu lungimi de undă între $400\text{nm}$ și $750\text{nm}$. Se suprapun spectrele de ordinul $1$ și $2$? Dar cele de ordinul $2$ și $3$?

1. Două spectre se suprapun dacă marginea roșie a ordinului mai mic are unghiul mai mare decât marginea violetă a ordinului următor, adică dacă $k{\lambda }_{\text{roșu}}>(k+1){\lambda }_{\text{violet}}$.
2. Ordinele $1$ și $2$: $1\cdot 750=750\text{nm}<2\cdot 400=800\text{nm}$, deci nu se suprapun.
3. Ordinele $2$ și $3$: $2\cdot 750=1500\text{nm}>3\cdot 400=1200\text{nm}$, deci se suprapun.

Rezultatul nu depinde de rețea: constanta $d$ se simplifică.

Problemele cu difracție cer aproape întotdeauna aplicarea corectă a uneia dintre cele două condiții și atenție la unghiuri și unități. Tipurile frecvente:

• lungimea de undă din unghiul unui maxim al rețelei: $\lambda =d\sin {\theta }_k/k$;
• numărul de maxime vizibile: $2k_{\max }+1$, cu $k_{\max }$ cel mai mare număr întreg strict mai mic decât $d/\lambda$;
• poziția pe ecran, $y_k=D\mathrm{tg}{\theta }_k$, unde aproximația $\mathrm{tg}\theta \approx \sin \theta$ se admite numai la unghiuri de câteva grade, deci practic numai la fanta simplă;
• constanta rețelei dintr-un număr de linii: $500$ linii/mm înseamnă $d=2,0\mu \mathrm{m}$;
• suprapunerea spectrelor în lumina albă: ordinul $k+1$ al lungimii de undă ${\lambda }_1$ coincide cu ordinul $k$ al lungimii ${\lambda }_2$ când $(k+1){\lambda }_1=k{\lambda }_2$.

Capcanele obișnuite sunt confuzia dintre lățimea fantei $a$ și constanta rețelei $d$, folosirea relației $a\sin \theta =m\lambda$ pentru maxime și lăsarea lungimilor în unități diferite (milimetri pentru $d$, nanometri pentru $\lambda$).

Exemplu în formatul examenului. O rețea cu $500$ linii/mm este iluminată normal cu lumină monocromatică de lungime de undă $600\mathrm{nm}$. Numărul total de maxime principale care se pot observa (inclusiv cel central) este:

• a) 6
• b) 7
• c) 9
• d) 3

Rezolvare.

1. Constanta rețelei este $d=1/500\mathrm{mm}=2,0\mu \mathrm{m}=2000\mathrm{nm}$.
2. Condiția $\sin {\theta }_k<1$ dă $k<d/\lambda =2000/600=3,33$, deci $k_{\max }=3$.
3. Maximele corespund lui $k=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3$, adică $2\cdot 3+1=7$ maxime.

Răspuns corect: b).

Varianta a) apare dacă se omite maximul central, c) dacă $3,33$ se rotunjește în sus la $4$, iar d) dacă se numără ordinele numai de o parte a maximului central.

Unde apare la examen

• Admiterea la Medicină, UMF „Carol Davila”: tematica de fizică 2026 are, la optica ondulatorie, tema „Difracția luminii. Aplicații”.
• Bacalaureatul, proba de fizică: difracția nu este în programa de examen.
• Clasa a XI-a: în programa veche, difracția luminii și rețeaua de difracție sunt teme ale curriculumului diferențiat.

Greșeli frecvente

• Greșit: lumina nu se difractă la o ușă sau la o fereastră.
  Corect: orice deschidere difractă lumina; la o ușă de $1\mathrm{m}$ unghiul caracteristic este $\lambda /a\approx 5\cdot 10^{-7}\mathrm{rad}$, prea mic ca să se observe cu ochiul liber.
• Greșit: a folosi condiția maximelor rețelei pentru minimele fantei unice.
  Corect: pentru o fantă unică, $a\sin \theta =m\lambda$ dă minimele; pentru rețea, $d\sin \theta =k\lambda$ dă maximele.
• Greșit: a crede că îngustarea fantei îngustează maximul central.
  Corect: îngustarea fantei lărgește maximul central, deoarece lățimea lui este $2\lambda D/a$.
• Greșit: la rețea, roșul este mai aproape de maximul central decât violetul, ca la prismă.
  Corect: $\sin {\theta }_k=k\lambda /d$ crește cu $\lambda$, deci violetul este mai aproape de centru decât roșul.
• Greșit: numărul de trăsături pe milimetru este constanta rețelei.
  Corect: constanta este inversul lui: $500$ de trăsături pe milimetru înseamnă $d=2\mu \text{m}$, nu $500\text{mm}$.
• Greșit: când $d/\lambda$ este număr întreg, acesta este ordinul maxim observabil.
  Corect: maximul respectiv ar fi la $90^{\circ }$, de-a lungul rețelei, și nu se observă; ordinul maxim este cel mai mare întreg strict mai mic decât $d/\lambda$.
• Greșit: numărul de maxime principale este $2k_{\max }$.
  Corect: se numără și maximul central, deci numărul total este $2k_{\max }+1$.
• Greșit: la poziția pe ecran se poate folosi oricând $\sin \theta$ în loc de $\mathrm{tg}\theta$.
  Corect: la $30^{\circ }$ sau mai mult, $\mathrm{tg}\theta$ și $\sin \theta$ diferă vizibil; pentru poziția pe ecran folosești $\mathrm{tg}\theta$.

Înainte și după

Întrebări frecvente