Razele cercurilor înscris și circumscris. Aria triunghiului

Un triunghi nedegenerat are laturile $a$, $b$, $c$, aria $S$ și semiperimetrul $p=\frac{a+b+c}{2}$. Notăm cu $R$ raza cercului circumscris și cu $r$ raza cercului înscris. Aria se calculează după datele cunoscute:

• $S=\frac{a{h}_a}{2}$, cu $h_a$ înălțimea corespunzătoare laturii $a$;
• $S=\frac{1}{2}bc\sin A$, adică jumătate din produsul a două laturi cu sinusul unghiului cuprins între ele;
• $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ (formula lui Heron), când se cunosc cele trei laturi;
• $S=pr$ și $S=\frac{abc}{4R}$, de unde $r=\frac{S}{p}$ și $R=\frac{abc}{4S}$.

Cele două raze au, în general, valori diferite: $R$ se măsoară de la centrul cercului circumscris la vârfuri, iar $r$ de la centrul cercului înscris la laturi.

De unde provin formulele. Înălțimea din $C$ pe latura $AB$ este $b\sin A$, deci $S=\frac{1}{2}c\cdot b\sin A$. Teorema sinusurilor dă $\sin A=\frac{a}{2R}$, de unde $S=\frac{1}{2}bc\cdot \frac{a}{2R}=\frac{abc}{4R}$. Segmentele care unesc centrul cercului înscris cu vârfurile împart triunghiul în trei triunghiuri cu înălțimile egale cu $r$ față de laturile $a$, $b$, $c$, deci $S=\frac{ar}{2}+\frac{br}{2}+\frac{cr}{2}=pr$. Formula lui Heron se obține din $S=\frac{1}{2}bc\sin A$, înlocuind $\sin A$ prin teorema cosinusului. Radicandul din formula lui Heron este pozitiv dacă și numai dacă laturile verifică toate cele trei inegalități ale triunghiului.

Cazuri particulare. Într-un triunghi dreptunghic cu catetele $b$, $c$ și ipotenuza $a$ avem $R=\frac{a}{2}$ și $r=\frac{b+c-a}{2}$. Într-un triunghi echilateral de latură $a$ avem $S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, $R=\frac{a\sqrt{3}}{3}$ și $r=\frac{a\sqrt{3}}{6}$, deci $R=2r$.

Alegerea formulei. Când se cunosc cele trei laturi, se folosește formula lui Heron. Când se cunosc două laturi și unghiul dintre ele, se folosește $S=\frac{1}{2}bc\sin A$. Când se cunosc o latură și înălțimea ei, se folosește $S=\frac{a{h}_a}{2}$. Raza $r$ se află din arie și semiperimetru, iar raza $R$ din arie și produsul laturilor sau din teorema sinusurilor, $a=2R\sin A$. Orice calcul se poate verifica prin al doilea drum: aria obținută cu Heron trebuie să coincidă cu aria obținută cu sinusul.

Exemplu rezolvat. Un triunghi echilateral are latura de $6$ cm. Aflăm aria și razele.

1. $S=\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}$ cm${}^2$ și $p=9$ cm.
2. $r=\frac{S}{p}=\frac{9\sqrt{3}}{9}=\sqrt{3}$ cm.
3. $R=\frac{abc}{4S}=\frac{216}{36\sqrt{3}}=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$ cm, deci $R=2r$.

Exemplu rezolvat. Un triunghi are $a=7$ cm, $b=8$ cm și aria $14\sqrt{3}$ cm${}^2$. Aflăm lungimea laturii $c$, opuse unghiului $C$ cuprins între laturile $a$ și $b$.

1. Din $S=\frac{1}{2}ab\sin C$ rezultă $\sin C=\frac{2\cdot 14\sqrt{3}}{56}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, deci $C=60^{\circ }$ sau $C=120^{\circ }$.
2. Pentru $C=60^{\circ }$: $c^2=49+64-2\cdot 7\cdot 8\cdot \frac{1}{2}=57$, deci $c=\sqrt{57}$ cm.
3. Pentru $C=120^{\circ }$: $c^2=49+64+56=169$, deci $c=13$ cm.
4. Datele admit două triunghiuri, cu $c=\sqrt{57}$ cm sau $c=13$ cm, ambele cu aria $14\sqrt{3}$ cm${}^2$.

