Șiruri și progresii — introducere

Un șir este o listă de numere reale numerotate $a_1;a_2;a_3;\dots$, câte unul pentru fiecare indice natural nenul. Îl dăm prin termenul general (de exemplu $a_n=2n+1$ dă direct orice termen) sau printr-o recurență, adică o regulă care calculează un termen din cel precedent și care are nevoie de primul termen.

Două tipuri de șiruri au regulă constantă între termenii vecini. Într-o progresie aritmetică se adaugă aceeași rație $r$: $a_{n+1}=a_n+r$. Într-o progresie geometrică se înmulțește cu aceeași rație $q$: $b_{n+1}=b_n\cdot q$. Șirul $3;5;7;9$ are rația $2$ adunată, iar șirul $3;6;12;24$ are rația $2$ înmulțită. Același prim termen și aceeași rație dau șiruri diferite, fiindcă operația repetată diferă.

Exemplu rezolvat. Arătăm că $a_n=2n+1$, $n\ge 1$, este progresie aritmetică.

1. Primii termeni sunt $a_1=3$, $a_2=5$, $a_3=7$.
2. Pentru orice $n$, diferența este $a_{n+1}-a_n=(2n+3)-(2n+1)=2$.
3. Diferența nu depinde de $n$, deci șirul este progresie aritmetică de rație $2$.

Un șir se poate defini prin termenul general, prin recurență sau printr-o descriere în cuvinte, ca „șirul numerelor pare pozitive”. Recurența cere și primul termen: $a_{n+1}=2a_n$ cu $a_1=1$ dă $1;2;4;8;\dots$, iar cu $a_1=3$ dă $3;6;12;24;\dots$. Recurența $a_{n+1}=a_n+3$ cu $a_1=2$ definește o progresie aritmetică de termen general $a_n=2+3(n-1)=3n-1$. Recurența $a_{n+1}=a_n+n$ cu $a_1=2$ dă $2;3;5;8;\dots$ și nu definește o progresie, fiindcă diferențele $1;2;3;\dots$ cresc.

Tipul unui șir se află calculând, în formă generală, diferența $a_{n+1}-a_n$ sau raportul $b_{n+1}/b_n$ (cu termeni nenuli). Trei diferențe egale nu ajung: regula trebuie să rămână valabilă pentru orice $n$. Termenii generali sunt $a_n=a_1+(n-1)r$ și $b_n=b_1{q}^{n-1}$; fiecare cere $n-1$ pași de la primul termen, iar lecțiile Progresii aritmetice și Progresii geometrice dau sumele și proprietățile lor. Un șir $a_n=pn+s$ este progresie aritmetică de rație $p$, iar un șir $b_n=c\cdot d^n$ cu $c,d\ne 0$ este progresie geometrică de rație $d$.

Pentru $k\ge 3$ numere, condiția de progresie privește vecinii: numerele sunt în progresie aritmetică dacă fiecare termen din interior este media aritmetică a vecinilor, și în progresie geometrică (cu termeni nenuli) dacă pătratul fiecărui termen din interior este produsul vecinilor. La trei numere $a;b;c$ aceste condiții sunt $2b=a+c$ și $b^2=ac$.

Reprezentarea grafică a unui șir este o mulțime de puncte izolate $(n;a_n)$. Pentru o progresie aritmetică ele se află pe o dreaptă, fiindcă variația este aceeași la fiecare pas. Pentru o progresie geometrică ele urmează o curbă tot mai înclinată dacă $b_1>0$ și $q>1$, sau tot mai aplatizată spre zero dacă $0<q<1$. Rația hotărăște comportarea: o progresie aritmetică crește pentru $r>0$, scade pentru $r<0$ și este constantă pentru $r=0$; una geometrică cu $b_1>0$ crește pentru $q>1$, scade pentru $0<q<1$, este constantă pentru $q=1$, iar pentru $q<0$ are semne alternate.

Progresia aritmetică descrie variații cu aceeași cantitate (un salariu mărit cu $200$ de lei în fiecare an), iar cea geometrică descrie variații în același raport (dobânda compusă).

Exemplu rezolvat. Stabilim tipul șirurilor $a_n=5n-2$, $b_n=3\cdot 2^n$ și $c_n=n^2$, pentru $n\ge 1$.

