Distanța de la un punct la o dreaptă

Distanța de la $P(x_0;y_0)$ la dreapta $d:ax+by+c=0$ este lungimea perpendicularei coborâte din punct pe dreaptă. Formula este $d(P,d)=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$, cu $(a;b)\ne (0;0)$. Modulul asigură un rezultat nenegativ.

Exemplu rezolvat. Pentru $P(2;1)$ și $d:3x+4y-10=0$:

1. Numărătorul este $|3\cdot 2+4\cdot 1-10|=0$.
2. Numitorul este $\sqrt{3^2+4^2}=5$.
3. Distanța este $0$, deci punctul se află pe dreaptă.

Numitorul este modulul vectorului normal $(a;b)$; numărătorul este valoarea absolută a expresiei dreptei în punct. Înmulțirea întregii ecuații cu un număr nenul nu schimbă distanța, fiindcă numărătorul și numitorul se înmulțesc cu același modul. Pentru două drepte paralele $ax+by+c_1=0$ și $ax+by+c_2=0$, distanța este $|c_2-c_1|/\sqrt{a^2+b^2}$.

Exemplu rezolvat. Pentru $P(2;-1)$ și $d:3x+4y-7=0$, expresia din modul este $3\cdot 2+4\cdot (-1)-7=-5$. Norma vectorului normal este $5$, deci distanța este $|-5|/5=1$ unitate. Dreptele paralele $3x+4y-10=0$ și $3x+4y+5=0$ au aceeași normală, astfel distanța dintre ele este $|-10-5|/5=3$ unități. Înmulțirea ambelor ecuații cu aceeași constantă nenulă nu schimbă aceste distanțe.

Formula rezultă din proiecția pe vectorul normal: dacă $Q(x_1;y_1)$ este un punct oarecare al dreptei, distanța este lungimea proiecției vectorului $\overrightarrow{QP}$ pe direcția normală $(a;b)$, adică $\frac{|\overrightarrow{QP}\cdot (a;b)|}{\sqrt{a^2+b^2}}$; cum $a{x}_1+b{y}_1+c=0$, numărătorul devine $|a{x}_0+b{y}_0+c|$. Semnul expresiei $a{x}_0+b{y}_0+c$ arată de ce parte a dreptei se află punctul: două puncte cu semne diferite sunt de o parte și de alta a dreptei.

Aplicațiile distanței de la un punct la o dreaptă sunt numeroase. Înălțimea unui triunghi este distanța de la un vârf la dreapta suport a laturii opuse, iar de aici rezultă aria. Bisectoarele unghiurilor formate de două drepte sunt mulțimile punctelor egal depărtate de ele, deci se scriu egalând cele două distanțe: $\frac{|a_{1}x+b_{1}y+c_1|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}}=\frac{|a_{2}x+b_{2}y+c_2|}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}}$. Un cerc este tangent unei drepte când raza este egală cu distanța de la centru la dreaptă. În fine, distanța dintre două drepte paralele se calculează cu distanța de la un punct oarecare al uneia la cealaltă dreaptă, ceea ce evită formula separată. De exemplu, dreptele $3x+4y-10=0$ și $3x+4y+5=0$ sunt paralele; alegem pe prima punctul $(2;1)$, care o verifică, și calculăm distanța la a doua: $\frac{|3\cdot 2+4\cdot 1+5|}{5}=\frac{15}{5}=3$. Același rezultat se obține cu formula dintre paralele. Pentru a afla punctele de pe o dreaptă situate la o distanță dată de altă dreaptă, scrii punctul cu un parametru, de exemplu $(t;2t)$ pe dreapta $y=2x$, apoi pui condiția ca distanța să fie egală cu valoarea cerută și rezolvi ecuația în $t$; modulul conduce, în general, la două soluții.

Exemplu rezolvat. Triunghiul $ABC$ are $A(1;1)$, $B(5;2)$ și $C(2;6)$. Calculează înălțimea din $C$ și aria triunghiului.

1. Dreapta $AB$ are panta $\frac{2-1}{5-1}=\frac{1}{4}$, deci ecuația $y-1=\frac{1}{4}(x-1)$, adică $x-4y+3=0$ (verificare: $B$ dă $5-8+3=0$).
2. Distanța de la $C$ la $AB$ este $\frac{|2-24+3|}{\sqrt{1+16}}=\frac{19}{\sqrt{17}}$.
3. Lungimea laturii $AB$ este $\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$.
4. Aria este $\frac{1}{2}\cdot AB\cdot h=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{17}\cdot \frac{19}{\sqrt{17}}=\frac{19}{2}$.

Verificare prin determinant: $\frac{1}{2}\left|(5-1)(6-1)-(2-1)(2-1)\right|=\frac{19}{2}$.

Exemplu rezolvat. Scrie ecuația cercului cu centrul $(2;3)$ tangent la dreapta $3x-4y+1=0$.

1. Raza este distanța de la centru la dreaptă: $r=\frac{|3\cdot 2-4\cdot 3+1|}{5}=\frac{5}{5}=1$.
2. Ecuația este $(x-2{)}^2+(y-3{)}^2=1$.

Greșeli frecvente

• Greșit: distanța de la origine la dreapta $3x+4y-10=0$ este $10$.
  Corect: $\frac{|-10|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{10}{5}=2$.
• Greșit: pentru $P(2;-1)$ se păstrează valoarea $-5/5=-1$ ca distanță.
  Corect: se ia modulul, deci distanța este $1$.
• Greșit: numitorul este $a+b$.
  Corect: este $\sqrt{a^2+b^2}$.
• Greșit: se aplică direct formula dintre paralele la $2x+2y+1=0$ și $x+y-3=0$.
  Corect: prima ecuație se împarte la $2$, apoi ambele au coeficienții $a=1$ și $b=1$.

Înainte și după

Întrebări frecvente