Interferența localizată

O peliculă foarte subțire de săpun poate arăta culori care se schimbă când o privești din alt unghi. Lumina se reflectă de la suprafața exterioară a peliculei, dar și de la suprafața interioară. Cele două unde reflectate ajung din nou împreună la ochi și interferă. Culorile observate depind de grosimea peliculei, de unghi și de lungimea de undă.

Această interferență se numește localizată deoarece franjele se formează într-o regiune precisă: pe suprafața unei pene optice sau, pentru o lamă cu fețe plan-paralele, la infinit, de unde sunt aduse în ochi sau pe un ecran cu o lentilă. Nu este imaginea de dungi întinse pe un ecran îndepărtat din dispozitivul Young. Explicația de bază rămâne totuși suprapunerea a două unde coerente care au parcurs drumuri optice diferite.

La reflexia pe un mediu cu indice de refracție mai mare, unda suferă o schimbare de fază de $\pi$, adică o jumătate de perioadă (o diferență de drum de $\lambda /2$). La reflexia pe un mediu cu indice mai mic, faza nu se schimbă. De aceea o formulă bazată numai pe „de două ori grosimea” nu decide singură dacă o culoare este întărită sau slăbită: trebuie cunoscute mediile de pe ambele părți ale peliculei.

Stratul antireflex de pe lentile folosește același principiu pentru a anula reflexia unei anumite lungimi de undă; lumina care nu se mai reflectă trece prin lentilă. Pelicula de săpun este un exemplu ușor de observat, dar nu te uita la Soare prin ea.

În interferența localizată, cele două raze provin din aceeași rază incidentă, divizată prin reflexie parțială pe cele două fețe ale unui strat transparent. Ele sunt coerente numai dacă grosimea stratului este mică, de ordinul micrometrilor.

Lama cu fețe plan-paralele are grosimea $d$ și indicele $n$, iar în jurul ei se află aer. Lumina cade sub unghiul $i$, iar unghiul de refracție $r$ respectă $\sin i=n\sin r$. Raza care trece prin lamă parcurge în plus drumul optic $2nd\cos r$. Reflexia pe fața superioară (aer–lamă) are salt de fază $\pi$, iar cea de pe fața inferioară (lamă–aer) nu are. Diferența de drum optic dintre raze este $2nd\cos r$, la care se adaugă ${\lambda }_0/2$ din cauza saltului de fază, iar condițiile de interferență în reflexie sunt

unde ${\lambda }_0$ este lungimea de undă în vid. Lumina transmisă are condiții inverse, pentru că energia incidentă se împarte între reflexie și transmisie. Pentru grosime $d$ constantă, rezultatul depinde numai de $r$: franjele sunt inele de egală înclinare. O peliculă foarte subțire ($d\ll {\lambda }_0$) apare întunecată în reflexie, ca bula de săpun chiar înainte să plesnească.

Pana optică este un strat a cărui grosime crește liniar de la muchie, $d=\alpha x$, cu $\alpha$ unghiul penei (foarte mic) și $x$ distanța față de muchie. La incidență aproape normală, minimele în reflexie au loc la grosimi care cresc din ${\lambda }_0/(2n)$ în ${\lambda }_0/(2n)$, deci franjele sunt drepte, paralele cu muchia și echidistante, cu interfranja

Pentru pana de aer dintre două lame de sticlă, muchia (unde $d=0$) este întunecată în reflexie. Franjele se numesc de egală grosime.

Exemplu rezolvat 1. O peliculă de săpun cu $n=1,33$ și grosimea $d=280\mathrm{nm}$, aflată în aer, este iluminată normal cu lumină albă. Ce culoare are lumina reflectată?

1. Există o singură inversare de fază, deci maximele respectă $2nd=(2k-1){\lambda }_0/2$, adică ${\lambda }_0=4nd/(2k-1)$.
2. Calculăm $4nd=4\cdot 1,33\cdot 280=1490\mathrm{nm}$.
3. Pentru $k=1$ rezultă $1490\mathrm{nm}$ (infraroșu), pentru $k=2$ rezultă $497\mathrm{nm}$, iar pentru $k=3$ rezultă $298\mathrm{nm}$ (ultraviolet).
4. Singura radiație vizibilă întărită este cea de $497\mathrm{nm}$. Minimul pentru $k=1$, ${\lambda }_0=2nd=745\mathrm{nm}$, elimină roșul.

Pelicula apare deci albastru-verzuie în reflexie, iar cu cât devine mai groasă sau mai subțire, culoarea se schimbă.

