Frecvențe absolute și relative

Frecvența absolută arată de câte ori apare o valoare sau o categorie în date. Dacă notele sunt $7;8;7;9;7$, nota $7$ apare de trei ori, deci are frecvența absolută $3$. Frecvențele tuturor valorilor adunate trebuie să dea numărul total al observațiilor: aici $3+1+1=5$.

Frecvența relativă arată partea din total. Pentru nota $7$, ea este $\frac{3}{5}=0,6$, adică $60\%$. O poți exprima ca fracție, număr zecimal sau procent. Când toate categoriile sunt complete și nu se suprapun, frecvențele relative adunate dau $1$ sau $100\%$.

Un tabel de frecvență are câte un rând pentru fiecare valoare și o coloană cu numărul aparițiilor. Este util când lista este lungă: vezi imediat ce apare cel mai des. Verifică să nu numeri de două ori aceeași observație. Dacă un rezultat nu se potrivește cu totalul, revino la lista inițială. Procentele rotunjite pot avea o sumă puțin diferită de $100\%$; valorile exacte rămân cele calculate din frecvențe.

Exemplu rezolvat. În lista roșu, albastru, roșu, verde, roșu, albastru:

1. Roșu apare de $3$ ori din $6$.
2. Frecvența relativă este $3/6=1/2=50\%$.
3. Albastru apare de $2$ ori, verde o dată; $3+2+1=6$ verifică tabelul.

Frecvențele ajută la compararea unor grupuri de mărimi diferite. Dacă în clasa A $6$ din $20$ de elevi au ochelari, iar în clasa B $9$ din $30$, frecvențele absolute sunt diferite, dar cele relative sunt egale: $\frac{6}{20}=\frac{9}{30}=0,3$, adică $30\%$ în ambele clase. Pe un tabel mare, valoarea cu frecvența cea mai mare este modul datelor, iar cu frecvența cea mai mică, valoarea cea mai rară.

Exemplu rezolvat. Notele a $20$ de elevi sunt $5;6;6;7;8;8;8;9;9;10;6;7;8;9;8;7;6;8;10;9$. Construiește tabelul de frecvență.

1. Valorile sunt $5;6;7;8;9;10$.
2. Numără aparițiile: $5$ apare o dată, $6$ de $4$ ori, $7$ de $3$ ori, $8$ de $6$ ori, $9$ de $4$ ori, $10$ de $2$ ori.
3. Verifică totalul: $1+4+3+6+4+2=20$.
4. Frecvențele relative sunt $0,05;0,2;0,15;0,3;0,2;0,1$, cu suma $1$.

Nota cu cea mai mare frecvență este $8$, apărută de $6$ ori, adică în $30\%$ din cazuri.

Pentru valori $x_i$ cu frecvențe absolute $n_i$, totalul este $N={\sum }_i{n}_i$, iar frecvența relativă $p_i=n_i/N$, când $N>0$. Frecvența cumulată adună aparițiile până la o valoare ordonată; ea ajută la localizarea medianei și a cuantilelor.

Exemplu rezolvat. Pentru valorile $1;2;3$ cu frecvențe $2;3;1$:

1. $N=6$.
2. Frecvența cumulată până la $2$ este $2+3=5$.
3. Cinci dintre cele șase observații sunt cel mult $2$.

Frecvențele relative sunt între $0$ și $1$, iar suma lor este $1$, dacă fiecare observație intră într-o singură categorie. Procentul se obține înmulțind frecvența relativă cu $100$. Exemplu rezolvat. Într-o clasă, calificativele $A$, $B$, $C$ apar de $4$, $5$, respectiv $1$ ori. Totalul este $N=10$. Frecvențele relative sunt $4/10=0,4$, $5/10=0,5$ și $1/10=0,1$, adică $40\%$, $50\%$, $10\%$. Frecvența cumulată până la $B$, dacă ordinea este $A;B;C$, este $4+5=9$ observații; nu confundăm $9$ cu procentul $90\%$.

Când valorile sunt numeroase sau continue, se grupează în clase (intervale): de exemplu, înălțimile elevilor se pun în clasele $[140;150)$, $[150;160)$, $[160;170)$. Clasele nu se suprapun, iar fiecare observație intră într-o singură clasă; frecvența clasei este numărul observațiilor din ea. Pentru $10$ elevi, avem două clase: $[140;150)$ are $4$ elevi (frecvența relativă $0,4$) și $[150;160)$ are $6$ elevi ($0,6$), iar $4+6=10$.

Frecvența absolută se potrivește când vrei să știi „câți” sunt, iar cea relativă când compari seturi de date de mărimi diferite. Procentele rotunjite pot da o sumă ușor diferită de $100\%$, de aceea se păstrează valorile exacte în calcule. O frecvență relativă nu poate fi negativă și nu poate depăși $1$: dacă un calcul dă $1,2$, a apărut o greșeală în numărătoare sau în total.

Frecvența cumulată crescătoare până la o valoare este suma frecvențelor valorilor mai mici sau egale cu ea. Pentru exemplul cu cele $20$ de note, frecvențele cumulate sunt $1;5;8;14;18;20$. Ultima este egală cu efectivul total. Ea permite să afli rapid câte note sunt cel mult $7$: $8$ note, adică $\frac{8}{20}=40\%$.

Exemplu rezolvat. Un tabel de frecvență are valorile $10;12;14$ cu frecvențele absolute $5;x;3$, iar frecvența relativă a lui $12$ este $0,2$. Află $x$.

1. Efectivul total este $N=5+x+3=8+x$.
2. Frecvența relativă a valorii $12$ este $x/N=0,2$, deci $x=0,2(8+x)$.
3. Rezultă $0,8x=1,6$, adică $x=2$.

Verificare: $N=10$, iar $\frac{2}{10}=0,2$. Frecvențele relative ale celorlalte valori sunt $0,5$ și $0,3$, iar suma celor trei este $1$.

Un tabel de frecvență bine făcut are titlu, numele variabilei, coloanele frecvență absolută, relativă și, dacă datele sunt ordonate, cumulată, precum și un rând de total. Rândul de total verifică munca: suma frecvențelor absolute este efectivul $N$, suma celor relative este $1$.

Greșeli frecvente

• Greșit: frecvența relativă este numărul brut de apariții.
  Corect: este raportul dintre apariții și total.
• Greșit: frecvențele absolute se adună la $100$.
  Corect: ele se adună la numărul observațiilor.
• Greșit: o observație intră în două categorii care ar trebui să fie separate.
  Corect: categoriile se stabilesc fără suprapuneri.

Înainte și după