1. $a_{n+1}-a_n=5(n+1)-2-(5n-2)=5$ pentru orice $n$: progresie aritmetică de rație $5$.
2. $b_{n+1}/b_n=3\cdot 2^{n+1}/(3\cdot 2^n)=2$: progresie geometrică de rație $2$.
3. $c_{n+1}-c_n=2n+1$ depinde de $n$, iar $c_{n+1}/c_n=(n+1{)}^2/n^2$ depinde de $n$: termenii $1;4;9;16$ au diferențele $3;5;7$ și rapoartele $4;9/4;16/9$, deci $c_n$ nu este progresie.

Exemplu rezolvat. Depunem $2000$ lei pe trei ani, cu dobândă de $5\%$ pe an.

1. Cu dobândă simplă, dobânda este $5\%$ din $2000$, adică $100$ lei în fiecare an. Sumele după $0;1;2;3$ ani sunt $2000;2100;2200;2300$ lei, progresie aritmetică de rație $100$.
2. Cu dobândă compusă, suma se înmulțește în fiecare an cu $1,05$: $2000;2100;2205;2315,25$ lei, progresie geometrică de rație $1,05$.
3. După trei ani, planul compus are cu $15,25$ lei mai mult.

Problemele cer un termen al unui șir dat prin recurență sau valorile unui parametru pentru care trei numere formează o progresie. Se aplică definiția șirului și condițiile $2b=a+c$ și $b^2=ac$.

Problema 1. Șirul $(a_n)$ are $a_1=3$ și $a_{n+1}=3a_n-4$. Valoarea lui $a_4$ este:

a) $11$ b) $29$ c) $33$ d) $77$ e) $81$ f) $83$

Calculăm pe rând: $a_2=3\cdot 3-4=5$, $a_3=3\cdot 5-4=11$, $a_4=3\cdot 11-4=29$.

Răspuns corect: b). Variantele greșite: a) $11=a_3$ se oprește cu un pas înainte; c) $33=3a_3$ uită scăderea lui $4$ la ultimul pas; d) $77=3\cdot 3^3-4$ scade $4$ o singură dată, la sfârșit; e) $81=3^4$ ignoră complet termenul $-4$; f) $83=a_5$ face un pas în plus.

Problema 2. Suma pătratelor valorilor reale ale lui $x$ pentru care numerele $2;x;18$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice sau ai uneia geometrice este:

a) $36$ b) $72$ c) $100$ d) $136$ e) $172$ f) $272$

Progresia aritmetică dă $2x=2+18$, deci $x=10$. Progresia geometrică dă $x^2=2\cdot 18=36$, deci $x=6$ sau $x=-6$. Suma pătratelor este $100+36+36=172$.

Răspuns corect: e). Variantele greșite: a) $36$ reține o singură soluție, $x=6$; b) $72$ ia numai progresia geometrică; c) $100$ ia numai progresia aritmetică; d) $136=100+36$ pierde soluția $x=-6$; f) $272$ numără și $x=-10$, care nu verifică $2x=20$.

Caz particular. Dacă numerele $b-r;b;b+r$ sunt și în progresie geometrică, condiția $b^2=(b-r)(b+r)=b^2-r^2$ dă $r=0$. Cele trei numere sunt egale, iar rația geometrică este $q=1$.

Greșeli frecvente

• Greșit: șirul $2;4;8$ este aritmetic fiindcă este crescător.
  Corect: diferențele sunt $2$ și $4$; raportul constant $2$ îl face geometric.
• Greșit: creșterea anuală cu $10$ lei echivalează cu o creștere anuală de $10\%$.
  Corect: procentul se aplică unei baze care se modifică; de la $200$ lei, creșterea de $10\%$ este de $20$ lei.
• Greșit: din $a_{n+1}=2a_n$ rezultă șirul $2;4;8;\dots$.
  Corect: recurența nu dă primul termen; pentru $a_1=5$ se obține $5;10;20;\dots$.
• Greșit: șirul $c_n=n^2$ este progresie aritmetică, fiindcă termenii cresc regulat.
  Corect: diferențele $3;5;7;\dots$ sunt diferite, deci regula adunării aceluiași număr nu se respectă.

Înainte și după

Întrebări frecvente