Cercul trigonometric

Cercul trigonometric are centrul $O(0;0)$ și raza $1$. Punctul obținut prin rotirea lui $(1;0)$ cu unghiul orientat $x$ are coordonatele $(\cos x;\sin x)$. Rotirea pozitivă este în sens invers acelor de ceasornic. După o rotație completă, punctul revine în același loc: $x$ și $x+2\pi$ au același sinus și cosinus. Cele patru cadrane se numerotează de la I la IV în sens invers acelor de ceasornic, începând cu cel în care ambele coordonate sunt pozitive.

Exemplu rezolvat. Pentru $x=\pi$:

1. Plecăm de la $(1;0)$.
2. Rotim cu o jumătate de cerc.
3. Ajungem la $(-1;0)$, deci $\cos \pi =-1$ și $\sin \pi =0$.

Exemplu rezolvat. Pentru $x=-\frac{\pi }{2}$ rotim în sensul acelor de ceasornic cu un sfert de cerc. Din $(1;0)$ ajungem la $(0;-1)$, deci $\cos \left(-\frac{\pi }{2}\right)=0$ și $\sin \left(-\frac{\pi }{2}\right)=-1$.

Un unghi orientat are ca prim braț semiaxa pozitivă $Ox$, iar al doilea braț se obține rotind primul în jurul originii. Rotația în sens invers acelor de ceasornic are măsură pozitivă, iar cea în sensul acelor de ceasornic are măsură negativă. Pentru orice $t\in \mathbb{R}$, al doilea braț taie cercul $x^2+y^2=1$ în punctul $M(\cos t;\sin t)$. Din ecuația cercului rezultă ${\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t=1$, iar coordonatele unui punct al cercului sunt cuprinse între $-1$ și $1$, deci $-1\le \sin t\le 1$ și $-1\le \cos t\le 1$.

Fiecărui număr real $t$ îi corespunde un singur punct $M$ al cercului: pentru $t\ge 0$ se parcurge din $A(1;0)$ un arc de lungime $t$ în sens invers acelor de ceasornic, iar pentru $t<0$ un arc de lungime $|t|$ în sensul acelor de ceasornic. Punctele de pe axe corespund multiplilor lui $\frac{\pi }{2}$: $t=2k\pi$ dă $(1;0)$, $t=\frac{\pi }{2}+2k\pi$ dă $(0;1)$, $t=\pi +2k\pi$ dă $(-1;0)$, iar $t=\frac{3\pi }{2}+2k\pi$ dă $(0;-1)$, cu $k\in \mathbb{Z}$. Aceste puncte nu aparțin niciunui cadran. În $(0;\pm 1)$ tangenta nu există, iar în $(\pm 1;0)$ cotangenta nu există.

Unghiurile $t$ și $t+2k\pi$, cu $k\in \mathbb{Z}$, au același al doilea braț, deci aceleași valori trigonometrice. Semnele se citesc din cadran: abscisa dă semnul cosinusului, iar ordonata semnul sinusului. Tangenta și cotangenta sunt pozitive acolo unde sinusul și cosinusul au același semn. Unghiul de referință al unui punct din cadranele II–IV este unghiul ascuțit format de $OM$ cu axa $Ox$; valorile absolute ale funcțiilor sunt cele ale unghiului de referință.

Tangenta se citește pe tangenta la cerc în $A(1;0)$. Dacă $\cos t\ne 0$, dreapta $OM$ taie această tangentă în punctul $T(1;\mathrm{tg}t)$. Cotangenta se citește pe dreapta $y=1$: pentru $\sin t\ne 0$, dreapta $OM$ o taie în punctul $(\mathrm{ctg}t;1)$.

Exemplu rezolvat. Determinăm valorile funcțiilor trigonometrice pentru $t=\frac{5\pi }{6}$.

1. Unghiul $\frac{5\pi }{6}$ se află în cadranul II, iar unghiul de referință este $\pi -\frac{5\pi }{6}=\frac{\pi }{6}$.
2. Cosinusul este negativ și sinusul este pozitiv: $\cos \frac{5\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ și $\sin \frac{5\pi }{6}=\frac{1}{2}$.
3. Cosinusul nu este $0$, deci $\mathrm{tg}\frac{5\pi }{6}=\frac{1/2}{-\sqrt{3}/2}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$; semnul negativ corespunde cadranului II.
4. Verificare: $\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1$.

Exemplu rezolvat. Aflăm punctul $M$ pentru $t=-\frac{7\pi }{4}$.

1. Rotația este negativă, cu $\frac{7\pi }{4}$, adică $315^{\circ }$, în sensul acelor de ceasornic.
2. Avem $-\frac{7\pi }{4}=\frac{\pi }{4}-2\pi$, deci $M$ coincide cu punctul lui $\frac{\pi }{4}$.
3. Prin urmare $M\left(\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ și $\mathrm{tg}\left(-\frac{7\pi }{4}\right)=1$.

Când măsura este dată în radiani, fără $\pi$, cadranul se află comparând-o cu $\frac{\pi }{2}\approx 1,57$, $\pi \approx 3,14$, $\frac{3\pi }{2}\approx 4,71$ și $2\pi \approx 6,28$. Dacă numărul nu se află în $[0;2\pi )$, se adaugă sau se scade un multiplu de $2\pi$ până când ajunge în acest interval.

