Formule pentru unghi dublu și jumătate

Punând $a=b=x$ în formulele de adunare, obținem $\sin 2x=2\sin x\cos x$ și $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=1-2{\sin }^{2}x=2{\cos }^{2}x-1$. Relațiile de jumătate de unghi sunt ${\sin }^2(x/2)=(1-\cos x)/2$ și ${\cos }^2(x/2)=(1+\cos x)/2$.

Exemplu rezolvat. Dacă $\sin x=3/5$ și $\cos x=4/5$, calculăm $\sin 2x$.

1. Folosim $\sin 2x=2\sin x\cos x$.
2. Înlocuim: $2\cdot (3/5)\cdot (4/5)$.
3. Rezultă $\sin 2x=24/25$.

Formulele de unghi dublu transformă produsul $\sin x\cos x$ într-un singur sinus, iar pătratele ${\sin }^{2}x$ și ${\cos }^{2}x$ într-un cosinus de argument dublu. Prin ele, o ecuație sau o expresie cu argumentele $x$ și $2x$ se aduce la un singur argument.

Alegerea formulei pentru $\cos 2x$. Cele trei forme sunt echivalente prin ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$. Prima se folosește când se cunosc ambele funcții, a doua când se cunoaște numai $\sin x$, a treia când se cunoaște numai $\cos x$. Ultimele două dau și formulele de coborâre a gradului, ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$ și ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$.

Jumătatea unghiului. Formulele de jumătate se obțin din cele de coborâre, cu $x$ înlocuit prin $\frac{x}{2}$. Ele dau pătratele valorilor, deci $\left|\sin \frac{x}{2}\right|=\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}$ și $\left|\cos \frac{x}{2}\right|=\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}$. Semnul se alege după cadranul lui $\frac{x}{2}$: dacă $x\in (\pi ;2\pi )$, atunci $\frac{x}{2}\in \left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$, deci $\sin \frac{x}{2}>0$ și $\cos \frac{x}{2}<0$. Pentru $\cos x\ne -1$ avem și ${\mathrm{tg}}^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}$.

Tangenta unghiului dublu. Dacă $x\ne \frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$ și $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, cu $k\in \mathbb{Z}$, atunci $\mathrm{tg}2x=\frac{2\mathrm{tg}x}{1-{\mathrm{tg}}^{2}x}$. Pentru $x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$ tangenta $\mathrm{tg}2x$ nu există. Pentru $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ formula nu se aplică, dar $\mathrm{tg}2x=\frac{\sin 2x}{\cos 2x}=\frac{0}{-1}=0$.

Sinus și cosinus din tangentă. Dacă $\cos x\ne 0$, împărțind numărătorul și numitorul la ${\cos }^{2}x$ în $\sin 2x=\frac{2\sin x\cos x}{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}$ și în $\cos 2x=\frac{{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x}{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}$ se obțin $\sin 2x=\frac{2\mathrm{tg}x}{1+{\mathrm{tg}}^{2}x}$ și $\cos 2x=\frac{1-{\mathrm{tg}}^{2}x}{1+{\mathrm{tg}}^{2}x}$. Aceste forme sunt comode când se cunoaște numai tangenta și nu interesează cadranul lui $x$.

Exemplu rezolvat. Dacă $\mathrm{tg}x=\frac{1}{2}$, calculăm $\sin 2x$, $\cos 2x$ și $\mathrm{tg}2x$.

1. $1+{\mathrm{tg}}^{2}x=1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$.
2. $\sin 2x=\frac{2\cdot \frac{1}{2}}{\frac{5}{4}}=\frac{4}{5}$ și $\cos 2x=\frac{1-\frac{1}{4}}{\frac{5}{4}}=\frac{3}{5}$.
3. $\mathrm{tg}2x=\frac{\sin 2x}{\cos 2x}=\frac{4}{3}$, același rezultat ca din $\frac{2\mathrm{tg}x}{1-{\mathrm{tg}}^{2}x}=\frac{1}{3/4}$.

Exemplu rezolvat. Rezolvăm ecuația $\cos 2x+3\sin x=2$ pe intervalul $[0;2\pi ]$.

1. Cum apare $\sin x$, folosim forma $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$: ecuația devine $1-2{\sin }^{2}x+3\sin x=2$, adică $2{\sin }^{2}x-3\sin x+1=0$.
2. Cu $t=\sin x$, ecuația $2t^2-3t+1=0$ are rădăcinile $t=1$ și $t=\frac{1}{2}$.
3. Din $\sin x=1$ rezultă $x=\frac{\pi }{2}$, iar din $\sin x=\frac{1}{2}$ rezultă $x=\frac{\pi }{6}$ sau $x=\frac{5\pi }{6}$.

