Conice: cerc, elipsă, hiperbolă, parabolă

Conicele sunt locuri geometrice descrise prin ecuații de gradul al doilea. Cercul este mulțimea punctelor aflate la distanța $r$ de un centru $C(u;v)$: $(x-u{)}^2+(y-v{)}^2=r^2$. Elipsa este mulțimea punctelor $M$ pentru care suma distanțelor la două focare fixe este $M{F}_1+M{F}_2=2a$, cu $2a>F_1{F}_2$. Hiperbola cere diferența absolută $|M{F}_1-M{F}_2|=2a$, cu $0<2a<F_1{F}_2$. Parabola reunește punctele egal depărtate de un focar și o directoare. Focarele și axele ajută la reprezentare, dincolo de semnele ecuației.

Cu centrul în origine și focarele pe $Ox$, elipsa are ecuația redusă $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, unde $a>b>0$ și $c^2=a^2-b^2$; focarele sunt $(\pm c;0)$. Hiperbola are $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, cu $c^2=a^2+b^2$, focarele $(\pm c;0)$ și asimptotele $y=\pm \frac{b}{a}x$. Pentru parabolă, $y^2=2px$ are focarul $(p/2;0)$ și directoarea $x=-p/2$, cu $p\ne 0$.

Schiță lucrată – elipsa $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$. (1) $a=5$, $b=3$, iar $c=\sqrt{25-9}=4$. (2) Centrul este $O(0;0)$, focarele $F_1(-4;0)$, $F_2(4;0)$. (3) Intersecțiile cu axele sunt $(\pm 5;0)$ și $(0;\pm 3)$. (4) Marchezi aceste puncte, folosești simetria față de ambele axe și trasezi curba închisă prin cele patru vârfuri. Pentru orice punct al ei, suma distanțelor la focare este $10$.

Comparație. La $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$, $a=3$, $b=2$, $c=\sqrt{13}$; marchezi vârfurile $(\pm 3;0)$ și asimptotele $y=\pm \frac{2}{3}x$, apoi schițezi cele două ramuri. La $y^2=4x$, $p=2$, focarul este $(1;0)$, directoarea $x=-1$, iar $(1;\pm 2)$ sunt pe parabolă. Cercul cu centru $C(2;-1)$ și rază $3$ are $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=9$.

Conicele se numesc așa deoarece se obțin ca secțiuni ale unui con cu plane: un plan perpendicular pe axă dă cerc, unul înclinat dă elipsă, unul paralel cu o generatoare dă parabolă, iar unul care taie ambele pânze ale conului dă hiperbolă. Ele apar în natură și în tehnică: planetele se mișcă pe elipse cu Soarele într-un focar, oglinda unui far este o parabolă, iar o rază care pornește din focarul parabolei iese paralelă cu axa. Pentru o elipsă cu $a<b$, focarele sunt pe axa $Oy$ și $c^2=b^2-a^2$. Atenție: în ecuația redusă a elipsei, numitorul mai mare arată axa pe care se află focarele. Excentricitatea $e=\frac{c}{a}$ măsoară cât de „turtită” este conica: pentru elipsă $0<e<1$ (cercul este cazul $e=0$), pentru parabolă $e=1$, iar pentru hiperbolă $e>1$. O conică se recunoaște din ecuație după semnele coeficienților lui $x^2$ și $y^2$: același semn și coeficienți diferiți dau elipsă, semne opuse dau hiperbolă, iar un singur pătrat dă parabolă. Poziția unui punct față de elipsă se află înlocuind coordonatele: valoarea expresiei $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$ este $1$ pe elipsă, mai mică decât $1$ în interior și mai mare decât $1$ în exterior.

Exemplu rezolvat. Determină elementele elipsei $9x^2+25y^2=225$.

1. Împărțim la $225$: $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$, deci $a=5$ și $b=3$.
2. $c=\sqrt{a^2-b^2}=4$, deci focarele sunt $(\pm 4;0)$.
3. Excentricitatea este $e=\frac{c}{a}=\frac{4}{5}$.
4. Punctul $(3;\frac{12}{5})$ aparține elipsei: $\frac{9}{25}+\frac{144/25}{9}=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1$.

Exemplu rezolvat. Parabola $y^2=8x$: determină focarul, directoarea și verifică proprietatea de definiție pentru punctul $(2;4)$.

1. Din $y^2=2px$ rezultă $2p=8$, deci $p=4$.
2. Focarul este $\left(\frac{p}{2};0\right)=(2;0)$, iar directoarea este $x=-2$.
3. Punctul $(2;4)$ verifică $4^2=8\cdot 2$. Distanța lui la focar este $\sqrt{(2-2{)}^2+4^2}=4$, iar distanța la directoare este $2-(-2)=4$, deci cele două distanțe sunt egale.

Greșeli frecvente

• Greșit: pentru hiperbola $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ se folosește $c^2=a^2-b^2$.
  Corect: la hiperbolă $c^2=a^2+b^2=25$, deci $c=5$ și focarele sunt $(\pm 5;0)$; formula cu minus este a elipsei.
• Greșit: $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$ este elipsă.
  Corect: este hiperbolă, cu două ramuri și asimptote.
• Greșit: $y^2=4x$ conține numai puncte cu $y>0$.
  Corect: dacă $(x;y)$ aparține parabolei, atunci și $(x;-y)$ aparține.

Înainte și după