Exemplu rezolvat. Stabilim semnul produsului $P=\sin 2\cdot \cos 4\cdot \mathrm{tg}5$, cu argumentele în radiani.

1. Avem $\frac{\pi }{2}<2<\pi$, deci punctul este în cadranul II și $\sin 2>0$.
2. Avem $\pi <4<\frac{3\pi }{2}$, deci punctul este în cadranul III și $\cos 4<0$.
3. Avem $\frac{3\pi }{2}<5<2\pi$, deci punctul este în cadranul IV și $\mathrm{tg}5<0$.
4. Semnele factorilor sunt $+$, $-$, $-$, deci $P>0$.

La admitere, exercițiile din această lecție apar ca grile cu șase variante, iar variantele greșite vin din greșeli de semn sau de cadran. Semnele: în cadranul I toate funcțiile sunt pozitive, în II numai $\sin$, în III numai $\mathrm{tg}$ și $\mathrm{ctg}$, în IV numai $\cos$.

Problemă. Valoarea expresiei $E=\sin \frac{7\pi }{6}+\cos \frac{5\pi }{3}+\mathrm{tg}\frac{3\pi }{4}$ este:

• a) $0$
• b) $1$
• c) $-1$
• d) $-2$
• e) $2$
• f) $-\frac{1+\sqrt{3}}{2}$

Rezolvare. Unghiul $\frac{7\pi }{6}=\pi +\frac{\pi }{6}$ este în cadranul III, unde sinusul este negativ: $\sin \frac{7\pi }{6}=-\frac{1}{2}$. Unghiul $\frac{5\pi }{3}=2\pi -\frac{\pi }{3}$ este în cadranul IV, unde cosinusul este pozitiv: $\cos \frac{5\pi }{3}=\frac{1}{2}$. Unghiul $\frac{3\pi }{4}=\pi -\frac{\pi }{4}$ este în cadranul II, unde tangenta este negativă: $\mathrm{tg}\frac{3\pi }{4}=-1$. Deci $E=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-1=-1$. Răspunsul corect este c).

Fiecare variantă greșită are o cauză. Varianta a) apare dacă sinusul din cadranul III se ia pozitiv: $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-1=0$. Varianta b) apare dacă tangenta din cadranul II se ia pozitivă: $-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+1=1$. Varianta d) apare dacă cosinusul din cadranul IV se ia negativ. Varianta e) apare dacă toate valorile se iau pozitive: $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+1=2$. Varianta f) apare dacă $\sin \frac{7\pi }{6}$ se confundă cu $-\frac{\sqrt{3}}{2}$, adică cu cosinusul unghiului de referință.

Problemă. Dacă $\theta$ este un unghi din cadranul II și $\sin \theta =\frac{5}{13}$, atunci $\mathrm{tg}\theta$ este:

• a) $\frac{5}{12}$
• b) $-\frac{5}{12}$
• c) $-\frac{12}{5}$
• d) $\frac{12}{5}$
• e) $-\frac{13}{12}$
• f) $-\frac{5}{8}$

Rezolvare. Din ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ rezultă ${\cos }^2\theta =1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169}$. În cadranul II cosinusul este negativ, deci $\cos \theta =-\frac{12}{13}$ și $\mathrm{tg}\theta =\frac{5/13}{-12/13}=-\frac{5}{12}$. Răspunsul corect este b). Varianta a) apare dacă se ia $\cos \theta =\frac{12}{13}$, fără a ține seama de cadran. Varianta c) este $\mathrm{ctg}\theta$, adică raportul inversat. Varianta d) cumulează ambele greșeli. Varianta e) este $\frac{1}{\cos \theta }$. Varianta f) apare dacă se uită pătratele și se ia $\cos \theta =-\left(1-\frac{5}{13}\right)=-\frac{8}{13}$.

Alte tipuri. Rotind punctul $P(x;y)$ cu unghiul $\theta$ în jurul originii se obține $(x\cos \theta -y\sin \theta ;x\sin \theta +y\cos \theta )$. Pentru $P\left(\frac{3}{5};\frac{4}{5}\right)$ și $\theta =\frac{\pi }{2}$ rezultă $\left(-\frac{4}{5};\frac{3}{5}\right)$. Inecuația $\sin x>\frac{1}{2}$ pe $[0;2\pi )$ are soluția $\left(\frac{\pi }{6};\frac{5\pi }{6}\right)$, adică arcul de cerc unde ordonata depășește $\frac{1}{2}$. Inecuația $\mathrm{tg}x>1$ pe $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ are soluția $\left(\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}\right)$.

Greșeli frecvente

• Greșit: la $x=0$ punctul are coordonatele $(0;1)$, cu sinusul și cosinusul inversate.
  Corect: punctul este $(\cos 0;\sin 0)=(1;0)$.
• Greșit: unghiurile negative se măsoară tot în sens invers acelor de ceasornic.
  Corect: se măsoară în sensul acelor de ceasornic.
• Greșit: $x$ și $x+\pi$ duc mereu în același punct al cercului.
  Corect: punctele sunt opuse față de origine; în același punct duc $x$ și $x+2\pi$.
• Greșit: $\cos 2=\cos 2^{\circ }$, deoarece argumentul este un număr.
  Corect: fără simbolul de grad argumentul este în radiani; $2$ radiani sunt aproximativ $114,6^{\circ }$, iar $\cos 2<0$.

Înainte și după