Legea lui Pascal

Într-un sistem hidraulic, două pistoane apasă același lichid închis într-un recipient. Când apeși pe unul, efectul se transmite prin lichid și poate ridica o sarcină pe celălalt. Legea lui Pascal spune că o schimbare de presiune aplicată unui fluid închis se transmite nediminuată în toate direcțiile fluidului și către pereții vasului.

Este important cuvântul „schimbare”. Legea nu spune că presiunea totală este aceeași la orice adâncime; într-un lichid aflat în gravitație, presiunea crește spre fund. Dacă adaugi însă o presiune printr-un piston, creșterea ei se transmite prin fluidul închis, în modelul potrivit. Dacă strângi puternic o seringă etanșată la vârf, lichidul din ea apasă la fel de tare pe toți pereții, nu doar pe piston.

O presă hidraulică are un piston mic și unul mare. Pe pistonul mic aplici o forță pe o arie mică și produci o anumită creștere a presiunii. Aceeași creștere pe pistonul mare, cu arie mai mare, poate produce o forță mai mare. Nu este energie creată din nimic: pistonul mic trebuie să se deplaseze pe o distanță mai mare decât pistonul mare, în modelul ideal. Pe acest principiu funcționează cricul hidraulic al mașinilor, frânele hidraulice și scaunele reglabile de la frizerie și de la dentist.

Exemplu rezolvat. Ariile pistoanelor unei prese hidraulice sunt $1\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$ și $10\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$. Pe pistonul mic se aplică o forță de $10\mathrm{N}$.

1. Pistonul mic produce o creștere de presiune egală cu raportul dintre forță și arie: $10\mathrm{N}$ pe fiecare $1\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$.
2. Aceeași creștere de presiune acționează pe fiecare centimetru pătrat al pistonului mare, care are $10\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$.
3. Forța obținută ideal pe pistonul mare este $10\cdot 10=100\mathrm{N}$, adică de atâtea ori mai mare cât este raportul ariilor.
4. Dacă pistonul mare urcă $1\mathrm{cm}$, volumul de lichid mutat este același, deci cel mic trebuie să coboare cu aproximativ $10\mathrm{cm}$.

În sistemele reale există pierderi, frecări și limite ale materialelor.

Pentru două pistoane la același nivel în modelul ideal, creșterea de presiune este $\Delta p=F_1/A_1=F_2/A_2$, deci $F_2=F_1{A}_2/A_1$. Conservarea volumului lichidului incomprimabil dă $A_1{d}_1=A_2{d}_2$. Înmulțind, rezultă $F_1{d}_1=F_2{d}_2$ în absența pierderilor, în acord cu conservarea energiei: lucrul mecanic efectuat asupra pistonului mic este egal cu cel efectuat de pistonul mare. Presa hidraulică este deci un multiplicator de forță, nu de lucru mecanic.

Presiunea într-un lichid aflat în repaus este $p=p_0+\rho gh$, unde $p_0$ este presiunea de la suprafață, iar $h$ adâncimea. Legea lui Pascal spune că, dacă presiunea $p_0$ crește cu $\Delta p$ prin acțiunea unui piston, presiunea crește cu aceeași valoare $\Delta p$ în orice punct al lichidului, la orice adâncime. De aceea o forță mică poate produce o forță mare pe un perete cu suprafața mare. La niveluri diferite trebuie inclusă și variația hidrostatică a presiunii. Legea privește transmiterea variației adăugate, nu anulează termenul $\rho gh$. Într-un fluid compresibil sau într-o instalație cu pierderi, modelul ideal trebuie corectat; un gaz, de exemplu, își micșorează volumul sub presiune, deci nu poate transmite forța ca un lichid.

La frâna hidraulică a unui automobil, pedala apasă un piston din cilindrul principal, iar creșterea de presiune a lichidului de frână se transmite simultan tuturor cilindrilor de roată. Dacă în circuit pătrunde aer, o parte din cursa pedalei este consumată pentru comprimarea bulelor de gaz, deoarece gazul, spre deosebire de lichid, se comprimă ușor; de aceea circuitul se purjează.

Exemplu rezolvat 1 — presă ideală. Presa hidraulică ideală are $S_1=2\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$, $S_2=20\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$, iar pe pistonul mic se aplică $F_1=50\mathrm{N}$.

1. Creșterile de presiune sunt egale: $F_1/S_1=F_2/S_2$.
2. De aici $F_2=F_1{S}_2/S_1=50\cdot 20/2=500\mathrm{N}$.
3. Aria pistonului mare este de zece ori mai mare, deci și deplasarea lui este de zece ori mai mică decât a pistonului mic: $d_2=d_1/10$.

Exemplu rezolvat 2 — cric hidraulic. Un cric ridică o mașină de $1200\mathrm{kg}$ ($g=10m/{\mathrm{s}}^2$) așezată pe pistonul mare, cu diametrul de $40\mathrm{cm}$. Pistonul mic are diametrul de $4,0\mathrm{cm}$.

1. Greutatea mașinii este $G=mg=12000\mathrm{N}$.
2. Raportul ariilor este $S_2/S_1=(40/4{)}^2=100$, deoarece ariile sunt proporționale cu pătratele diametrelor.
3. Forța necesară pe pistonul mic este $F_1=G/100=120\mathrm{N}$.
4. Pentru ca mașina să urce $10\mathrm{cm}$, pistonul mic trebuie să parcurgă în total $10\mathrm{cm}\cdot 100=10\mathrm{m}$, în mai multe curse ale pompei.

Exemplu rezolvat 3 — seringă etanșată. Pe pistonul cu aria de $2,0\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$ al unei seringi umplute cu apă și închise la vârf se apasă cu $20\mathrm{N}$.

1. Creșterea de presiune este $\Delta p=F/S=20/(2,0\cdot 10^{-4})=1,0\cdot 10^5\mathrm{Pa}$.
2. Aceeași creștere se regăsește pe toți pereții recipientului.
3. Pe un perete cu aria de $50\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$, forța suplimentară este $\Delta p\cdot S=1,0\cdot 10^5\cdot 50\cdot 10^{-4}=500\mathrm{N}$.

Greșeli frecvente

• Greșit: a afirma că presiunea absolută este identică la orice adâncime într-un lichid.
  Corect: presiunea crește cu adâncimea ($p=p_0+\rho gh$); legea lui Pascal privește doar transmiterea unei variații de presiune.
• Greșit: a crede că presa hidraulică mărește și forța, și deplasarea în același raport.
  Corect: forța crește de $S_2/S_1$ ori, dar deplasarea pistonului mare scade de același număr de ori.
• Greșit: a compara forțele fără a compara ariile pistoanelor.
  Corect: $F_2/F_1=S_2/S_1$.

Înainte și după