Panta dreptei

Panta unei drepte neverticale măsoară cât se schimbă ordonata la o creștere cu o unitate a abscisei. Pentru $A(x_1;y_1)$ și $B(x_2;y_2)$, cu $x_1\ne x_2$, avem $m=(y_2-y_1)/(x_2-x_1)$. În ecuația $y=mx+n$, coeficientul lui $x$ este chiar panta. Panta pozitivă înseamnă creștere, cea negativă descreștere, iar $m=0$ corespunde unei drepte orizontale.

Exemplu rezolvat. Pentru $A(-1;2)$ și $B(3;4)$:

1. Variația verticală este $4-2=2$.
2. Variația orizontală este $3-(-1)=4$.
3. Panta este $m=2/4=1/2$.

În ecuația $ax+by+c=0$, cu $b\ne 0$, izolarea ordonatei dă $y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}$, deci $m=-a/b$. Dacă dreapta trece printr-un punct cunoscut, forma punct–pantă este $y-y_0=m(x-x_0)$; înlocuirea coordonatelor punctului verifică imediat apartenența lui. Relația cu unghiul de înclinare este $m=\mathrm{tg}\alpha$, unde $\alpha \in [0^{\circ };180^{\circ })\setminus \{90^{\circ }\}$ se măsoară de la sensul pozitiv al axei $Ox$. Pentru dreapta verticală, ecuația este $x=x_0$ și panta nu este definită. Pe un caroiaj cu aceeași scară pentru ambele axe, creșterea ordonatei la o deplasare orizontală se obține înmulțind acea deplasare cu panta; scări diferite pe desen pot modifica unghiul aparent.

Exemplu rezolvat. Găsim ecuația dreptei prin $A(1;4)$ și $B(3;-2)$.

1. Punctele au abscise diferite, deci dreapta nu este verticală.
2. Panta este $m=(-2-4)/(3-1)=-6/2=-3$.
3. Folosim primul punct: $y-4=-3(x-1)$, de unde $y=-3x+7$.
4. Pentru al doilea punct, $-3\cdot 3+7=-2$, confirmând ecuația.

Pantele permit să recunoști poziția relativă a două drepte neverticale: sunt paralele dacă $m_1=m_2$ și perpendiculare dacă $m_1{m}_2=-1$. Trei puncte $A$, $B$, $C$ sunt coliniare dacă pantele $m_{AB}$ și $m_{AC}$ sunt egale. Unghiul de înclinare se află din $\mathrm{tg}\alpha =m$: panta $\sqrt{3}$ corespunde lui $\alpha =60^{\circ }$, panta $1$ lui $45^{\circ }$ și panta $-1$ lui $135^{\circ }$.

Interpretarea pantei ca o rată de variație este utilă în aplicații: dacă un taxi costă $3$ lei de pornire și $2$ lei pe kilometru, graficul costului în funcție de distanță este o dreaptă cu panta $2$, ordonata la origine fiind $3$; fiecare kilometru în plus mărește costul cu $2$ lei, indiferent de punctul de plecare de pe dreaptă. Panta nu depinde de alegerea punctelor de pe dreaptă: pentru două perechi oarecare de puncte se obține același raport. Semnul pantei arată sensul variației, iar valoarea absolută arată cât de abruptă este dreapta. Dacă dreapta este dată prin ecuația generală $ax+by+c=0$, panta se citește direct ca $-\frac{a}{b}$ (pentru $b\ne 0$): pentru $4x+2y-7=0$ se obține $m=-2$. Două ecuații care descriu aceeași dreaptă au aceeași pantă, iar două drepte cu aceeași pantă sunt paralele sau coincid; ce le separă este ordonata la origine. Din acest motiv, dreptele $y=3x+1$ și $y=3x-4$ sunt paralele distincte, pe când $y=3x+1$ și $y=-\frac{1}{3}x+1$ sunt perpendiculare și se taie pe axa $Oy$, în punctul $(0;1)$.

Exemplu rezolvat. Scrie ecuația dreptei prin $A(-1;2)$, perpendiculară pe dreapta $y=2x+1$.

1. Panta dreptei date este $2$. Panta perpendicularei satisface $2m=-1$, deci $m=-\frac{1}{2}$.
2. Ecuația este $y-2=-\frac{1}{2}(x+1)$, adică $y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$.
3. Verificare: la $x=-1$, $y=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=2$, deci $A$ aparține dreptei.

Exemplu rezolvat. Arată că $A(1;2)$, $B(2;4)$, $C(4;8)$ sunt coliniare.

1. $m_{AB}=\frac{4-2}{2-1}=2$.
2. $m_{AC}=\frac{8-2}{4-1}=2$.
3. Cum pantele sunt egale și au punctul comun $A$, cele trei puncte sunt pe aceeași dreaptă, $y=2x$.

Greșeli frecvente

• Greșit: două drepte cu pantele $2$ și $\frac{1}{2}$ sunt perpendiculare.
  Corect: perpendicularitatea cere $m_1{m}_2=-1$; produsul $2\cdot \frac{1}{2}=1$ nu convine, iar perpendiculara pe pantă $2$ are panta $-\frac{1}{2}$.
• Greșit: pentru punctele din exemplu, panta este $(3-1)/(-2-4)=-1/3$.
  Corect: raportul este variația ordonatei supra variația abscisei, deci $-3$.
• Greșit: dreapta $x=2$ are $m=0$.
  Corect: panta ei nu este definită; pentru dreapta $y=2$, avem $m=0$.

Înainte și după

Întrebări frecvente