Dispozitivul Young

În dispozitivul Young, două fante apropiate sunt iluminate de aceeași undă și devin surse coerente. Pe ecran apar franje luminoase și întunecate prin suprapunerea undelor venite de la cele două fante. Modelul presupune fante iluminate în fază și cu amplitudini egale în analiza ideală.

În franjele luminoase, undele ajung în fază și se întăresc. În franjele întunecate, undele ajung exact în opoziție de fază și se anulează în modelul cu amplitudini egale. În centrul ecranului drumurile sunt egale, deci franja centrală este întotdeauna luminoasă în acest montaj.

Interfranja este distanța dintre două franje luminoase vecine sau două franje întunecate vecine. Pentru lungimea de undă și distanța dintre fante fixate, depărtarea ecranului mărește interfranja; depărtarea fantelor una de alta o micșorează. Distanța dintre fante se notează $2l$.

Un laser face modelul ușor de observat, dar nu se îndreaptă spre ochi. Desenează cele două fante, ecranul și cele două drumuri către același punct; fiecare franjă este un rezultat al interferenței, nu o imagine separată a unei fante.

O fantă-sursă luminată cu lumină monocromatică iluminează două fante paralele aflate la distanța $2l$ una de alta. Ecranul este paralel cu planul fantelor, la distanța $D\gg 2l$. Un punct al ecranului aflat la distanța $x$ față de axa de simetrie primește unde de la cele două fante pe drumuri care diferă cu

deoarece pentru unghiuri mici $\sin \theta \approx \mathrm{tg}\theta \approx x/D$. Relația se obține din teorema lui Pitagora scrisă pentru cele două drumuri, $r_1^2=D^2+(x-l{)}^2$ și $r_2^2=D^2+(x+l{)}^2$: scăderea lor dă $r_2^2-r_1^2=4lx$, iar $r_1+r_2\approx 2D$. Fanta-sursă asigură coerența: ea transformă lumina în două fascicule care provin din același front de undă, deci păstrează o diferență de fază constantă. Relația exactă pentru maxime este $2l\sin \theta =k\lambda$. Condiția $\Delta =k\lambda$ dă maximele, iar $\Delta =(2k+1)\lambda /2$ dă minimele:

Interfranja este $i=\lambda D/(2l)$. Franjele sunt drepte, paralele cu fantele și echidistante, iar între o franjă luminoasă și una întunecată vecină distanța este $i/2$. Intensitatea variază după legea $I=4I_0{\cos }^2(\pi x/i)$, unde $I_0$ este intensitatea dată de o singură fantă.

Interfranja este direct proporțională cu $\lambda$ și cu $D$ și invers proporțională cu $2l$. În lumină albă, franja centrală este albă, deoarece toate culorile au $\Delta =0$ acolo, iar de o parte și de alta apar franje colorate cu violetul spre centru, pentru că $x_k$ crește cu $\lambda$; după câteva ordine culorile se suprapun și iluminarea devine aproape albă. Într-un mediu cu indicele $n$, lungimea de undă devine $\lambda /n$, iar interfranja devine $i/n$. Dacă o fantă este acoperită cu o lamă transparentă de grosime $t$ și indice $n$, drumul optic crește cu $(n-1)t$, iar sistemul de franje se deplasează cu $(n-1)tD/(2l)$ spre fanta acoperită.

Exemplu rezolvat 1. Fantele sunt la $2l=0,40\mathrm{mm}$, ecranul la $D=1,50\mathrm{m}$, iar sursa este un laser He–Ne cu $\lambda =632,8\mathrm{nm}$. Se cer interfranja și pozițiile a două franje.

1. Convertim $2l=4,0\cdot 10^{-4}\mathrm{m}$ și $\lambda =6,328\cdot 10^{-7}\mathrm{m}$.
2. Interfranja este $i=\lambda D/(2l)=6,328\cdot 10^{-7}\cdot 1,50/(4,0\cdot 10^{-4})=2,37\cdot 10^{-3}\mathrm{m}=2,37\mathrm{mm}$.
3. Maximul de ordinul $4$ se află la $x_4=4i=9,49\mathrm{mm}$ de centru.
4. Primul minim se află la $i/2=1,19\mathrm{mm}$ de centru.

