Produsul scalar

Produsul scalar al vectorilor $\vec{u}=(a;b)$ și $\vec{v}=(c;d)$ este numărul $\vec{u}\cdot \vec{v}=ac+bd$. Dacă ambii sunt nenuli și formează unghiul $\theta$, același număr este $|\vec{u}||\vec{v}|\cos \theta$. De aceea produsul scalar zero este criteriu de perpendicularitate pentru vectori nenuli.

Exemplu rezolvat. Pentru $\vec{u}=(2;3)$ și $\vec{v}=(3;-2)$:

1. Înmulțim componentele corespunzătoare: $2\cdot 3=6$, $3\cdot (-2)=-6$.
2. Adunăm: $\vec{u}\cdot \vec{v}=0$.
3. Ambii vectori sunt nenuli, deci sunt perpendiculari.

Produsul scalar este comutativ și distributiv, iar $\vec{u}\cdot \vec{u}=|\vec{u}{|}^2$. În coordonate ortonormate din spațiu, formula devine $\vec{u}\cdot \vec{v}=u_1{v}_1+u_2{v}_2+u_3{v}_3$. Pentru vectori nenuli, $\cos \theta =(\vec{u}\cdot \vec{v})/(|\vec{u}||\vec{v}|)$ determină unghiul din $[0;\pi ]$. Produsul pozitiv corespunde lui $0\le \theta <\pi /2$, cel negativ lui $\pi /2<\theta \le \pi$, iar cel nul unui unghi drept. Astfel sunt incluse și direcțiile identice sau opuse. Dezvoltarea pătratului unei sume dă $|\vec{u}+\vec{v}{|}^2=|\vec{u}{|}^2+2\vec{u}\cdot \vec{v}+|\vec{v}{|}^2$. Pentru diferență, termenul dublu are semn negativ. Aceste relații permit calculul unei lungimi când sunt cunoscute modulele și unghiul, fără a introduce coordonatele punctelor.

Exemplu rezolvat. Pentru $\vec{u}=(1;1)$ și $\vec{v}=(2;0)$ găsim unghiul.

1. Produsul scalar este $1\cdot 2+1\cdot 0=2$.
2. Modulele sunt $\sqrt{2}$ și $2$, ambele nenule.
3. Cosinusul unghiului este $2/(2\sqrt{2})=\sqrt{2}/2$.
4. Unghiul dintre vectori este $45^{\circ }$. Verificarea geometrică arată că primul vector urmează diagonala primului cadran, iar al doilea axa pozitivă a absciselor.

Produsul scalar are mai multe aplicații geometrice. Cu el se arată că un triunghi este dreptunghic (produsul scalar al vectorilor a două laturi este zero), se calculează unghiurile unui triunghi din coordonatele vârfurilor, se demonstrează că diagonalele unui romb sunt perpendiculare (fiindcă $(\vec{a}+\vec{b})\cdot (\vec{a}-\vec{b})=|\vec{a}{|}^2-|\vec{b}{|}^2=0$ când laturile au aceeași lungime) și se găsește lungimea unei mediane. Proprietățile de linearitate permit să dezvolți un produs scalar ca pe un produs de binoame: $(\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{c}=\vec{a}\cdot \vec{c}+\vec{b}\cdot \vec{c}$ și $(k\vec{a})\cdot \vec{b}=k(\vec{a}\cdot \vec{b})$. Produsul scalar măsoară cât de mult se „aliniază” doi vectori. Dacă $\vec{v}$ este unitar, $\vec{u}\cdot \vec{v}$ este lungimea proiecției ortogonale a lui $\vec{u}$ pe direcția lui $\vec{v}$, cu semn. Pentru un vector $\vec{v}$ nenul oarecare, proiecția are lungimea cu semn $\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{|\vec{v}|}$. De exemplu, proiecția lui $\vec{u}=(3;4)$ pe axa $Ox$, adică pe $\vec{v}=(1;0)$, este $3$. Legea cosinusului se obține din produsul scalar: $|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}$, adică $c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma$.

Exemplu rezolvat. Doi vectori au modulele $3$ și $4$, iar unghiul dintre ei este de $60^{\circ }$. Află $|\vec{u}+\vec{v}|$.

1. Produsul scalar este $\vec{u}\cdot \vec{v}=3\cdot 4\cdot \cos 60^{\circ }=6$.
2. $|\vec{u}+\vec{v}{|}^2=|\vec{u}{|}^2+2\vec{u}\cdot \vec{v}+|\vec{v}{|}^2=9+12+16=37$.
3. Rezultă $|\vec{u}+\vec{v}|=\sqrt{37}$.

Exemplu rezolvat. Pentru ce valoare a lui $m$ sunt vectorii $\vec{a}=(m;3)$ și $\vec{b}=(2;-1)$ perpendiculari? Care este proiecția lui $\vec{a}$ pe $\vec{b}$ pentru acea valoare?

1. Condiția $\vec{a}\cdot \vec{b}=0$ dă $2m-3=0$, deci $m=\frac{3}{2}$.
2. Pentru $m=\frac{3}{2}$, produsul scalar este $0$ și proiecția lui $\vec{a}$ pe $\vec{b}$ este $\frac{0}{|\vec{b}|}=0$.
3. Pentru $m=2$, produsul este $2\cdot 2-3=1$ și proiecția este $\frac{1}{\sqrt{5}}$.

Exemplu rezolvat. Aflăm unghiul $B$ al triunghiului cu vârfurile $A(0;0)$, $B(4;0)$ și $C(1;3)$.

1. Vectorii care pleacă din $B$ sunt $\overrightarrow{BA}=(-4;0)$ și $\overrightarrow{BC}=(-3;3)$.
2. Produsul scalar este $(-4)(-3)+0\cdot 3=12$.
3. Modulele sunt $|\overrightarrow{BA}|=4$ și $|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{9+9}=3\sqrt{2}$.
4. Cosinusul este $\frac{12}{4\cdot 3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, deci $B=45^{\circ }$.

Același calcul în $A$ dă $\cos A=\frac{4}{4\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{10}}$, adică $A\approx 71,57^{\circ }$, iar în $C$ dă $\cos C=\frac{6}{\sqrt{10}\cdot 3\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$, adică $C\approx 63,43^{\circ }$. Suma $45^{\circ }+71,57^{\circ }+63,43^{\circ }=180^{\circ }$ confirmă calculele.

Greșeli frecvente

• Greșit: $\vec{u}\cdot \vec{v}=0$ implică $\vec{u}=\vec{0}$ sau $\vec{v}=\vec{0}$, ca la numerele reale.
  Corect: poate însemna și vectori nenuli perpendiculari, de exemplu $(2;3)$ și $(3;-2)$.
• Greșit: produsul lui $(1;1)$ cu $(2;0)$ este vectorul $(2;0)$.
  Corect: produsul scalar este numărul $2$.
• Greșit: din $\vec{0}\cdot \vec{v}=0$ rezultă un unghi drept cu vectorul nul.
  Corect: vectorul nul nu are direcție și formula unghiului nu este definită.

Înainte și după