Poziții relative ale dreptelor: lecție de matematică

1pe scurtstratul 1 din 2 · rezumatul lecției

Pe scurt

Două drepte din plan pot coincide, pot fi paralele distincte sau se pot intersecta într-un punct. Pentru drepte neverticale $y = m_{1} x + n_{1}$ și $y = m_{2} x + n_{2}$ , pantele egale dau drepte paralele ori coincidente; pantele diferite dau o intersecție unică. Dacă ambele pante sunt definite, perpendicularitatea se exprimă prin $m_{1} m_{2} = - 1$ .

Exemplu rezolvat. Comparăm $d_{1} : y = 2 x + 1$ cu $d_{2} : y = 2 x - 3$ .

Pantele sunt ambele $2$ .
Ordonatele la origine sunt diferite: $1 \neq = - 3$ .
Dreptele sunt paralele distincte.

Desen la lecția „Poziții relative ale dreptelor”

2în detaliustratul 2 din 2 · pentru clasă și Bacalaureat

În detaliu

Pentru $d_{j} : a_{j} x + b_{j} y + c_{j} = 0$ , coeficienții $a_{j}, b_{j}$ nu sunt simultan nuli. Dacă $a_{2}, b_{2}, c_{2} \neq = 0$ , dreptele coincid dacă și numai dacă $a_{1} / a_{2} = b_{1} / b_{2} = c_{1} / c_{2}$ . Sunt paralele distincte dacă și numai dacă $a_{1} / a_{2} = b_{1} / b_{2} \neq = c_{1} / c_{2}$ și concurente dacă și numai dacă $a_{1} / a_{2} \neq = b_{1} / b_{2}$ .

Când un numitor este nul, nu formăm raportul. Folosim proporționalitatea: coincidența cere un $λ \neq = 0$ cu $(a_{1}; b_{1}; c_{1}) = λ (a_{2}; b_{2}; c_{2})$ . Pentru paralelism este suficientă proporționalitatea primilor doi coeficienți, dar egalitatea termenilor liberi cu același factor trebuie exclusă. Echivalent, $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \neq = 0$ indică intersecție unică, fără împărțiri. Criteriul de perpendicularitate este $a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} = 0$ și acoperă inclusiv perechea verticală–orizontală. Intersecția se găsește rezolvând sistemul celor două ecuații.

Exemplu rezolvat. Comparăm $d_{1} : 2 x + y - 5 = 0$ și $d_{2} : x - 2 y = 0$ .

Verificăm criteriul de perpendicularitate: $2 \cdot 1 + 1 \cdot (- 2) = 0$ .
Din a doua ecuație, $x = 2 y$ .
Înlocuim în prima: $4 y + y - 5 = 0$ , deci $y = 1$ și $x = 2$ .
Intersecția este $(2; 1)$ . Calculul $2 \cdot (- 2) - 1 \cdot 1 = - 5 \neq = 0$ confirmă unicitatea ei.

Trei drepte sunt concurente dacă au un punct comun. Se află intersecția a două dintre ele și se verifică dacă punctul obținut satisface a treia ecuație; altfel, determinantul coeficienților celor trei ecuații trebuie să fie zero, cu condiția ca dreptele să nu fie toate paralele. Familia de drepte care trec prin același punct se scrie cu un parametru: dreptele prin $(2; 2)$ au forma $a (x - 2) + b (y - 2) = 0$ . Această scriere ajută când trebuie aflată o dreaptă care trece printr-un punct dat și îndeplinește o condiție suplimentară, de exemplu o distanță dată față de origine sau o poziție față de altă dreaptă. Un sistem de două ecuații cu două necunoscute are tot atâtea soluții câte puncte comune au dreptele: una singură dacă dreptele sunt concurente, nici una dacă sunt paralele distincte și o infinitate dacă ele coincid. Din această corespondență rezultă că discuția după un parametru $m$ cere trei lucruri: valorile lui $m$ pentru care dreptele sunt paralele, cele pentru care coincid și cele pentru care sunt perpendiculare. Pentru dreptele cu parametru se scrie întâi condiția $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 0$ , apoi se verifică separat dacă termenii liberi sunt proporționali.

Exemplu rezolvat. Fie dreptele $d_{1} : (m - 1) x + 2 y - 3 = 0$ și $d_{2} : 2 x + (m + 1) y + 1 = 0$ . Discută poziția lor relativă după $m \in R$ .

Condiția de paralelism sau coincidență este $(m - 1) (m + 1) - 2 \cdot 2 = 0$ , adică $m^{2} - 5 = 0$ , deci $m = \pm 5$ .
Pentru $m = 5$ avem raportul coeficienților $\frac{m - 1}{2} = \frac{5 - 1}{2}$ , iar al termenilor liberi $\frac{- 3}{1} = - 3$ . Raporturile diferă, deci dreptele sunt paralele distincte; la fel pentru $m = - 5$ .
Pentru $m \neq = \pm 5$ , dreptele sunt concurente.
Perpendicularitatea cere $a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} = 2 (m - 1) + 2 (m + 1) = 4 m = 0$ , adică $m = 0$ .

Pentru $m = 0$ dreptele sunt $- x + 2 y - 3 = 0$ și $2 x + y + 1 = 0$ , perpendiculare, deoarece $(- 1) \cdot 2 + 2 \cdot 1 = 0$ .

Exemplu rezolvat. Arată că dreptele $x - y = 0$ , $x + y - 4 = 0$ și $2 x - y - 2 = 0$ sunt concurente.

Intersecția primelor două: din $y = x$ rezultă $2 x = 4$ , deci $x = 2$ și $y = 2$ , adică $(2; 2)$ .
Verificăm a treia dreaptă: $2 \cdot 2 - 2 - 2 = 0$ .

Cele trei drepte trec prin $(2; 2)$ .

Greșeli frecvente

Greșit: dreptele $y = x + 1$ și $2 y = 2 x + 2$ sunt paralele distincte, fiindcă ecuațiile arată diferit.
Corect: a doua se împarte la $2$ și devine prima, deci dreptele coincid.
Greșit: $x + y = 1$ și $2 x + 2 y = 3$ coincid fiindcă au coeficienți proporționali.
Corect: și termenii liberi ar trebui să fie proporționali; dreptele sunt paralele distincte.
Greșit: pentru perpendicularitate pantele sunt egale.
Corect: când sunt definite, produsul lor este $- 1$ .

în contul tăuPremium

Testează-te pe această lecție

Lecția o citești aici, fără cont. Testele pe lecții și capitole sunt în cont, cu grile originale Didaxis și explicația fiecăreia: gratuit 10 grile pe zi, fără limită cu Premium, 49 de lei pe lună pentru fiecare copil.

Testează-te în cont

Înainte și după

ÎnaintePanta drepteiRaport de variație și interpretare geometrică.DupăEcuația cerculuiCentru, rază și forma standard a ecuației cercului.CapitolulVectori și geometrie analiticăToate lecțiile capitolului „Vectori și geometrie analitică”.

Surse și referințe

Programele școlare de liceu, matematică, clasa a IX-a (OMEC 6930/2025), trunchi comun p. PDF 52; rocnee.eu

Desene: Redactare proprie (desen original)