Șiruri de numere reale

Un șir de numere reale este o funcție $a:{\mathbb{N}}^{\ast }\to \mathbb{R}$. Valoarea ei în $n$ se notează $a_n$ și se numește termenul de rang $n$, iar șirul se notează $(a_n{)}_{n\ge 1}$. Formula $a_n=1/n$ dă fiecare termen direct; o recurență, ca $a_{n+1}=a_n+2$ împreună cu $a_1=1$, îl determină din precedentul.

Șirul este monoton dacă termenii lui cresc mereu sau scad mereu, și mărginit dacă toți termenii se află între două numere fixe.

Exemplu rezolvat. Pentru $a_n=1/n$, $n\ge 1$:

1. $a_1=1$, $a_2=1/2$, $a_3=1/3$.
2. Toți termenii sunt pozitivi și cel mult $1$, deci șirul este mărginit.
3. Cum $1/(n+1)<1/n$, este strict descrescător.

Un șir se poate da prin termenul general $a_n=f(n)$, prin recurență (primul termen și o regulă care exprimă $a_{n+1}$ cu ajutorul termenilor precedenți), prin descriere (șirul numerelor prime $2;3;5;7;\dots$) sau prin tabel și grafic, format din puncte izolate $(n;a_n)$. O recurență de forma $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$ cere doi termeni inițiali; ea apare în lecția Șirul lui Fibonacci.

Șirul $(a_n)$ este crescător dacă $a_n\le a_{n+1}$ pentru orice $n$ și strict crescător dacă $a_n<a_{n+1}$ pentru orice $n$; analog se definesc șirurile descrescătoare. Monotonia se verifică prin semnul diferenței $a_{n+1}-a_n$ sau, pentru termeni pozitivi, prin compararea raportului $a_{n+1}/a_n$ cu $1$. Un șir poate fi monoton numai de la un rang încolo. Un șir constant este în același timp crescător și descrescător, dar nu este strict monoton. Pentru $a_n=2^n$ raportul $a_{n+1}/a_n=2>1$ arată că șirul este strict crescător, fără să scădem termeni.

Șirul este mărginit dacă există numerele $m$ și $M$ cu $m\le a_n\le M$ pentru toți indicii; condiția este echivalentă cu existența unui $K>0$ astfel încât $|a_n|\le K$ pentru orice $n$. Un șir crescător este mărginit inferior de $a_1$, iar un șir descrescător este mărginit superior de $a_1$. Un șir care nu este mărginit superior are, pentru orice număr $M$, un termen mai mare decât $M$; așa este $a_n=n$, unde orice termen de rang $n>M$ depășește $M$.

Un număr $\ell$ este limita șirului dacă în orice vecinătate a lui $\ell$ se află toți termenii șirului începând de la un anumit rang. Șirul este atunci convergent; schimbarea unui număr finit de termeni nu modifică limita. Orice șir convergent este mărginit, dar reciproca este falsă, deoarece șirul $(-1{)}^n$ este mărginit și nu are limită. Proprietatea lui Weierstrass spune că orice șir monoton și mărginit este convergent. Calculul limitelor este tratat în lecția Limita unui șir.

Exemplu rezolvat. Studiem $a_n=n/(n+1)$ pentru $n\ge 1$.

1. Rescriem $a_n=1-1/(n+1)$, deci $0<a_n<1$; șirul este mărginit.
2. Diferența este $a_{n+1}-a_n=1/((n+1)(n+2))>0$.
3. Șirul este strict crescător și mărginit superior, deci convergent.
4. Cum $1/(n+1)\to 0$, avem $\lim a_n=1$. Niciun termen nu este egal cu limita, deși termenii se apropie de ea.

Exemplu rezolvat. Studiem $a_n=n^2-6n$ pentru $n\ge 1$.

1. Diferența este $a_{n+1}-a_n=(n+1{)}^2-6(n+1)-n^2+6n=2n-5$.
2. Ea este negativă pentru $n=1$ și $n=2$ și pozitivă pentru $n\ge 3$. Termenii sunt $-5;-8;-9;-8;-5;0;7;\dots$, deci șirul nu este monoton, dar este strict crescător de la al treilea termen.
3. Cel mai mic termen este $a_3=-9$, deci $a_n\ge -9$ și șirul este mărginit inferior.
4. Pentru $n\ge 7$ avem $a_n=n(n-6)\ge n$, deci niciun număr nu este margine superioară.

