Media, mediana și modul

Trei numere pot descrie „centrul” unor date, dar răspund la întrebări diferite. Media aritmetică este suma valorilor împărțită la numărul lor. Pentru $2;4;6$, suma este $12$, iar media este $12:3=4$. Media poate fi un număr care nu apare în listă.

Ca să afli media, aduni toate valorile și împarți la câte sunt: dacă patru prieteni au $3$, $5$, $4$ și $8$ stickere, ei au împreună $20$, iar media este $20:4=5$ stickere pe copil, ca și cum toți ar fi avut la fel. Mediana este valoarea din mijloc după ce ordonezi datele. Pentru $2;4;6$, mediana este $4$. Dacă ai un număr par de valori, iei media celor două valori centrale. Modul este valoarea care apare cel mai des; uneori pot exista mai multe moduri, iar dacă toate frecvențele sunt egale, nu există un mod unic.

Aceste măsuri nu sunt interschimbabile. În lista $2;3;10$, mediana este $3$, dar media este $5$. Numărul $10$ împinge media în sus. De aceea, când descrii datele, spune ce măsură ai calculat și de ce este utilă. Pentru mediană, ordonarea este obligatorie; pentru medie, adună toate observațiile exact o dată.

Exemplu rezolvat. Pentru datele $1;2;2;7$:

1. Media este $(1+2+2+7):4=12:4=3$.
2. Datele sunt deja ordonate; mediana este $(2+2):2=2$.
3. Modul este $2$, fiindcă apare de două ori.

Cele trei valori sunt $3$, $2$ și $2$.

Alegerea măsurii depinde de întrebare. Media folosește toate valorile și se potrivește când vrei o valoare „echitabilă” pentru întregul set: dacă patru colegi au $5;8;6;9$ puncte, media este $7$ puncte pe elev. Mediana arată valoarea de la mijloc și nu este influențată de o singură valoare extremă, iar modul răspunde la întrebarea „care valoare apare cel mai des?”, de exemplu mărimea de pantofi cea mai vândută. Pentru datele $4;7;7;9;13$ avem media $8$, mediana $7$ și modul $7$.

Exemplu rezolvat. Cinci elevi au câștigat $4;7;7;9;100$ de puncte la un joc. Compară media și mediana.

1. Media este $\frac{4+7+7+9+100}{5}=\frac{127}{5}=25,4$.
2. Datele sunt ordonate; mediana este valoarea din mijloc, adică a treia: $7$.
3. Modul este $7$, apărut de două ori.

Media $25,4$ este mai mare decât patru dintre cele cinci valori, pentru că valoarea $100$ o trage în sus; mediana $7$ descrie mai bine un elev obișnuit din grup.

Un tabel de frecvențe înlocuiește repetarea observațiilor prin numărul de apariții al fiecărei valori. Dacă valorile sunt $x_i$, iar frecvențele absolute sunt $n_i$, efectivul este $N={\sum }_i{n}_i>0$ și media ponderată este $\bar{x}=\frac{{\sum }_i{n}_i{x}_i}{N}$. Frecvențele relative sunt $f_i=n_i/N$ și satisfac ${\sum }_i{f}_i=1$. Frecvențele cumulate arată câte observații nu depășesc fiecare valoare și permit localizarea pozițiilor medianei fără rescrierea întregii liste. Media este sensibilă la valori extreme: dacă o observație crește cu $d$, media crește cu $d/N$, pe când mediana poate rămâne aceeași. Astfel, alegerea indicatorului depinde de distribuția datelor, nu de comoditatea calculului.

Exemplu rezolvat. Numerele de cărți citite sunt $1;2;4$, cu frecvențele $2;3;1$.

1. Efectivul este $2+3+1=6$ copii.
2. Media este $(1\cdot 2+2\cdot 3+4\cdot 1)/6=12/6=2$ cărți.
3. Lista ordonată este $1;1;2;2;2;4$. Pozițiile centrale sunt $3$ și $4$, deci mediana este $(2+2)/2=2$.
4. Frecvența maximă este $3$, corespunzătoare valorii $2$; modul distribuției este $2$.

Proprietăți ale mediei aritmetice $\bar{x}$ a valorilor $x_1;\dots ;x_n$: suma abaterilor față de medie este zero, $\sum (x_i-\bar{x})=0$, deoarece $\sum x_i=n\bar{x}$; dacă fiecare valoare crește cu $c$, media crește cu $c$; dacă fiecare valoare se înmulțește cu $k$, media se înmulțește cu $k$. Media nu este mai mică decât cea mai mică valoare și nu este mai mare decât cea mai mare. Mediana unui set cu $n$ valori ordonate este valoarea de rang $\frac{n+1}{2}$ dacă $n$ este impar, respectiv media valorilor de rang $\frac{n}{2}$ și $\frac{n}{2}+1$ dacă $n$ este par.

Exemplu rezolvat. La un test, media a $4$ elevi este $7$, iar un al cincilea elev ia $12$. Care este media celor cinci?

1. Suma celor patru note este $4\cdot 7=28$.
2. Suma tuturor notelor este $28+12=40$.
3. Media celor cinci este $40:5=8$.

Verificare: media a crescut cu $1$, iar nota nouă depășește media veche cu $5$, iar $5:5=1$. Alt calcul: pentru $5;8;6;9$ media este $\frac{28}{4}=7$ și mediana este $\frac{6+8}{2}=7$.

Exemplu rezolvat. La o disciplină, un elev are media notelor din semestru $8$, cu ponderea $3$, și nota $9$ la teză, cu ponderea $1$. Calculează media ponderată.

1. Înmulțește fiecare valoare cu ponderea ei și adună: $3\cdot 8+1\cdot 9=33$.
2. Împarte la suma ponderilor: $3+1=4$.
3. Media ponderată este $33:4=8,25$.

Ponderile arată cât contează fiecare valoare în rezultatul final: o pondere mai mare trage media spre valoarea ei, la fel cum frecvența mare a unei valori o trage în tabelul de frecvențe. Media ponderată este mai apropiată de valoarea cu pondere mai mare: $8,25$ este mai aproape de $8$ decât de $9$. Dacă ponderile ar fi egale, ea ar coincide cu media aritmetică, $8,5$.

Greșeli frecvente

• Greșit: pentru tabelul de mai sus media este $(1+2+4)/3$.
  Corect: frecvențele contează, iar media este $12/6=2$.
• Greșit: în lista $8;1;3$ mediana este $1$, fiindcă apare în mijlocul scrierii.
  Corect: lista ordonată este $1;3;8$, deci mediana este $3$.
• Greșit: pentru $5;8;6;9$ mediana este $6$ sau $8$, una dintre valorile centrale.
  Corect: numărul de valori este par, deci mediana este media celor două valori centrale ale listei ordonate $5;6;8;9$, adică $\frac{6+8}{2}=7$.

Înainte și după