Exemplu rezolvat. Calculăm $\cos 15^{\circ }$, cu $x=30^{\circ }$.

1. Unghiul $15^{\circ }$ este în cadranul I, deci $\cos 15^{\circ }>0$.
2. ${\cos }^{2}15^{\circ }=\frac{1+\cos 30^{\circ }}{2}=\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{2+\sqrt{3}}{4}$.
3. $\cos 15^{\circ }=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}$. Deoarece ${\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)}^2=\frac{8+2\sqrt{12}}{16}=\frac{2+\sqrt{3}}{4}$, rezultă $\cos 15^{\circ }=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.

Exemplu rezolvat. Calculăm $\sin 22,5^{\circ }$, cu $x=45^{\circ }$.

1. Unghiul $22,5^{\circ }$ este în cadranul I, deci $\sin 22,5^{\circ }>0$.
2. ${\sin }^{2}22,5^{\circ }=\frac{1-\cos 45^{\circ }}{2}=\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}=\frac{2-\sqrt{2}}{4}$.
3. Rezultă $\sin 22,5^{\circ }=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\approx 0,3827$.

Exemplu rezolvat. Unghiul $x$ este în cadranul II și $\sin x=\frac{8}{17}$. Calculăm $\sin 2x$, $\cos 2x$, $\mathrm{tg}2x$ și $\cos \frac{x}{2}$.

1. În cadranul II, $\cos x=-\sqrt{1-\frac{64}{289}}=-\frac{15}{17}$.
2. $\sin 2x=2\cdot \frac{8}{17}\cdot \left(-\frac{15}{17}\right)=-\frac{240}{289}$.
3. $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x=1-\frac{128}{289}=\frac{161}{289}$, iar $\mathrm{tg}2x=\frac{-240/289}{161/289}=-\frac{240}{161}$.
4. Din $x\in \left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$ rezultă $\frac{x}{2}\in \left(\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}\right)$, deci $\cos \frac{x}{2}>0$: $\cos \frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1-\frac{15}{17}}{2}}=\sqrt{\frac{1}{17}}=\frac{\sqrt{17}}{17}$.

Exemplu rezolvat. Știm că $\sin x+\cos x=\frac{7}{5}$. Calculăm $\sin 2x$.

1. Ridicăm la pătrat: ${\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x=\frac{49}{25}$.
2. Primul și ultimul termen dau $1$, iar $2\sin x\cos x=\sin 2x$, deci $1+\sin 2x=\frac{49}{25}$.
3. Rezultă $\sin 2x=\frac{24}{25}$. Controlul: pentru $\sin x=\frac{3}{5}$ și $\cos x=\frac{4}{5}$ suma este $\frac{7}{5}$, iar $2\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{4}{5}=\frac{24}{25}$.

Exemplu rezolvat. Demonstrăm că $\frac{\sin 2x}{1+\cos 2x}=\mathrm{tg}x$ pentru $\cos x\ne 0$.

1. Numărătorul este $2\sin x\cos x$, iar numitorul este $1+(2{\cos }^{2}x-1)=2{\cos }^{2}x$, nenul.
2. Fracția devine $\frac{2\sin x\cos x}{2{\cos }^{2}x}=\frac{\sin x}{\cos x}=\mathrm{tg}x$.

Egalitățile se pot aplica și în sens invers, ca să restrângem o expresie. De exemplu, $\sin 15^{\circ }\cos 15^{\circ }=\frac{1}{2}\sin 30^{\circ }=\frac{1}{4}$ și ${\cos }^{2}15^{\circ }-{\sin }^{2}15^{\circ }=\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Greșeli frecvente

• Greșit: $\sin 2x=2\sin x$.
  Corect: $\sin 2x=2\sin x\cos x$.
• Greșit: $\cos 2x=2\cos x$.
  Corect: $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$.
• Greșit: $\sin (x/2)=\sqrt{(1-\cos x)/2}$ în toate cazurile.
  Corect: semnul depinde de cadranul lui $x/2$; de exemplu, pentru $x/2$ în cadranul II, $\cos (x/2)$ este negativ.
• Greșit: $\cos 2x=2{\cos }^{2}x+1$.
  Corect: $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$; verificare la $x=0$: $\cos 0=1=2\cdot 1-1$.
• Greșit: ${\sin }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$.
  Corect: ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$, iar ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$.

Înainte și după