Amplitudinea și dispersia datelor

Media arată centrul unui set de date, dar două seturi cu aceeași medie pot fi răspândite diferit. La gimnaziu măsurăm această răspândire prin amplitudine: scădem valoarea minimă din valoarea maximă. Pentru notele $4;6;8$, amplitudinea este $8-4=4$; pentru $6;6;6$, este $6-6=0$. Ambele seturi au media $6$, dar primul conține valori mai depărtate una de alta.

Exemplu rezolvat. Temperaturile măsurate în trei zile au fost $12$ °C, $17$ °C și $14$ °C. Ordonăm valorile: $12<14<17$. Minimul este $12$ °C, maximul este $17$ °C, deci amplitudinea este $17-12=5$ °C. Dacă toate valorile ar fi egale, amplitudinea ar fi $0$ °C.

Amplitudinea ajută la compararea a două seturi care au aceeași medie. Să presupunem că doi sportivi au aruncat de câte patru ori la poartă și au marcat $6;8;10;12$ puncte, respectiv $8;9;9;10$. Ambii au media $9$ puncte pe aruncare, dar primul are amplitudinea $12-6=6$, iar al doilea $10-8=2$. Al doilea sportiv este mai constant, pentru că rezultatele lui sunt mai apropiate între ele. Pentru amplitudine ordonezi datele de la cea mai mică la cea mai mare valoare, apoi scazi prima din ultima, fără să calculezi media.

Amplitudinea depinde doar de extreme; ea nu arată cum sunt distribuite valorile dintre minim și maxim. Folosește aceeași unitate ca datele și nu o confunda cu media. Pentru un set de date numerice, rezultatul este nenegativ deoarece maximul nu poate fi mai mic decât minimul.

Pentru a calcula amplitudinea parcurgi trei pași: găsești cea mai mică valoare, găsești cea mai mare valoare și faci scăderea. Dacă datele sunt scrise într-un tabel de frecvențe, minimul și maximul sunt prima și ultima valoare din tabel, indiferent de frecvențele lor. Dacă notele unei clase sunt $5$, $7$, $7$, $8$ și $10$, amplitudinea este $10-5=5$ puncte, chiar dacă majoritatea notelor se află între $7$ și $8$. Amplitudinea are aceeași unitate de măsură ca datele inițiale.

La liceu, dispersia (varianța) populației este media pătratelor abaterilor față de medie, iar abaterea standard este rădăcina sa pătrată. Pentru întreaga populație $x_1;\dots ;x_n$, cu media $\bar{x}$, dispersia este ${\sigma }^2=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2$. Ea este nenegativă și egală cu zero dacă și numai dacă toate valorile sunt identice. Dacă datele sunt în centimetri, dispersia este în centimetri pătrați, iar abaterea standard este în centimetri. În statistica eșantionului se poate folosi o altă definiție, cu numitorul $n-1$; enunțul trebuie să precizeze convenția cerută.

Exemplu rezolvat. Compară seturile $A=(4;4;4)$ și $B=(3;4;5)$.

1. Ambele au media $4$.
2. Dispersia lui $A$ este $0$.
3. Pentru $B$, abaterile sunt $-1;0;1$, deci dispersia este $(1+0+1)/3=2/3>0$.

Valorile lui $B$ sunt mai răspândite, deși mediile coincid.

Formula de calcul echivalentă este ${\sigma }^2=\frac{1}{n}\sum x_i^2-{\bar{x}}^2$ pentru convenția cu numitor $n$; ea rezultă din dezvoltarea pătratelor. Exemplu rezolvat. Pentru datele $1;2;4$, media este $7/3$, iar media pătratelor este $(1+4+16)/3=7$. Scădem pătratul mediei: $7-49/9=14/9$. Verificăm direct: abaterile sunt $-4/3;-1/3;5/3$, iar media pătratelor lor este $(16/9+1/9+25/9)/3=14/9$. Abaterea standard este $\sigma =\sqrt{14}/3$, în aceeași unitate ca datele, pe când dispersia are unitatea la pătrat. Cu convenția eșantionului, aceleași date dau suma pătratelor abaterilor $\frac{14}{3}$, împărțită la $n-1=2$: $s^2=\frac{7}{3}$, mai mare decât $\frac{14}{9}$, obținut cu numitorul $n$.

Dispersia nu se schimbă dacă adaugi aceeași constantă la toate valorile (se mută doar centrul), dar se înmulțește cu $k^2$ dacă înmulțești toate valorile cu $k$. Pentru datele $2;4;4;4;5;5;7;9$ media este $5$ și dispersia este $4$, deci abaterea standard este $2$; dacă fiecare valoare crește cu $10$, dispersia rămâne $4$.

Exemplu rezolvat. Calculează dispersia și abaterea standard pentru $2;4;4;4;5;5;7;9$.

1. Media este $\frac{2+4+4+4+5+5+7+9}{8}=\frac{40}{8}=5$.
2. Abaterile de la medie sunt $-3;-1;-1;-1;0;0;2;4$, iar pătratele lor sunt $9;1;1;1;0;0;4;16$.
3. Suma pătratelor este $32$, deci ${\sigma }^2=\frac{32}{8}=4$.
4. Abaterea standard este $\sigma =\sqrt{4}=2$.

Verificare cu formula $\frac{1}{n}\sum x_i^2-{\bar{x}}^2$: suma pătratelor datelor este $4+16+16+16+25+25+49+81=232$, iar $\frac{232}{8}-25=29-25=4$.

În statistica descriptivă, dispersia și media se citesc împreună: o medie mare cu o dispersie mică descrie un grup omogen, iar o dispersie mare arată că valorile sunt împrăștiate. De pildă, doi elevi cu notele $6;8;10;12$ (în unități de puncte) și $8;9;10;10;11;12$ au mediile $9$ și respectiv $10$, iar dispersiile $5$, respectiv $\frac{5}{3}$. Primul set este mai răspândit, deși mediile sunt apropiate. Abaterea standard permite compararea: se exprimă în aceeași unitate cu datele și se compară direct cu media.

Pentru date cu frecvențe, dispersia ponderează fiecare pătrat al abaterii cu frecvența sa: ${\sigma }^2=\frac{1}{N}{\sum }_i{n}_i(x_i-\bar{x}{)}^2$. De exemplu, pentru valorile $1;3$ cu frecvențele $3;1$ avem $N=4$, media $\frac{1\cdot 3+3\cdot 1}{4}=\frac{3}{2}$ și dispersia $\frac{3\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2+1\cdot {\left(\frac{3}{2}\right)}^2}{4}=\frac{\frac{3}{4}+\frac{9}{4}}{4}=\frac{3}{4}$. Rezultatul se verifică prin lista dezvoltată $1;1;1;3$: abaterile la pătrat sunt $\frac{1}{4};\frac{1}{4};\frac{1}{4};\frac{9}{4}$, a căror medie este tot $\frac{3}{4}$.

Greșeli frecvente

• Greșit: două seturi cu aceeași medie au aceeași amplitudine.
  Corect: amplitudinea se calculează din minimul și maximul fiecărui set.
• Greșit: dispersia poate fi negativă.
  Corect: este medie de pătrate, deci nenegativă.
• Greșit: se folosește numitorul $n-1$ fără a verifica dacă este vorba de eșantion.
  Corect: se respectă convenția din enunț.

Înainte și după