Debitul și ecuația de continuitate

Debitul volumic este volumul de fluid care traversează o secțiune în unitatea de timp. Dacă în $5\mathrm{s}$ se colectează $1\mathrm{L}$, debitul mediu este $0,2L/s=0,0002{\mathrm{m}}^3/s$. Unitatea SI este metrul cub pe secundă (${\mathrm{m}}^3/s$). În curgerea staționară a unui fluid incomprimabil, același debit trece prin fiecare secțiune a unei conducte fără ramificații.

În curgerea laminară, fluidul înaintează în straturi ordonate, cu linii de curent care nu se intersectează. În curgerea turbulentă apar vârtejuri și fluctuații. Conservarea debitului nu cere neapărat curgere laminară; cere să nu se acumuleze fluid și să nu existe ramificații ori pierderi pe porțiunea studiată.

Ecuația de continuitate pentru un lichid incomprimabil care curge staționar este $S_1{v}_1=S_2{v}_2$. Într-un furtun mai îngust, viteza medie a apei crește când aria secțiunii scade. Imaginează-ți același număr de elevi trecând în fiecare minut printr-un coridor lat și unul îngust: în cel îngust trebuie să înainteze mai repede. La apă, volumul care intră într-o porțiune este egal cu volumul care iese din ea în același timp.

Nu confunda debitul cu viteza. Debitul măsoară volum pe timp, iar viteza măsoară distanță pe timp. O țeavă foarte lată poate avea debit mare chiar dacă apa curge destul de încet. Ca să le legi, ai nevoie și de aria secțiunii prin care curge apa.

Debitul volumic este $Q=\Delta V/\Delta t$, în ${\mathrm{m}}^3/s$. Pentru viteza medie $\bar{v}$ pe o secțiune de arie $S$, $Q=S\bar{v}$. Pentru un fluid incomprimabil în regim staționar, fără ramificații ori pierderi, $S_1{\bar{v}}_1=S_2{\bar{v}}_2$. Dacă densitatea variază, se conservă debitul masic $Q_m=\Delta m/\Delta t=\rho S\bar{v}$ într-o conductă staționară fără ramificații ori pierderi. Când conducta se ramifică, debitul din conducta principală este suma debitelor ramurilor: $S_0{v}_0=S_1{v}_1+S_2{v}_2$.

Ecuația de continuitate rezultă din conservarea masei. În intervalul $\Delta t$ prin secțiunea $S_1$ intră volumul $\Delta V_1=S_1{v}_1\Delta t$, iar prin secțiunea $S_2$ iese volumul $\Delta V_2=S_2{v}_2\Delta t$. Fluidul fiind incomprimabil și neexistând acumulare între cele două secțiuni, volumele sunt egale, deci $S_1{v}_1=S_2{v}_2$. Linia de curent este traiectoria unei particule de fluid într-o curgere staționară; pereții conductei sunt linii de curent, fiindcă fluidul nu trece prin ei, iar în orice tub format din linii de curent debitul este același în toate secțiunile.

Apariția turbulenței depinde de viteză, de diametrul conductei și de vâscozitatea fluidului. Viteza mare și diametrul mare favorizează curgerea turbulentă, iar vâscozitatea mare o menține laminară. Într-un tub îngust, cu un fluid vâscos, curgerea rămâne laminară chiar la debite apreciabile. Într-o conductă largă, cu apă și viteză mare, curgerea devine turbulentă și pierde mai multă energie prin vârtejuri.

Exemplu rezolvat 1 — timp de umplere. Debitul unui robinet este $Q=4\cdot 10^{-4}{\mathrm{m}}^3/s$, iar găleata are volumul $V=10\mathrm{L}$.

1. Convertim $10\mathrm{L}=0,01{\mathrm{m}}^3$.
2. Din $Q=V/t$ rezultă $t=V/Q$.
3. Calculăm $t=0,01/(4\cdot 10^{-4})=25\mathrm{s}$.

Calculul folosește volumul colectat și debitul dat; nu cere aria sau viteza apei în țeavă.

Exemplu rezolvat 2 — furtun cu duză. Un furtun cu diametrul interior de $2,0\mathrm{cm}$ debitează $10\mathrm{L}$ pe minut și se termină cu o duză cu diametrul de $0,50\mathrm{cm}$.

1. Debitul în unități SI este $Q=10\cdot 10^{-3}/60=1,67\cdot 10^{-4}{\mathrm{m}}^3/s$.
2. Aria furtunului este $S_1=\pi (0,010{)}^2=3,14\cdot 10^{-4}{\mathrm{m}}^2$, deci $v_1=Q/S_1\approx 0,53m/s$.
3. Aria duzei este $S_2=\pi (0,0025{)}^2=1,96\cdot 10^{-5}{\mathrm{m}}^2$, deci $v_2=Q/S_2\approx 8,5m/s$.
4. Diametrul s-a împărțit la patru, aria la șaisprezece, iar viteza a crescut de șaisprezece ori.

Același lucru se întâmplă când acoperi cu degetul o parte din capătul unui furtun de grădină: aria ieșirii scade, debitul rămâne neschimbat, iar jetul pornește mai repede și ajunge mai departe.

Exemplu rezolvat 3 — ramificație. O conductă cu aria secțiunii $8,0\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$ transportă apă cu $1,5m/s$ și se desparte în două ramuri. Prima ramură are $3,0\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$ și apa curge cu $2,0m/s$; a doua are $2,0\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$.

1. Debitul principal este $Q_0=8,0\cdot 10^{-4}\cdot 1,5=1,2\cdot 10^{-3}{\mathrm{m}}^3/s$.
2. Prima ramură preia $Q_1=3,0\cdot 10^{-4}\cdot 2,0=6,0\cdot 10^{-4}{\mathrm{m}}^3/s$.
3. A doua ramură preia restul, $Q_2=1,2\cdot 10^{-3}-6,0\cdot 10^{-4}=6,0\cdot 10^{-4}{\mathrm{m}}^3/s$.
4. Viteza în ea este $v_2=Q_2/S_2=6,0\cdot 10^{-4}/2,0\cdot 10^{-4}=3,0m/s$.

Același principiu explică de ce sângele curge cel mai lent în capilare: aria lor totală este de ordinul a $1000$ de ori mai mare decât a aortei, deci viteza medie este de aproximativ $1000$ de ori mai mică.

Greșeli frecvente

• Greșit: confundarea debitului ${\mathrm{m}}^3/s$ cu viteza $m/s$.
  Corect: debitul se măsoară în ${\mathrm{m}}^3/s$, viteza în $m/s$.
• Greșit: a afirma că debitul crește automat când țeava se îngustează într-un sistem staționar fără ramificații.
  Corect: la îngustare debitul rămâne constant și crește viteza.
• Greșit: aplicarea lui $S_1{v}_1=S_2{v}_2$ unui gaz cu variații importante de densitate fără verificarea condițiilor.
  Corect: pentru gaze cu densitate variabilă se conservă debitul masic $\rho Sv$.
• Greșit: curgerea turbulentă încalcă conservarea debitului.
  Corect: debitul mediu se conservă și în regim turbulent; diferă doar structura curgerii.

Înainte și după