Exemplu rezolvat. Un triunghi are laturile $13$ cm, $14$ cm și $15$ cm. Aflăm aria, razele $R$ și $r$ și înălțimea corespunzătoare laturii de $14$ cm.

1. Cea mai mare latură verifică $15<13+14$, deci triunghiul există. Semiperimetrul este $p=\frac{13+14+15}{2}=21$ cm.
2. Heron dă $S=\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=\sqrt{7056}=84$ cm${}^2$.
3. $r=\frac{S}{p}=\frac{84}{21}=4$ cm și $R=\frac{abc}{4S}=\frac{13\cdot 14\cdot 15}{4\cdot 84}=\frac{65}{8}$ cm.
4. Din $S=\frac{14h}{2}$ rezultă $h=\frac{2\cdot 84}{14}=12$ cm.

Exemplu rezolvat. În triunghiul $ABC$ avem $AB=6$ cm, $AC=10$ cm și $A=120^{\circ }$. Aflăm $BC$, aria și razele.

1. Teorema cosinusului dă $B{C}^2=36+100-2\cdot 6\cdot 10\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=196$, deci $BC=14$ cm.
2. $S=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 10\cdot \sin 120^{\circ }=30\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=15\sqrt{3}$ cm${}^2$.
3. Semiperimetrul este $p=\frac{6+10+14}{2}=15$ cm, deci $r=\frac{15\sqrt{3}}{15}=\sqrt{3}$ cm.
4. $R=\frac{abc}{4S}=\frac{6\cdot 10\cdot 14}{4\cdot 15\sqrt{3}}=\frac{14}{\sqrt{3}}=\frac{14\sqrt{3}}{3}$ cm. Verificare cu teorema sinusurilor: $R=\frac{BC}{2\sin 120^{\circ }}=\frac{14}{\sqrt{3}}$.

Exemplu rezolvat. Triunghiul cu laturile $5$ cm, $12$ cm și $13$ cm este dreptunghic, deoarece $5^2+12^2=13^2$. Formulele pentru triunghiul dreptunghic dau $R=\frac{13}{2}=6,5$ cm și $r=\frac{5+12-13}{2}=2$ cm. Aceleași valori rezultă din $S=\frac{5\cdot 12}{2}=30$ cm${}^2$ și $p=15$ cm: $r=\frac{30}{15}=2$ cm și $R=\frac{5\cdot 12\cdot 13}{4\cdot 30}=6,5$ cm.

Greșeli frecvente

• Greșit: în $r=\frac{S}{p}$ se folosește perimetrul întreg în loc de $p$.
  Corect: $p$ este semiperimetrul; pentru laturile $13$, $14$, $15$, valoarea $\frac{84}{42}=2$ ar fi greșită, iar $\frac{84}{21}=4$ este corectă.
• Greșit: formula lui Heron se aplică la laturi care nu pot forma un triunghi, precum $2$, $3$, $6$.
  Corect: se verifică mai întâi inegalitățile triunghiului; aici $6>2+3$, iar $p(p-a)(p-b)(p-c)$ este negativ.
• Greșit: $S=\frac{1}{2}ab\sin A$, deși $A$ nu este unghiul dintre laturile $a$ și $b$.
  Corect: unghiul din formulă este cel cuprins între cele două laturi, deci $S=\frac{1}{2}bc\sin A$ sau $S=\frac{1}{2}ab\sin C$.
• Greșit: $R=\frac{S}{p}$ și $r=\frac{abc}{4S}$.
  Corect: $r=\frac{S}{p}$ este raza cercului înscris, iar $R=\frac{abc}{4S}$ este raza cercului circumscris.

Înainte și după