Ecuația cercului

Cercul cu centrul $C(a;b)$ și raza $r>0$ este mulțimea punctelor aflate la distanța $r$ de $C$. Aplicând formula distanței și ridicând la pătrat, obținem $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$. Pentru centrul în origine, ecuația devine $x^2+y^2=r^2$.

Exemplu rezolvat. Găsim centrul și raza cercului $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=9$.

1. Comparăm cu forma standard.
2. $a=2$, $b=-1$, $r^2=9$.
3. Centrul este $C(2;-1)$ și raza $r=3$.

Pentru a verifica poziția unui punct $P(x_0;y_0)$, comparăm $(x_0-a{)}^2+(y_0-b{)}^2$ cu $r^2$: egalitate pe cerc, valoare mai mică în interior și mai mare în exterior. O ecuație $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ se aduce la forma standard prin completarea pătratelor; pentru un cerc propriu-zis trebuie să rezulte $r^2>0$. Dacă $r^2=0$, soluția este un singur punct.

Prin completarea pătratelor putem afla centrul și raza dintr-o ecuație dezvoltată. Exemplu rezolvat. Pentru $x^2+y^2-4x+6y-12=0$, grupăm termenii: $(x-2{)}^2-4+(y+3{)}^2-9-12=0$. Rezultă $(x-2{)}^2+(y+3{)}^2=25$, deci centrul este $(2;-3)$ și raza este $5$ unități. Punctul $(2;2)$ aparține cercului, deoarece $0^2+5^2=25$. Dacă partea dreaptă după completarea pătratelor ar fi negativă, ecuația nu ar descrie puncte reale.

Când un cerc este dat prin diametru, centrul este mijlocul diametrului, iar raza este jumătate din lungimea lui: pentru diametrul cu capetele $A(1;2)$ și $B(7;10)$, centrul este $(4;6)$ și raza este $\frac{\sqrt{6^2+8^2}}{2}=5$. Ecuația cercului este $(x-4{)}^2+(y-6{)}^2=25$. Un cerc tangent axei $Ox$ are raza egală cu modulul ordonatei centrului, iar unul tangent axei $Oy$ are raza egală cu modulul abscisei centrului. De exemplu, cercul cu centrul $(3;-2)$ tangent axei $Ox$ are raza $2$, deci ecuația $(x-3{)}^2+(y+2{)}^2=4$; punctul de tangență este $(3;0)$, proiecția centrului pe axă. Aceeași idee funcționează pentru orice tangentă: raza dusă în punctul de tangență este perpendiculară pe tangentă. Două cercuri se pot compara prin distanța dintre centre și suma sau diferența razelor: ele sunt tangente exterior dacă distanța este suma razelor și tangente interior dacă este diferența lor. Un cerc este determinat de trei puncte necoliniare. Cu ecuația $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$, fiecare punct dă o ecuație liniară în $D$, $E$, $F$; rezolvând sistemul obții cercul. Poziția unei drepte față de un cerc se decide cu distanța de la centru la dreaptă: dacă este mai mică decât raza, dreapta este secantă (două puncte comune); dacă este egală cu raza, este tangentă (un punct comun); dacă este mai mare, este exterioară.

Exemplu rezolvat. Scrie ecuația cercului care trece prin $A(0;0)$, $B(4;0)$ și $C(0;2)$.

1. Punctul $A$ dă $F=0$.
2. Punctul $B$ dă $16+4D+F=0$, deci $D=-4$.
3. Punctul $C$ dă $4+2E+F=0$, deci $E=-2$.
4. Ecuația este $x^2+y^2-4x-2y=0$, adică $(x-2{)}^2+(y-1{)}^2=5$: centrul este $(2;1)$ și raza $\sqrt{5}$.

Verificare: unghiul $\angle BAC$ este drept, iar $BC=\sqrt{16+4}=2\sqrt{5}$ este diametrul, în acord cu raza $\sqrt{5}$.

Exemplu rezolvat. Află punctele de intersecție ale cercului $x^2+y^2=25$ cu dreapta $y=x+1$, și verifică tangența dreptei $x-y+5=0$ la cercul $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=8$.

1. Înlocuim $y=x+1$: $x^2+(x+1{)}^2=25$, adică $2x^2+2x-24=0$, deci $x^2+x-12=0$ și $x\in \{3;-4\}$. Punctele sunt $(3;4)$ și $(-4;-3)$.
2. Pentru tangență, distanța de la centrul $(1;2)$ la $x-y+5=0$ este $\frac{|1-2+5|}{\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$, egală cu raza $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$.

Deci dreapta este tangentă cercului.

Greșeli frecvente

• Greșit: cercul $x^2+y^2-4x-2y=0$ are centrul $(-4;-2)$.
  Corect: centrul este $\left(-\frac{D}{2};-\frac{E}{2}\right)=(2;1)$.
• Greșit: în $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=9$ centrul este $(2;1)$.
  Corect: centrul este $(2;-1)$.
• Greșit: raza este $r^2$.
  Corect: raza este rădăcina pozitivă a membrului drept.
• Greșit: ecuația cercului include toate punctele din interior.
  Corect: egalitatea descrie doar punctele cercului.

Înainte și după