Rapoarte și proporții

Un raport compară două cantități prin împărțire. Dacă într-o cutie sunt $6$ bile roșii și $4$ albastre, raportul bilelor roșii la cele albastre este $6:4$, adică $3:2$ după simplificare. Ordinea contează: raportul bilelor albastre la cele roșii este $4:6=2:3$. Dacă mărimile au unități, le aducem mai întâi la aceeași unitate atunci când comparăm cantități de același fel.

O proporție este egalitatea a două rapoarte: $2:3=4:6$. Poți verifica prin egalitatea produsului extremilor cu produsul mezilor: $2\cdot 6=3\cdot 4=12$. Aceasta funcționează pentru numitori nenuli. O proporție ajută când o cantitate crește în același fel cu alta, de exemplu când dublezi o rețetă păstrând aceleași cantități relative.

Ca să verifici dacă patru numere formează o proporție, simplifică fiecare raport și compară rezultatele: $4:6=2:3$ și $6:9=2:3$, deci $4:6=6:9$ este proporție. Raportul unei părți la întreg se poate scrie și ca fracție sau ca procent: dacă din $20$ de elevi $5$ au ochelari, raportul este $5:20=1:4$, adică $25\%$ din clasă.

Nu confunda raportul cu diferența. Dacă două lungimi sunt $6\mathrm{cm}$ și $4\mathrm{cm}$, diferența este $2\mathrm{cm}$, dar raportul primei la a doua este $6/4=3/2$, fără unitate după ce ambele lungimi au fost măsurate la fel.

Într-o proporție $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$, termenii $a$ și $d$ sunt extremii, iar $b$ și $c$ sunt mezii. Proprietatea fundamentală se scrie $ad=bc$, cu $b,d\ne 0$. Din ea rezultă proprietăți care se folosesc la calcul: $\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$ și $\frac{a}{a+b}=\frac{c}{c+d}$.

Exemplu rezolvat. Completează proporția $3:5=x:20$.

1. Observă că $5$ a fost înmulțit cu $4$ pentru a obține $20$.
2. Înmulțește și $3$ cu $4$: $x=12$.
3. Verifică: $3/5=12/20$ prin simplificarea cu $4$.

Răspuns: $x=12$.

Exemplu rezolvat. Pe o hartă cu scara $1:25000$, distanța dintre două localități este de $4\mathrm{cm}$. Care este distanța reală?

1. Scara $1:25000$ este raportul dintre o lungime de pe hartă și lungimea reală: $1\mathrm{cm}$ pe hartă înseamnă $25000\mathrm{cm}$ în realitate.
2. Din proporția $\frac{1}{25000}=\frac{4}{d}$ rezultă $d=4\cdot 25000=100000\mathrm{cm}$.
3. Transformăm: $100000\mathrm{cm}=1000\mathrm{m}=1\mathrm{km}$.

Răspuns: distanța reală este de $1\mathrm{km}$.

O proporție algebrică $a/b=c/d$ este echivalentă cu $ad=bc$ numai dacă numitorii sunt nenuli. Această condiție se păstrează când termenii conțin necunoscute, chiar dacă înmulțirea în cruce produce o ecuație polinomială definită pe o mulțime mai mare. Raportul a două mărimi de același fel este adimensional dacă unitățile au fost aduse la aceeași formă. Raportul dintre distanță și timp este însă o rată, cu unitate de viteză. O scară de reprezentare compară lungimea desenată cu cea reală; factorul de scară se aplică lungimilor, iar pentru arii trebuie ridicat la pătrat.

Un șir de rapoarte egale $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=k$ are proprietatea că suma numărătorilor raportată la suma numitorilor dă același $k$: $\frac{a+c+e}{b+d+f}=k$ (cu numitorii și suma lor nenuli). Pe ea se bazează împărțirea unui număr în părți direct proporționale cu alte numere date.

Exemplu rezolvat. Rezolvăm $\frac{x+1}{x-2}=\frac{3}{2}$.