Exemplu rezolvat. Șirul este dat prin $a_1=6$ și $a_{n+1}=\frac{a_n+4}{2}$. Arătăm că este descrescător și mărginit inferior.

1. Primii termeni sunt $6;5;4,5;4,25;\dots$
2. Demonstrăm prin inducție că $a_n>4$. Pentru $n=1$, $6>4$. Dacă $a_n>4$, atunci $a_{n+1}=\frac{a_n+4}{2}>\frac{4+4}{2}=4$.
3. Diferența este $a_{n+1}-a_n=\frac{4-a_n}{2}$, negativă, deoarece $a_n>4$. Șirul este strict descrescător și mărginit inferior de $4$, deci convergent.

Subiectele cer cea mai mică sau cea mai mare valoare a unui termen, o margine întreagă sau condiția ca un șir să fie monoton. Se studiază termenii șirului, nu graficul funcției reale asociate.

Problema 1. Pentru $a_n=\frac{4n-3}{n+1}$, cel mai mic număr întreg $M$ cu $a_n\le M$ pentru orice $n\ge 1$ este:

a) $1$ b) $3$ c) $4$ d) $5$ e) $7$ f) nu există

Scriem $a_n=4-\frac{7}{n+1}<4$, deci $M=4$ este margine superioară. Numărul $3$ nu este: $a_7=\frac{25}{8}>3$.

Răspuns corect: c). Variantele greșite: a) $1$ presupune că primul termen, $a_1=\frac{1}{2}$, rotunjit în sus, este cel mai mare, deși șirul crește; b) $3$ rezultă din termenii până la $a_6=3$; d) $5$ și e) $7$ sunt margini, dar nu cele mai mici; f) crede că un șir crescător nu poate fi mărginit.

Problema 2. Cel mai mic termen al șirului $a_n=n^2-7n$ este:

a) $-12,25$ b) $-12$ c) $-10$ d) $-6$ e) $0$ f) $3,5$

Funcția $x^2-7x$ are minimul în $x=3,5$, care nu este indice. Cei mai apropiați indici dau $a_3=a_4=-12$.

Răspuns corect: b). Variantele greșite: a) $-12,25$ este minimul funcției reale; c) $-10=a_2$ și d) $-6=a_1$ se opresc devreme; e) $0=a_7$ confundă minimul cu rădăcina $x=7$; f) $3,5$ este abscisa vârfului, nu o valoare a șirului.

Problema 3. Șirul $a_n=n^2+mn$ este strict crescător dacă și numai dacă:

a) $m>-3$ b) $m\ge -3$ c) $m>-2$ d) $m\ge 0$ e) $m>0$ f) $m<-3$

Diferența $a_{n+1}-a_n=2n+1+m$ crește cu $n$, deci cea mai mică valoare este la $n=1$: $3+m>0$.

Răspuns corect: a). Variantele greșite: b) pentru $m=-3$ avem $a_1=a_2=-2$, deci nu este strict; c) cere ca vârful parabolei să fie sub $1$, condiție suficientă, dar nu necesară; d) și e) cer ca $m$ să fie nenegativ sau pozitiv, deși $m=-1$ și $m=-2,5$ dau tot șiruri strict crescătoare; f) inversează inegalitatea.

Greșeli frecvente

• Greșit: șirul $(-1{)}^n$ converge deoarece este mărginit.
  Corect: termenii cu indici pari sunt $1$, iar cei cu indici impari sunt $-1$, deci nu există limită comună.
• Greșit: pentru recurența $a_{n+1}=2a_n$ nu trebuie dat primul termen.
  Corect: $a_1=1$ și $a_1=3$ produc șiruri diferite.
• Greșit: șirul $a_n=n^2-6n$ este crescător, fiindcă pătratul lui $n$ crește.
  Corect: $a_2=-8<a_1=-5$ și $a_3=-9<a_2$; șirul crește abia de la al treilea termen.
• Greșit: un șir crescător nu poate fi mărginit, fiindcă termenii urcă mereu.
  Corect: $a_n=n/(n+1)$ este crescător și $a_n<1$ pentru orice $n$.

Înainte și după