Aria triunghiului din coordonate

Pentru punctele $A(x_A;y_A)$, $B(x_B;y_B)$ și $C(x_C;y_C)$, formezi determinantul $\Delta =\left|\begin{array}{ccc}{x}_A& y_A& 1\\ x_B& y_B& 1\\ x_C& y_C& 1\end{array}\right|$. Aria triunghiului este $S=\frac{1}{2}|\Delta |$. Modulul face aria nenegativă, iar $\Delta =0$ dacă și numai dacă punctele sunt coliniare.

Exemplu rezolvat. Pentru $A(0;0)$, $B(4;0)$ și $C(1;3)$, determinantul este $\Delta =12$, deci $S=6$ unități pătrate. Calculul poate fi verificat și geometric: baza $AB$ are $4$ unități, înălțimea din $C$ are $3$, iar $4\cdot 3/2=6$.

Determinantul reprezintă aria orientată a paralelogramului construit pe cei doi vectori; triunghiul ocupă jumătate din ea. Schimbarea ordinii a două vârfuri inversează semnul determinantului, dar modulul păstrează aceeași arie. Dacă determinantul este zero, vectorii sunt liniar dependenți și punctele se află pe aceeași dreaptă.

Pentru $A(x_A;y_A)$, $B(x_B;y_B)$ și $C(x_C;y_C)$, aria este $\frac{1}{2}\left|(x_B-x_A)(y_C-y_A)-(y_B-y_A)(x_C-x_A)\right|$. Formula cere coordonate în același sistem cartezian; valoarea absolută elimină orientarea. Exemplu rezolvat. Luăm $A(1;2)$, $B(5;3)$, $C(2;7)$. Vectorii sunt $\overrightarrow{AB}=(4;1)$ și $\overrightarrow{AC}=(1;5)$. Determinantul lor este $4\cdot 5-1\cdot 1=19$. Aria triunghiului este $19/2$ unități pătrate. Dacă inversăm ordinea punctelor $B,C$, determinantul devine $-19$, însă aria rămâne $19/2$.

Aria triunghiului cu vârfurile $A(x_1;y_1)$, $B(x_2;y_2)$, $C(x_3;y_3)$ este $S=\frac{1}{2}|\Delta |$, unde $\Delta =\left|\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& 1\\ x_2& y_2& 1\\ x_3& y_3& 1\end{array}\right|=x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)$. Semnul lui $\Delta$ arată orientarea vârfurilor (pozitiv dacă $A$, $B$, $C$ sunt în sens trigonometric), iar valoarea $\Delta =0$ este condiția de coliniaritate.

Formula determinantului rezultă din aria unui paralelogram construit pe doi vectori: aria triunghiului $ABC$ este jumătate din modulul determinantului vectorilor $\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1;y_2-y_1)$ și $\overrightarrow{AC}=(x_3-x_1;y_3-y_1)$, adică $\frac{1}{2}\left|(x_2-x_1)(y_3-y_1)-(x_3-x_1)(y_2-y_1)\right|$. Cele două scrieri sunt echivalente, iar alegerea depinde de ce date ai. Metoda se aplică și la poligoane: împarți poligonul în triunghiuri cu un vârf comun și aduni ariile, ceea ce transformă o problemă de geometrie într-un calcul pe coordonate. Rezultatul nu depinde de ordinea în care enumeri vârfurile, dacă se ia modulul. Pentru un triunghi cu o latură pe o axă, formula se reduce la jumătate din baza înmulțită cu înălțimea, de aceea este bine să verifici rezultatul cu această metodă simplă. Dacă ai de aflat aria unui patrulater cu vârfurile $A$, $B$, $C$, $D$ în această ordine, tragi o diagonală, calculezi separat ariile triunghiurilor $ABC$ și $ACD$ și le aduni; pentru un patrulater convex, rezultatul nu depinde de diagonala aleasă. Pentru a afla un vârf necunoscut când se cunoaște aria, scrii determinantul cu coordonate necunoscute și rezolvi ecuația cu modul, care dă, de obicei, două poziții simetrice față de latura opusă. Fiecare calcul se încheie cu unitatea de arie, adică unități pătrate, iar un rezultat exprimat ca fracție este perfect valid.

Exemplu rezolvat. Calculează aria triunghiului cu $A(1;2)$, $B(4;6)$, $C(7;2)$.

1. $\Delta =1(6-2)+4(2-2)+7(2-6)=4+0-28=-24$.
2. $S=\frac{1}{2}|-24|=12$.

Verificare geometrică: $AC=6$ este orizontală, iar distanța de la $B$ la dreapta $y=2$ este $4$, deci $S=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4=12$.

Exemplu rezolvat. Pentru ce valori ale lui $m$ triunghiul cu vârfurile $O(0;0)$, $A(4;0)$, $B(3;m)$ are aria $10$? Sunt coliniare $(1;1)$, $(2;3)$ și $(4;7)$?

1. Aria este $\frac{1}{2}|4m|=2|m|$; din $2|m|=10$ rezultă $m=\pm 5$.
2. Pentru punctele $(1;1)$, $(2;3)$, $(4;7)$: $\Delta =1(3-7)+2(7-1)+4(1-3)=-4+12-8=0$.
3. Aria este $0$, deci punctele sunt coliniare (se află pe dreapta $y=2x-1$).

Greșeli frecvente

• Greșit: aria se obține din $\Delta$ fără modul, deci poate fi negativă.
  Corect: aria este $\frac{1}{2}|\Delta |$, nenegativă; semnul lui $\Delta$ arată doar orientarea.
• Greșit: pentru un determinant al coordonatelor egal cu $-6$, aria este $-6$.
  Corect: aria este $|-6|/2=3$ unități pătrate.
• Greșit: o valoare negativă a determinantului dă arie negativă.
  Corect: se ia modulul.
• Greșit: determinantul zero înseamnă triunghi foarte mic.
  Corect: punctele sunt coliniare și aria este zero.

Înainte și după