1. Condiția de existență este $x\ne 2$.
2. Înmulțirea în cruce dă $2(x+1)=3(x-2)$.
3. Dezvoltăm: $2x+2=3x-6$, deci $x=8$.
4. Verificăm condiția și egalitatea: $(8+1)/(8-2)=9/6=3/2$. Soluția este admisă și satisface proporția inițială.

Exemplu rezolvat. Împarte numărul $96$ în părți direct proporționale cu $3$, $4$ și $5$.

1. Notăm părțile $a$, $b$, $c$ și scriem $\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}=k$, cu $a+b+c=96$.
2. Din proprietatea șirului de rapoarte egale: $k=\frac{a+b+c}{3+4+5}=\frac{96}{12}=8$.
3. Atunci $a=3k=24$, $b=4k=32$, $c=5k=40$.

Verificare: $24+32+40=96$, iar $24:3=32:4=40:5=8$.

Împărțirea în părți invers proporționale cu numerele date se reduce la cea directă: o parte invers proporțională cu $2$, $3$, $4$ este direct proporțională cu inversele lor $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{4}$, adică, după amplificare cu $12$, cu $6$, $4$ și $3$.

Exemplu rezolvat. Împarte $91$ în părți invers proporționale cu $2$, $3$ și $4$.

1. Părțile sunt direct proporționale cu $6$, $4$ și $3$, deci $\frac{a}{6}=\frac{b}{4}=\frac{c}{3}=k$.
2. Atunci $k=\frac{91}{6+4+3}=\frac{91}{13}=7$.
3. Părțile sunt $a=42$, $b=28$, $c=21$.

Verificare: $42+28+21=91$, iar produsele $2\cdot 42=84$, $3\cdot 28=84$, $4\cdot 21=84$ sunt egale, ceea ce confirmă proporționalitatea inversă.

Când scrii o proporție dintr-o problemă, mărimile de același fel trebuie să ocupe aceeași poziție în cele două rapoarte: fie ambele la numărător, fie ambele la numitor. Dacă amestecul de vopsea cere $3$ părți de alb la $2$ părți de albastru, pentru $12$ litri de alb scrii $\frac{\text{alb}}{\text{albastru}}$ în ambele rapoarte: $\frac{3}{2}=\frac{12}{x}$, de unde $x=8$ litri de albastru. Scrierea $\frac{3}{2}=\frac{x}{12}$ ar amesteca cele două mărimi și ar da un rezultat greșit, $18$ litri.

Exemplu rezolvat. Rezolvă proporția $\frac{2x-1}{3}=\frac{x+4}{2}$.

1. Numitorii sunt constanți și nenuli, deci nu apare nicio condiție de existență.
2. Înmulțirea în cruce dă $2(2x-1)=3(x+4)$.
3. Dezvoltăm: $4x-2=3x+12$, de unde $x=14$.

Verificare: $\frac{2\cdot 14-1}{3}=\frac{27}{3}=9$ și $\frac{14+4}{2}=9$.

Greșeli frecvente

• Greșit: raportul dintre $2$ m și $50$ cm este $2/50$.
  Corect: $2$ m $=200$ cm, deci raportul este $200/50=4$.
• Greșit: $\frac{x+1}{x-2}=\frac{3}{2}$ poate fi evaluată pentru $x=2$ după înmulțirea în cruce.
  Corect: condiția $x\ne 2$ rămâne obligatorie.
• Greșit: dacă $a:b=2:3$, atunci $a=2$ și $b=3$.
  Corect: raportul fixează numai relația dintre numere; de exemplu, $4:6$ și $20:30$ au același raport $2:3$.
• Greșit: la o hartă cu scara $1:25000$, $4$ cm reprezintă $4\cdot 25000=100000$ m.
  Corect: produsul $100000$ este în centimetri, deci distanța reală este $1$ km.

Înainte și după

Întrebări frecvente