Transformarea sumelor în produse

O sumă de sinusuri se poate rescrie ca produs: $\sin a+\sin b=2\sin \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}$. Similar, $\cos a+\cos b=2\cos \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}$. Transformarea este utilă la simplificări și la rezolvarea ecuațiilor, unde un produs egal cu zero se poate desface în cazuri.

Exemplu rezolvat. Transformăm $\sin 3x+\sin x$.

1. Semisuma unghiurilor este $(3x+x)/2=2x$.
2. Semidiferența este $(3x-x)/2=x$.
3. Suma devine $2\sin 2x\cos x$.

Demonstrația. Se pun $u=\frac{a+b}{2}$ și $v=\frac{a-b}{2}$, deci $a=u+v$ și $b=u-v$. Adunând și scăzând formulele de adunare pentru $\sin (u\pm v)$ și $\cos (u\pm v)$ se obțin

alături de cele două formule din „Pe scurt”. Semnul minus din ultima formulă vine din $\cos (u+v)-\cos (u-v)=-2\sin u\sin v$. Citite de la dreapta la stânga, aceleași relații transformă produsele în sume:

Pentru tangente, dacă $\cos a\ne 0$ și $\cos b\ne 0$, avem $\mathrm{tg}a\pm \mathrm{tg}b=\frac{\sin (a\pm b)}{\cos a\cos b}$. Formulele cu sinus și cosinus sunt valabile pentru orice argumente reale. Suma devine produs când se caută un factor comun sau o ecuație cu produs nul; produsul devine sumă când se calculează o valoare exactă sau se coboară gradul unei expresii.

Exemplu rezolvat. Calculăm $\sin 75^{\circ }+\sin 15^{\circ }$ și $\sin 75^{\circ }\sin 15^{\circ }$.

1. Semisuma este $45^{\circ }$, iar semidiferența este $30^{\circ }$: $\sin 75^{\circ }+\sin 15^{\circ }=2\sin 45^{\circ }\cos 30^{\circ }=2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$.
2. Pentru produs: $\sin 75^{\circ }\sin 15^{\circ }=\frac{1}{2}\left(\cos 60^{\circ }-\cos 90^{\circ }\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$.
3. Pentru diferența cosinusurilor: $\cos 75^{\circ }-\cos 15^{\circ }=-2\sin 45^{\circ }\sin 30^{\circ }=-2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, negativ, fiindcă $\cos 75^{\circ }<\cos 15^{\circ }$.

Exemplu rezolvat. Scriem produsul $\sin 5x\cos 3x$ ca sumă.

1. Din $2\sin a\cos b=\sin (a+b)+\sin (a-b)$, cu $a=5x$ și $b=3x$, rezultă $2\sin 5x\cos 3x=\sin 8x+\sin 2x$.
2. Deci $\sin 5x\cos 3x=\frac{1}{2}(\sin 8x+\sin 2x)$.
3. Control la $x=\frac{\pi }{6}$: membrul stâng este $\sin \frac{5\pi }{6}\cos \frac{\pi }{2}=0$, iar cel drept este $\frac{1}{2}\left(\sin \frac{4\pi }{3}+\sin \frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=0$.

Exemplu rezolvat. Simplificăm $E=\frac{\sin 3x+\sin x}{\cos 3x+\cos x}$ pentru $\cos x\ne 0$ și $\cos 2x\ne 0$.

1. Numărătorul este $2\sin 2x\cos x$, cu semisuma $2x$ și semidiferența $x$.
2. Numitorul este $2\cos 2x\cos x$, cu aceleași semisumă și semidiferență.
3. Factorul comun $2\cos x$ este nenul și se simplifică: $E=\frac{\sin 2x}{\cos 2x}=\mathrm{tg}2x$.

Exemplu rezolvat. Demonstrăm că $\sin 10^{\circ }+\sin 50^{\circ }=\sin 70^{\circ }$.