Pentru ultima franjă, $x/D=9,49\cdot 10^{-3}/1,50=6,3\cdot 10^{-3}$, deci aproximația unghiurilor mici este justificată. Dacă ecranul se depărtează la $3,00\mathrm{m}$, interfranja se dublează la $4,75\mathrm{mm}$ și franjele sunt mai ușor de numărat. Cu aceleași dimensiuni și lumină albă, maximul de ordinul $1$ al violetului ($400\mathrm{nm}$) este la $1,5\mathrm{mm}$ de centru, iar al roșului ($700\mathrm{nm}$) la $2,6\mathrm{mm}$.

Exemplu rezolvat 2. Într-un experiment cu $2l=0,50\mathrm{mm}$ și $D=1,20\mathrm{m}$, zece interfranje consecutive acoperă $14,2\mathrm{mm}$ pe ecran. Care este lungimea de undă a luminii?

1. Interfranja este $i=14,2/10=1,42\mathrm{mm}=1,42\cdot 10^{-3}\mathrm{m}$.
2. Din $i=\lambda D/(2l)$ rezultă $\lambda =i\cdot 2l/D$.
3. Calculăm $\lambda =1,42\cdot 10^{-3}\cdot 5,0\cdot 10^{-4}/1,20=5,92\cdot 10^{-7}\mathrm{m}=592\mathrm{nm}$.

Lumina este galbenă. Măsurarea mai multor interfranje deodată micșorează eroarea relativă a lui $i$.

La Bac și la admitere, problemele cu dispozitivul Young cer fie interfranja sau poziția unei franje, fie una dintre mărimile $\lambda$, $2l$, $D$ din celelalte, fie efectul unei modificări a montajului. Se cunosc relațiile de proporționalitate: dublarea lui $D$ dublează $i$, înjumătățirea lui $2l$ dublează $i$, trecerea din aer în apă ($n=4/3$) micșorează $i$ de $4/3$ ori.

• Pentru deplasarea sistemului de franje datorată unei lame, se calculează întâi $N=(n-1)t/\lambda$, apoi deplasarea $Ni$.
• Numărul de franje luminoase pe o lățime $L$ a ecranului se află ținând seama că centrul este luminos: pentru un ecran de lățime $L$ centrat pe axă, numărul lor este $2[L/(2i)]+1$, unde $[x]$ este partea întreagă a lui $x$.
• La lumină albă, două culori coincid într-un loc când $k_1{\lambda }_1=k_2{\lambda }_2$.

Capcanele sunt confuzia dintre $2l$ și $l$, calculul fără conversie în metri și confundarea poziției unei franje cu interfranja.

Exemplu în formatul examenului. Într-un dispozitiv Young, $2l=0,50\mathrm{mm}$, $D=2,0\mathrm{m}$ și $\lambda =500\mathrm{nm}$. Fanta de jos este acoperită cu o lamă transparentă cu $n=1,5$ și grosimea $10\mu \mathrm{m}$. Franja centrală se deplasează cu:

• a) $10\mathrm{mm}$
• b) $20\mathrm{mm}$
• c) $40\mathrm{mm}$
• d) $60\mathrm{mm}$

Rezolvare.

1. Interfranja este $i=\lambda D/(2l)=5,0\cdot 10^{-7}\cdot 2,0/(5,0\cdot 10^{-4})=2,0\mathrm{mm}$.
2. Lama adaugă drumul optic $(n-1)t=0,5\cdot 10\mu \mathrm{m}=5,0\mu \mathrm{m}$, adică $N=5,0\cdot 10^{-6}/(5,0\cdot 10^{-7})=10$ lungimi de undă.
3. Deplasarea este $Ni=10\cdot 2,0=20\mathrm{mm}$, spre fanta acoperită.

Răspuns corect: b).

Varianta a) apare dacă se confundă numărul de franje cu milimetrii, c) dacă se folosește numai grosimea $t$ în loc de $(n-1)t$, iar d) dacă se folosește $nt$.

Greșeli frecvente

• Greșit: interfranja crește când separarea fantelor crește.
  Corect: $i=\lambda D/(2l)$, deci interfranja scade la creșterea lui $2l$.
• Greșit: se introduc milimetri și metri fără conversie în aceeași formulă.
  Corect: toate lungimile se exprimă în unități compatibile.
• Greșit: franja centrală este formată din două imagini independente ale fantelor.
  Corect: este maximul de interferență la drumuri egale.
• Greșit: interfranja este distanța dintre o franjă luminoasă și cea întunecată vecină.
  Corect: interfranja este distanța dintre două franje de același fel consecutive; între o franjă luminoasă și cea întunecată vecină distanța este $i/2$.

Înainte și după