Geometrie analitică — introducere

Geometria analitică exprimă poziția punctelor și relațiile dintre figuri prin coordonate și ecuații. În plan, punctul $P(x;y)$ are abscisa $x$ și ordonata $y$. Vectorul $\overrightarrow{AB}$ are coordonatele $(x_B-x_A;y_B-y_A)$, iar o dreaptă poate fi descrisă prin $ax+by+c=0$, cu $(a;b)\ne (0;0)$. Înlocuirea coordonatelor unui punct în ecuație arată dacă punctul aparține dreptei.

Tema continuă în lecțiile „Coordonatele vectorilor”, „Distanța dintre două puncte”, „Ecuația dreptei”, „Ecuația cercului” și „Aria triunghiului din coordonate”. Fiecare formulă algebrică răspunde unei întrebări geometrice: unde se află punctele, cât sunt de depărtate sau ce figură formează.

Exemplu rezolvat. Verificăm dacă $P(2;3)$ este pe dreapta $y=x+1$.

1. Înlocuim $x$ cu $2$: $x+1=3$.
2. Comparăm cu ordonata punctului: $y_P=3$.
3. Egalitatea este adevărată, deci $P$ aparține dreptei.

Într-un reper ortonormat, $AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$, iar produsul scalar al vectorilor $(u_1;u_2)$ și $(v_1;v_2)$ este $u_1{v}_1+u_2{v}_2$. Doi vectori nenuli sunt perpendiculari dacă și numai dacă produsul lor scalar este zero. Pentru două puncte cu abscise diferite, panta dreptei este $m=(y_B-y_A)/(x_B-x_A)$, iar ecuația ei este $y-y_A=m(x-x_A)$.

Exemplu rezolvat. Pentru $A(0;0)$, $B(4;0)$ și $C(0;3)$, avem $\overrightarrow{AB}=(4;0)$ și $\overrightarrow{AC}=(0;3)$; produsul lor scalar este zero, deci triunghiul este dreptunghic în $A$. Distanța $BC=\sqrt{(-4{)}^2+3^2}=5$, iar mijlocul lui $BC$ este $O(2;3/2)$. Cercul cu diametrul $BC$ are raza $5/2$ și ecuația $(x-2{)}^2+(y-3/2{)}^2=25/4$. Dreapta $BC$ are panta $-3/4$ și ecuația $3x+4y-12=0$; ambele puncte $B,C$ o verifică.

Metoda coordonatelor transformă o problemă de geometrie într-una de calcul: alegi un reper convenabil (de obicei cu originea într-un vârf și o axă pe o latură), scrii coordonatele punctelor, apoi aplici formulele de distanță, de mijloc, de pantă sau de ecuație. Problemele întâlnite sunt de trei feluri: de apartenență (un punct se află pe o dreaptă sau pe un cerc?), de poziție relativă (două drepte sunt paralele, perpendiculare sau concurente?) și de măsură (lungimi, arii, unghiuri). Locul geometric al punctelor care îndeplinesc o condiție se obține scriind condiția în coordonate: punctele $P(x;y)$ egal depărtate de $A(0;0)$ și $B(4;0)$ verifică $x^2+y^2=(x-4{)}^2+y^2$, adică $x=2$, mediatoarea segmentului $AB$.

Alegerea reperului este o decizie care poate simplifica mult calculul. Dacă triunghiul este dreptunghic, pui vârful unghiului drept în origine și catetele pe axe. Dacă figura are o axă de simetrie, pui acea axă pe una dintre axele reperului. Când problema cere o dovadă pentru orice triunghi, nu aleg valori numerice, ci litere: $A(0;0)$, $B(b;0)$, $C(c;d)$ cu $b\ne 0$ și $d\ne 0$. Rezultatul calculului cu litere este valabil pentru toate triunghiurile, pe când un exemplu numeric verifică doar un caz. La final, interpretezi rezultatul algebric în limbaj geometric: o egalitate de vectori înseamnă paralelism și aceeași lungime, un produs scalar nul înseamnă perpendicularitate, iar o ecuație care nu are soluții arată că figura căutată nu există.

Exemplu rezolvat. Arată că $ABCD$, cu $A(0;0)$, $B(4;1)$, $C(5;4)$, $D(1;3)$, este paralelogram, dar nu romb.

1. Calculăm $\overrightarrow{AB}=(4;1)$ și $\overrightarrow{DC}=(5-1;4-3)=(4;1)$. Cum $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, patrulaterul este paralelogram.
2. Verificare prin diagonale: mijlocul lui $AC$ este $\left(\frac{5}{2};2\right)$, la fel cu mijlocul lui $BD$, $\left(\frac{4+1}{2};\frac{1+3}{2}\right)=\left(\frac{5}{2};2\right)$.
3. Laturile alăturate au lungimile $AB=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$ și $AD=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$, care sunt diferite.

Deci $ABCD$ este paralelogram, dar nu romb.

Exemplu rezolvat. Află punctul $P$ de pe axa $Ox$ egal depărtat de $A(1;2)$ și $B(5;4)$.

1. Punctul are forma $P(x;0)$. Condiția $PA=PB$ dă $(x-1{)}^2+4=(x-5{)}^2+16$.
2. Dezvoltăm: $x^2-2x+5=x^2-10x+41$, deci $8x=36$.
3. Obținem $x=\frac{9}{2}$, iar $P\left(\frac{9}{2};0\right)$ aparține mediatoarei segmentului $AB$.

Greșeli frecvente

• Greșit: dacă $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{DC}$ au aceeași lungime, $ABCD$ este paralelogram.
  Corect: vectorii trebuie să fie egali (aceeași direcție și același sens), nu doar să aibă același modul.
• Greșit: coordonatele unui punct se pot inversa fără efect.
  Corect: $(2;3)$ și $(3;2)$ sunt, în general, puncte diferite.
• Greșit: un punct aparține unei drepte doar fiindcă este aproape de desenul ei.
  Corect: se verifică în ecuația dreptei.
• Greșit: o ecuație reprezintă automat orice figură dorită.
  Corect: trebuie stabilite soluțiile și interpretarea lor geometrică.

Înainte și după