Vectori în spațiu și sfera

Lecția continuă „Reperul cartezian în spațiu” cu ce nu intră în programă: vectorii cu trei coordonate, produsul scalar și sfera. Un vector din spațiu se scrie $\vec{v}=(a;b;c)$ și are modulul $|\vec{v}|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$. Produsul scalar a doi vectori este un număr, $\vec{u}\cdot \vec{v}=a_1{a}_2+b_1{b}_2+c_1{c}_2$, și este egal cu $|\vec{u}||\vec{v}|\cos \phi$, unde $\phi \in [0;\pi ]$ este unghiul dintre ei. De aici, doi vectori nenuli sunt perpendiculari exact când produsul lor scalar este $0$. Sfera cu centrul $C(a;b;c)$ și raza $R>0$ este mulțimea punctelor $P(x;y;z)$ cu $PC=R$, adică $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2$.

Vectori. Pentru $A(x_A;y_A;z_A)$ și $B(x_B;y_B;z_B)$, vectorul $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)$ are modulul egal cu distanța $AB$. Adunarea și înmulțirea cu un număr se fac pe componente. Un versor este un vector de modul $1$; din orice vector nenul $\vec{v}$ se obține versorul $\vec{v}/|\vec{v}|$, care are aceeași direcție și același sens.

Produsul scalar. Din teorema cosinusului aplicată triunghiului format de $\vec{u}$, $\vec{v}$ și $\vec{u}-\vec{v}$ rezultă că formula pe componente și formula cu cosinus dau același număr. Prin urmare unghiul se află din $\cos \phi =\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}$. Semnul produsului scalar spune ce fel de unghi este: pozitiv pentru unghi ascuțit, $0$ pentru unghi drept, negativ pentru unghi obtuz. Proiecția (scalară) a lui $\vec{u}$ pe direcția lui $\vec{v}$ este $\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{|\vec{v}|}$, iar vectorul proiecție este $\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{|\vec{v}{|}^2}\vec{v}$.

Exemplu rezolvat. Arată că $\vec{u}=(1;2;2)$ și $\vec{v}=(2;1;-2)$ sunt perpendiculari și află versorul lui $\vec{u}$.

1. Produsul scalar este $1\cdot 2+2\cdot 1+2\cdot (-2)=0$, deci vectorii sunt perpendiculari.
2. Modulul este $|\vec{u}|=\sqrt{1+4+4}=3$.
3. Versorul este $\frac{\vec{u}}{3}=\left(\frac{1}{3};\frac{2}{3};\frac{2}{3}\right)$, cu modulul $\sqrt{\frac{1}{9}+\frac{4}{9}+\frac{4}{9}}=1$.

Exemplu rezolvat. Află unghiul dintre $\vec{u}=(1;1;0)$ și $\vec{v}=(0;1;1)$, apoi proiecția lui $\vec{a}=(2;3;6)$ pe $\vec{b}=(1;2;2)$.

1. $\vec{u}\cdot \vec{v}=0+1+0=1$ și $|\vec{u}|=|\vec{v}|=\sqrt{2}$, deci $\cos \phi =\frac{1}{2}$ și $\phi =60^{\circ }$.
2. $\vec{a}\cdot \vec{b}=2+6+12=20$ și $|\vec{b}|=3$, deci proiecția scalară este $\frac{20}{3}$.
3. Vectorul proiecție este $\frac{20}{9}(1;2;2)=\left(\frac{20}{9};\frac{40}{9};\frac{40}{9}\right)$.

Sfera. Dacă desfaci parantezele din ecuația sferei, obții forma generală $x^2+y^2+z^2+Dx+Ey+Fz+G=0$. Invers, o astfel de ecuație se aduce la forma standard prin completarea pătratelor: centrul este $\left(-\frac{D}{2};-\frac{E}{2};-\frac{F}{2}\right)$, iar $R^2=\frac{D^2+E^2+F^2}{4}-G$. Ecuația reprezintă o sferă numai dacă acest număr este strict pozitiv; dacă este $0$, mulțimea este un singur punct, iar dacă este negativ, este vidă. Un punct $P$ este în interiorul sferei dacă $PC<R$, pe sferă dacă $PC=R$ și în exteriorul ei dacă $PC>R$.

Exemplu rezolvat. Stabilește ce reprezintă ecuația $x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z-11=0$.

1. Grupezi termenii: $(x^2-2x)+(y^2+4y)+(z^2-6z)=11$.
2. Completezi pătratele: $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2+(z-3{)}^2=11+1+4+9=25$.
3. Este sfera cu centrul $(1;-2;3)$ și raza $5$. Punctul $(2;0;5)$ este în interior, fiindcă $1+4+4=9<25$, iar $(7;1;3)$ este în exterior, fiindcă $36+9=45>25$.

