Coordonatele vectorilor

Într-un reper ortonormat, vectorul $\overrightarrow{AB}$ are componentele $(x_B-x_A;y_B-y_A)$. Componentele arată deplasarea orizontală și verticală, cu semn. Pentru $\vec{u}=(a;b)$ și $\vec{v}=(c;d)$, suma este $(a+c;b+d)$, iar $\lambda \vec{u}=(\lambda a;\lambda b)$.

Exemplu rezolvat. Pentru $A(-1;2)$ și $B(3;5)$:

1. Scădem abscisele: $3-(-1)=4$.
2. Scădem ordonatele: $5-2=3$.
3. $\overrightarrow{AB}=(4;3)$ și $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{4^2+3^2}=5$.

Scriem $\vec{u}=a\vec{i}+b\vec{j}$, unde $\vec{i},\vec{j}$ sunt vectorii unitari ai axelor. Modulul este $|\vec{u}|=\sqrt{a^2+b^2}$. Doi vectori $(a;b)$ și $(c;d)$ sunt coliniari dacă și numai dacă determinantul $ad-bc=0$; dacă unul dintre vectori este nul, determinantul este zero și vectorii sunt considerați coliniari. Relația $\vec{v}=\lambda \vec{u}$ este utilă când $\vec{u}$ este nenul.

Produsul scalar al vectorilor $(a;b)$ și $(c;d)$ este $ac+bd$; pentru vectori nenuli, el este zero dacă și numai dacă sunt perpendiculari. Exemplu rezolvat. Fie $\vec{u}=(3;4)$ și $\vec{v}=(4;-3)$. Modulul lui $\vec{u}$ este $\sqrt{3^2+4^2}=5$, iar $\vec{u}\cdot \vec{v}=3\cdot 4+4\cdot (-3)=0$. Deci vectorii sunt perpendiculari, deși niciuna dintre coordonatele lor nu este zero. Suma este $(7;1)$, calculată pe componente.

Operațiile cu coordonate se fac componentă cu componentă, deci rămân valabile regulile obișnuite: suma este comutativă și asociativă, înmulțirea cu un scalar se distribuie față de adunare, iar vectorul opus are componentele cu semn schimbat. Un vector unitar (versor) are modulul $1$; din orice vector nenul $\vec{u}$ se obține versorul său împărțind la modul, $\frac{\vec{u}}{|\vec{u}|}$. De exemplu, versorul lui $(3;4)$ este $\left(\frac{3}{5};\frac{4}{5}\right)$, pentru că ${\left(\frac{3}{5}\right)}^2+{\left(\frac{4}{5}\right)}^2=1$. Atenție la scrierea pe componente: ordinea contează, deoarece primul număr este componenta pe $Ox$ și al doilea pe $Oy$. Dacă ai trei puncte și vrei să arăți că sunt coliniare, calculezi doi vectori cu aceeași origine și verifici că determinantul componentelor lor este zero; dacă vrei să arăți că un unghi este drept, verifici că produsul scalar al vectorilor laturilor este zero. Aceste reguli permit să rezolvi ecuații vectoriale, adică să afli un vector când se cunoaște o relație între mai mulți vectori, prin ecuații ale componentelor.

Doi vectori necoliniari $\vec{u}$ și $\vec{v}$ formează o bază: orice vector $\vec{w}$ din plan se scrie unic $\vec{w}=\alpha \vec{u}+\beta \vec{v}$. Coeficienții se află din sistemul obținut egalând componentele. Unghiul $\theta$ dintre doi vectori nenuli se află din $\cos \theta =\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}$, cu $\theta \in [0^{\circ };180^{\circ }]$.

Exemplu rezolvat. Scrie $\vec{w}=(5;1)$ ca $\alpha \vec{u}+\beta \vec{v}$, cu $\vec{u}=(1;1)$ și $\vec{v}=(1;-1)$.

1. Vectorii nu sunt coliniari, fiindcă $1\cdot (-1)-1\cdot 1=-2\ne 0$.
2. Egalăm componentele: $\alpha +\beta =5$ și $\alpha -\beta =1$.
3. Adunând, $2\alpha =6$, deci $\alpha =3$, iar $\beta =2$.

Verificare: $3(1;1)+2(1;-1)=(5;1)$.

Exemplu rezolvat. Află unghiul dintre $\vec{u}=(1;2)$ și $\vec{v}=(3;1)$.

1. Produsul scalar este $1\cdot 3+2\cdot 1=5$.
2. Modulele sunt $|\vec{u}|=\sqrt{5}$ și $|\vec{v}|=\sqrt{10}$.
3. $\cos \theta =\frac{5}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{10}}=\frac{5}{\sqrt{50}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, deci $\theta =45^{\circ }$.

Exemplu rezolvat. Determină punctul $D$ astfel încât $ABCD$ să fie paralelogram, pentru $A(0;0)$, $B(4;1)$ și $C(6;5)$.

1. În paralelogramul $ABCD$, vectorii $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{DC}$ sunt egali. Avem $\overrightarrow{AB}=(4;1)$.
2. Din $\overrightarrow{DC}=(6-x_D;5-y_D)=(4;1)$ rezultă $x_D=2$ și $y_D=4$.

Verificare: $\overrightarrow{AD}=(2;4)=\overrightarrow{BC}$. Diagonalele $AC$ și $BD$ au același mijloc, $(3;2,5)$.

Exemplu rezolvat. Pentru ce valori ale lui $m$ sunt vectorii $\vec{a}=(m;3)$ și $\vec{b}=(2;-1)$ perpendiculari, respectiv coliniari?

1. Perpendiculari: $\vec{a}\cdot \vec{b}=2m-3=0$, deci $m=\frac{3}{2}$.
2. Coliniari: $m\cdot (-1)-3\cdot 2=0$, deci $m=-6$.

Greșeli frecvente

• Greșit: unghiul dintre doi vectori se obține ca $\cos \theta =\vec{u}\cdot \vec{v}$.
  Corect: produsul scalar se împarte la produsul modulelor; pentru $(1;2)$ și $(3;1)$ rezultă $\frac{\sqrt{2}}{2}$, nu $5$.
• Greșit: din $A(-1;2)$ și $B(3;5)$ se obține $\overrightarrow{AB}=(-4;-3)$.
  Corect: se scad coordonatele originii vectorului din cele ale capătului, deci $(4;3)$.
• Greșit: $|\vec{u}|=a+b$.
  Corect: într-un reper ortonormat, $|\vec{u}|=\sqrt{a^2+b^2}$.
• Greșit: vectorii $(2;4)$ și $(1;3)$ sunt coliniari fiindcă primele componente sunt proporționale.
  Corect: $2\cdot 3-4\cdot 1=2\ne 0$, deci nu sunt coliniari.

Înainte și după