Exemplu rezolvat 2. Între două lame de sticlă care se ating la o muchie se află, la $L=10,0\mathrm{cm}$ de muchie, un fir subțire. Iluminate normal cu lumina sodiului (${\lambda }_0=589\mathrm{nm}$), lamele arată franje cu interfranja $i=0,50\mathrm{mm}$. Care este diametrul firului?

1. Între lame este aer ($n=1$), deci $\alpha ={\lambda }_0/(2i)=5,89\cdot 10^{-7}/(2\cdot 5,0\cdot 10^{-4})=5,89\cdot 10^{-4}\mathrm{rad}$.
2. Firul se află la distanța $L$, deci diametrul lui este $\alpha L=5,89\cdot 10^{-4}\cdot 0,100=5,89\cdot 10^{-5}\mathrm{m}\approx 59\mu \mathrm{m}$.
3. Verificare: între muchie și fir sunt $L/i=200$ de franje, iar fiecare corespunde unei creșteri a grosimii cu ${\lambda }_0/2=295\mathrm{nm}$; $200\cdot 295\mathrm{nm}=59\mu \mathrm{m}$.

Aplicații. O franjă dreaptă pe o piesă pusă pe o suprafață etalon arată că piesa e plană; o abatere a franjei cu o interfranjă corespunde unui defect de ${\lambda }_0/2$ în grosime. Inelele lui Newton apar între o lentilă plan-convexă de rază $R$ și o placă plană; în reflexie, raza inelului întunecat de ordin $k$ este $r_k=\sqrt{k{\lambda }_{0}R}$. Pe același principiu funcționează controlul grosimii straturilor subțiri.

La examen, pasul decisiv este aflarea numărului de inversări de fază. Desenează cele trei medii (deasupra, stratul, dedesubt) și compară indicii pe fiecare interfață: reflexia pe mediul cu indice mai mare adaugă ${\lambda }_0/2$.

• Dacă $n_1<n_2>n_3$ (săpun sau ulei în aer), apare o singură inversare și se aplică condițiile din „În detaliu”.
• Dacă $n_1<n_2<n_3$ (strat antireflex pe sticlă), apar două inversări care se compensează: maximul are loc la $2nd=k{\lambda }_0$, iar minimul la $2nd=(2k-1){\lambda }_0/2$.
• Culorile transmise sunt complementare celor reflectate.
• Lungimea de undă din formule este ${\lambda }_0$ (din vid); dacă se dă lungimea de undă din strat, $\lambda ={\lambda }_0/n$, condiția devine $2d=\dots \lambda$.
• Dacă pana este umplută cu lichid, interfranja devine $i/n$.

Exemplu în formatul examenului. Un strat de fluorură de magneziu ($n=1,38$) este depus pe sticlă ($n=1,52$) pentru a anula reflexia luminii cu ${\lambda }_0=550\mathrm{nm}$ la incidență normală. Grosimea minimă a stratului este:

• a) $138\mathrm{nm}$
• b) $199\mathrm{nm}$
• c) $99,6\mathrm{nm}$
• d) $399\mathrm{nm}$

Rezolvare.

1. Pe ambele interfețe (aer–strat și strat–sticlă) lumina se reflectă pe mediul cu indice mai mare, deci ambele reflexii au salt de fază $\pi$ și saltul nu influențează diferența de fază.
2. Minimul în reflexie cere $2nd=(2k-1){\lambda }_0/2$.
3. Pentru $k=1$, $d={\lambda }_0/(4n)=550/(4\cdot 1,38)=99,6\mathrm{nm}$.

Răspuns corect: c).

Varianta a) se obține dacă se omite indicele (${\lambda }_0/4$), b) dacă se scrie $2nd={\lambda }_0$, iar d) dacă se calculează ${\lambda }_0/n$.

Greșeli frecvente

• Greșit: a ignora saltul de fază la reflexie.
  Corect: reflexia pe un mediu cu indice mai mare introduce un salt de fază $\pi$, echivalent cu $\lambda /2$.
• Greșit: a presupune că toate culorile văzute în pelicula de săpun sunt pigmenți.
  Corect: culorile peliculei de săpun provin din interferența luminii reflectate pe cele două fețe.
• Greșit: a folosi $2t$ ca drum optic în loc de $2nt$ pentru pelicula cu $n\ne 1$.
  Corect: pentru incidență normală, drumul optic dus-întors în peliculă este $2nt$, nu $2t$.
• Greșit: la pana de aer dintre două lame de sticlă, muchia de contact este o franjă luminoasă în reflexie.
  Corect: la muchie $d=0$, dar reflexia de pe lamă adaugă $\lambda /2$, deci muchia este întunecată.

Înainte și după