Sfera cu un diametru dat. Dacă $A$ și $B$ sunt capetele unui diametru, centrul este mijlocul lui $AB$ și raza este $\frac{AB}{2}$. Un punct $P$ este pe sferă exact când $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=0$, adică unghiul $APB$ este drept (teorema unghiului înscris în semicerc, în spațiu).

Exemplu rezolvat. Scrie ecuația sferei cu diametrul $AB$, unde $A(1;2;3)$ și $B(5;-2;5)$.

1. Centrul este mijlocul $M(3;0;4)$.
2. $AB=\sqrt{4^2+(-4{)}^2+2^2}=6$, deci $R=3$.
3. Ecuația este $(x-3{)}^2+y^2+(z-4{)}^2=9$. Verificare: punctul $P(3;0;7)$ are $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=(-2;2;-4)\cdot (2;-2;-2)=-4-4+8=0$ și se află pe sferă, căci $0+0+9=9$.

Planul, planul tangent și intersecția cu un plan. Un plan care trece prin $P_0(x_0;y_0;z_0)$ și are vectorul normal $\vec{n}=(a;b;c)$ are ecuația $a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$, adică $ax+by+cz+d=0$. Distanța de la punctul $Q(x_1;y_1;z_1)$ la acest plan este $\frac{|a{x}_1+b{y}_1+c{z}_1+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$. Planul tangent la sferă într-un punct $P_0$ al ei este planul care trece prin $P_0$ și are normala $\overrightarrow{C{P}_0}$ (raza este perpendiculară pe planul tangent). Un plan este tangent la sferă dacă distanța de la centru la plan este egală cu raza; dacă distanța $\delta$ este mai mică decât $R$, planul taie sfera după un cerc cu raza $\sqrt{R^2-{\delta }^2}$, al cărui centru este proiecția centrului sferei pe plan.

Exemplu rezolvat. Sfera are centrul $C(1;2;3)$ și raza $6$; punctul $B(5;-2;5)$ este pe ea, deoarece $CB=6$. Află planul tangent în $B$ și intersecția sferei cu planul $xOy$.

1. Normala este $\overrightarrow{CB}=(4;-4;2)$, deci planul tangent este $4(x-5)-4(y+2)+2(z-5)=0$, adică $2x-2y+z-19=0$.
2. Verificare: distanța de la $C$ la acest plan este $\frac{|2-4+3-19|}{\sqrt{4+4+1}}=\frac{18}{3}=6=R$.
3. Planul $xOy$ este $z=0$ și se află la distanța $3$ de centru. Cum $3<6$, intersecția este un cerc cu raza $\sqrt{36-9}=3\sqrt{3}$ și centrul $(1;2;0)$.

Exemplu rezolvat. Află raza sferei cu centrul $C(1;-1;2)$ tangente la planul $2x+y-2z-6=0$ și punctul de tangență.

1. Distanța de la $C$ la plan este $\frac{|2-1-4-6|}{\sqrt{4+1+4}}=\frac{9}{3}=3$, deci $R=3$.
2. Normala planului este $\vec{n}=(2;1;-2)$, cu modulul $3$. Valoarea expresiei din plan în $C$ este $-9$, deci punctul de tangență se obține deplasând $C$ cu $\vec{n}$ (modulul $3$): $T=(1;-1;2)+(2;1;-2)=(3;0;0)$.
3. Verificare: $2\cdot 3+0-0-6=0$, deci $T$ este în plan, și $CT=\sqrt{4+1+4}=3=R$.

Greșeli frecvente

• Greșit: sfera cu centrul $(1;2;3)$ și raza $6$ are ecuația $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-3{)}^2=6$.
  Corect: în partea dreaptă stă $R^2=36$.
• Greșit: din $x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z-11=0$ se citește centrul $(-2;4;-6)$.
  Corect: centrul este $\left(-\frac{D}{2};-\frac{E}{2};-\frac{F}{2}\right)=(1;-2;3)$, iar raza se află după completarea pătratelor, nu din termenul liber.
• Greșit: produsul scalar a doi vectori este un vector.
  Corect: este un număr real, iar rezultatul $\vec{u}\cdot \vec{v}=0$ spune doar că vectorii nenuli sunt perpendiculari.
• Greșit: dacă $\vec{u}\cdot \vec{v}=0$, atunci $\vec{u}=\vec{0}$ sau $\vec{v}=\vec{0}$.
  Corect: doi vectori nenuli perpendiculari au produsul scalar $0$, de exemplu $(1;0;0)\cdot (0;1;0)=0$.
• Greșit: distanța de la un punct la un plan este $|a{x}_1+b{y}_1+c{z}_1+d|$.
  Corect: se împarte la $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$, modulul normalei.

Înainte și după