Reperul cartezian în spațiu

Un punct al spațiului are trei coordonate, $P(x;y;z)$, într-un reper cartezian cu axe perpendiculare două câte două. Primele două coordonate dau proiecția punctului pe planul $xOy$, iar a treia arată poziția față de acest plan, cu semn. Dacă $z=0$, punctul este în planul $xOy$; dacă $z\ne 0$, nu este în acel plan. Ordinea coordonatelor contează: $(1;2;3)$ și $(3;2;1)$ sunt puncte diferite.

Pentru $A(x_A;y_A;z_A)$ și $B(x_B;y_B;z_B)$, teorema lui Pitagora aplicată în plan și apoi în spațiu dă $AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2+(z_B-z_A{)}^2}$. Proiecția ortogonală a lui $P(x;y;z)$ pe $xOy$ este $P_0(x;y;0)$, iar distanța la acest plan este $|z|$.

Exemplu pas cu pas: $A(1;0;2)$, $B(4;4;2)$. (1) Diferențele coordonatelor sunt $3$, $4$, $0$. (2) $AB=\sqrt{3^2+4^2+0^2}=5$. (3) Ambele puncte au $z=2$, deci se află într-un plan paralel cu $xOy$, la distanța $2$ de acesta, nu în planul $xOy$.

Pentru $P(1;2;3)$ și $Q(4;6;15)$, diferențele sunt $3$, $4$, $12$, deci $PQ=\sqrt{9+16+144}=13$. Proiecția lui $P$ pe $xOy$ este $(1;2;0)$ și distanța de la $P$ la plan este $3$. Aceste calcule deosebesc distanța dintre două puncte de distanța unui punct la un plan.

Într-un reper ortonormat în spațiu, axele sunt notate $Ox$, $Oy$, $Oz$. Poziția unui punct se poate imagina ca un parcurs: pornești din origine $a$ unități pe $Ox$, apoi $b$ pe $Oy$ și $c$ pe $Oz$. Un paralelipiped dreptunghic cu un vârf în origine și muchiile pe axe, de lungimi $a$, $b$, $c$, are vârfurile $(0;0;0)$, $(a;0;0)$, $(0;b;0)$, $(0;0;c)$ și celelalte patru cu combinații ale acestor coordonate; diagonala lui, de la origine la $(a;b;c)$, are lungimea $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$, aceeași formulă ca la diagonala spațială. Reperul în spațiu se alege cât mai convenabil: originea într-un vârf și axele pe muchii care pornesc din el. Cele trei plane de coordonate sunt $xOy$, $yOz$ și $xOz$. Un punct este pe axa $Ox$ dacă $y=z=0$, în planul $yOz$ dacă $x=0$ și în origine dacă toate coordonatele sunt $0$. Mijlocul segmentului $AB$ are coordonatele mediilor aritmetice ale celor trei perechi de coordonate, iar două puncte sunt simetrice față de planul $xOy$ dacă diferă numai prin semnul lui $z$.

Exemplu rezolvat. Fie $A(1;2;3)$ și $B(5;-2;5)$. Află mijlocul segmentului $AB$, simetricul lui $A$ față de planul $xOy$ și distanța $AB$.

1. Mijlocul este $M\left(\frac{1+5}{2};\frac{2-2}{2};\frac{3+5}{2}\right)=(3;0;4)$.
2. Simetricul lui $A$ față de $xOy$ este $A^{\prime }(1;2;-3)$, iar distanța $A{A}^{\prime }=6$ este dublul distanței de la $A$ la plan.
3. Distanța este $AB=\sqrt{4^2+(-4{)}^2+2^2}=\sqrt{36}=6$.

Exemplu rezolvat. Un cub cu muchia $2$ are un vârf în origine și trei muchii pe axele $Ox$, $Oy$, $Oz$. Află coordonatele celorlalte vârfuri ale bazei din planul $xOy$, ale vârfului opus originii și lungimea diagonalei cubului.

1. Baza din planul $xOy$ are vârfurile $O(0;0;0)$, $(2;0;0)$, $(2;2;0)$ și $(0;2;0)$, deoarece toate au $z=0$.
2. Fața de sus are aceleași coordonate $x$ și $y$ și $z=2$; vârful opus originii este $(2;2;2)$.
3. Diagonala este $\sqrt{(2-0{)}^2+(2-0{)}^2+(2-0{)}^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$.

Exemplu rezolvat. Arată că triunghiul cu vârfurile $A(1;1;1)$, $B(3;1;1)$, $C(1;3;1)$ este dreptunghic isoscel.

1. $AB=\sqrt{2^2+0^2+0^2}=2$ și $AC=\sqrt{0^2+2^2+0^2}=2$, deci $AB=AC$.
2. $BC=\sqrt{(-2{)}^2+2^2+0^2}=\sqrt{8}$.
3. $A{B}^2+A{C}^2=4+4=8=B{C}^2$, deci, după reciproca teoremei lui Pitagora, unghiul din $A$ este drept.

Greșeli frecvente

• Greșit: simetricul punctului $A(1;2;3)$ față de planul $xOy$ este $(-1;-2;3)$.
  Corect: se schimbă doar semnul coordonatei $z$, deci simetricul este $(1;2;-3)$.
• Greșit: $P(1;2;3)$ se află în planul $xOy$, pentru că primele două coordonate sunt $1,2$.
  Corect: doar proiecția $(1;2;0)$ este în plan.
• Greșit: în formula distanței aduni diferențele coordonatelor fără pătrate.
  Corect: însumezi pătratele celor trei diferențe și extragi radicalul.

Înainte și după