1. Suma este $2\sin 30^{\circ }\cos 20^{\circ }$, cu semisuma $30^{\circ }$ și semidiferența $-20^{\circ }$ (cosinusul este par).
2. Cum $2\sin 30^{\circ }=1$, suma este $\cos 20^{\circ }$.
3. Din $\cos 20^{\circ }=\sin (90^{\circ }-20^{\circ })=\sin 70^{\circ }$ rezultă egalitatea.

Exemplu rezolvat. Rezolvăm $\cos 3x-\cos x=0$ în numere reale.

1. Semisuma argumentelor este $2x$, iar semidiferența este $x$.
2. Formula diferenței dă $-2\sin 2x\sin x=0$.
3. Din primul factor obținem $x=k\pi /2$; din al doilea, $x=k\pi$, cu $k\in \mathbb{Z}$.
4. A doua familie este inclusă în prima, deci soluția completă este $x=k\pi /2$, $k\in \mathbb{Z}$.

La ecuații, produsul nul se desface în alternative; împărțirea cu un factor care poate fi nul ar pierde soluții.

Exemplu rezolvat. Rezolvăm ecuația $\sin 3x=\sin x$.

1. Mutăm termenii: $\sin 3x-\sin x=0$.
2. Formula diferenței dă $2\cos 2x\sin x=0$.
3. Din $\sin x=0$ rezultă $x=k\pi$, iar din $\cos 2x=0$ rezultă $2x=\frac{\pi }{2}+k\pi$, adică $x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$, cu $k\in \mathbb{Z}$.

Exemplu rezolvat. Rezolvăm $\sin x+\sin 2x+\sin 3x=0$.

1. Grupăm termenii extremi: $\sin x+\sin 3x=2\sin 2x\cos x$.
2. Ecuația devine $2\sin 2x\cos x+\sin 2x=0$, adică $\sin 2x(2\cos x+1)=0$.
3. Din $\sin 2x=0$ rezultă $x=\frac{k\pi }{2}$.
4. Din $\cos x=-\frac{1}{2}$ rezultă $x=\pm \frac{2\pi }{3}+2k\pi$, cu $k\in \mathbb{Z}$.
5. Cele două serii nu se includ una în alta ($\frac{2\pi }{3}$ nu este multiplu de $\frac{\pi }{2}$), deci soluția este reuniunea lor.

Exemplu rezolvat. Rezolvăm $\cos x+\cos 3x=\cos 2x$.

1. Suma din membrul stâng este $2\cos 2x\cos x$, cu semisuma $2x$ și semidiferența $x$.
2. Mutăm termenul: $2\cos 2x\cos x-\cos 2x=0$, adică $\cos 2x(2\cos x-1)=0$.
3. Din $\cos 2x=0$ rezultă $x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$, iar din $\cos x=\frac{1}{2}$ rezultă $x=\pm \frac{\pi }{3}+2k\pi$, cu $k\in \mathbb{Z}$.
4. Controlul pentru $x=\frac{\pi }{3}$: $\cos \frac{\pi }{3}+\cos \pi =\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}=\cos \frac{2\pi }{3}$.

Greșeli frecvente

• Greșit: $\cos 2x-\cos 0=2{\sin }^{2}x$.
  Corect: formula diferenței dă $-2{\sin }^{2}x$.
• Greșit: în ecuația $-2\sin 2x\sin x=0$ se împarte cu $\sin x$ fără analiză.
  Corect: valorile $x=k\pi$ anulează acest factor și sunt soluții care trebuie păstrate.
• Greșit: $\sin a-\sin b=2\sin \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}$, prin copierea formulei sumei.
  Corect: la diferența sinusurilor factorii se schimbă, $\sin a-\sin b=2\cos \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}$.
• Greșit: $2\sin a\cos b=\sin (a+b)$.
  Corect: membrul drept are doi termeni, $2\sin a\cos b=\sin (a+b)+\sin (a-b)$.

Înainte și după