Vectori în plan

Un vector nenul are modul (lungime), direcție și sens. Segmente orientate aflate în locuri diferite pot reprezenta același vector dacă au aceste trei caracteristici identice. $\overrightarrow{AB}$ pornește din $A$ și ajunge în $B$, iar $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$. Vectorul nul are modulul $0$.

Exemplu rezolvat. Dacă deplasarea $\overrightarrow{AB}$ este de $3$ unități spre dreapta și $\overrightarrow{BC}$ de $2$ unități în sus, găsim deplasarea totală.

1. Așezăm al doilea vector în continuarea primului.
2. Aplicăm regula triunghiului: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.
3. Deplasarea rezultată are componentele $(3;2)$.

Într-un reper cartezian, vectorul dintre două puncte se calculează scăzând coordonatele originii din cele ale extremității: $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A)$. Suma vectorilor se face pe componente și exprimă deplasarea rezultată prin regula triunghiului. Înmulțirea cu un scalar schimbă modulul cu factorul $|\lambda |$; pentru scalar negativ inversează sensul. Vectorii sunt coliniari dacă unul este multiplu scalar al celuilalt; în plan, criteriul echivalent este $u_1{v}_2-u_2{v}_1=0$. Într-un paralelogram, suma vectorilor de pe două laturi cu aceeași origine este vectorul diagonalei. Egalitatea unor vectori cere simultan aceeași direcție, același sens și același modul, nu aceeași poziție pe desen.

Exemplu rezolvat. Fie $A(1;-2)$, $B(4;2)$ și $C(7;6)$.

1. Calculăm $\overrightarrow{AB}=(3;4)$ și $\overrightarrow{BC}=(3;4)$.
2. Prin adunare, $\overrightarrow{AC}=(6;8)=2\overrightarrow{AB}$.
3. Vectorii sunt coliniari, iar $B$ este mijlocul segmentului $AC$.
4. Avem $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{3^2+4^2}=5$ și $|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{6^2+8^2}=10=2|\overrightarrow{AB}|$.

Doi vectori sunt egali dacă au același modul, aceeași direcție și același sens; de aceea un vector poate fi mutat paralel cu el însuși, ca vector liber. Adunarea se poate face după regula triunghiului, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ (relația lui Chasles), sau după regula paralelogramului: dacă $ABCD$ este paralelogram, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$. Scăderea este adunarea opusului, $\vec{u}-\vec{v}=\vec{u}+(-\vec{v})$, iar $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$ pentru orice punct $O$. Față de un punct $O$ ales ca origine, vectorul $\overrightarrow{OM}$ se numește vector de poziție al lui $M$.

Produsul dintre un scalar și un vector are aceeași direcție cu vectorul: dacă scalarul este pozitiv, sensul se păstrează, iar dacă este negativ, sensul se inversează. Adunarea vectorilor este comutativă și asociativă, iar vectorul nul este element neutru. Vectorii descriu mărimi fizice cu direcție, precum forțele și vitezele: dacă o barcă înaintează cu $4$ m/s spre nord, iar curentul o duce cu $3$ m/s spre est, viteza rezultată se obține prin adunarea celor doi vectori. Pentru a demonstra o relație vectorială, alegi un punct comun ca origine și exprimi toți vectorii față de el; apoi folosești faptul că doi vectori sunt egali dacă au aceleași componente. O condiție de coliniaritate a trei puncte $A$, $B$, $C$ este existența unui număr real $k$ cu $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$. Aceste egalități dau formule de poziție. Mijlocul $M$ al segmentului $AB$ satisface $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)$. Centrul de greutate $G$ al triunghiului $ABC$ satisface $\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)$ și $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$.

Exemplu rezolvat. Demonstrează că într-un triunghi $ABC$, mediana $AM$ verifică $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$.

1. Alegem $A$ ca origine. Atunci vectorii de poziție ai lui $B$ și $C$ sunt $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AC}$.
2. Mijlocul lui $BC$ are vectorul de poziție $\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$, conform formulei mijlocului.
3. Deci $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$.

Exemplu rezolvat. Pentru $A(0;0)$, $B(6;0)$ și $C(0;9)$, află centrul de greutate $G$.

1. Folosim $\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)$ cu $O$ origine: $\frac{1}{3}((0;0)+(6;0)+(0;9))=\frac{1}{3}(6;9)=(2;3)$.
2. Verificare: mijlocul lui $BC$ este $M(3;4,5)$, iar $G$ împarte mediana $AM$ în raportul $2:1$ de la vârf: $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}=\frac{2}{3}(3;4,5)=(2;3)$.

Răspuns: $G(2;3)$.

Dacă $M$ este în interiorul segmentului $[AB]$ și $MA/MB=k>0$, vectorul său de poziție este $\overrightarrow{OM}=\frac{\overrightarrow{OA}+k\overrightarrow{OB}}{1+k}$. Formula se verifică pe o axă: pentru $A(0;0)$, $B(6;0)$ și $k=2$, rezultă $M(4;0)$, iar $MA/MB=4/2=2$.

Greșeli frecvente

• Greșit: într-un paralelogram $ABCD$, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$.
  Corect: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$, iar $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$.
• Greșit: $\overrightarrow{AB}$ din exemplu este $(-3;-4)$.
  Corect: acesta este vectorul opus; vectorul cerut este $(3;4)$.
• Greșit: $-2\vec{u}$ are modulul $-2|\vec{u}|$.
  Corect: modulul este $2|\vec{u}|$, iar sensul se inversează.

Înainte și după

Întrebări frecvente