Proporționalitate directă și inversă

Două mărimi sunt direct proporționale dacă, atunci când una se înmulțește cu un număr, cealaltă se înmulțește cu același număr. Dacă un kilogram de mere costă $4$ lei, două kilograme costă $8$ lei, iar trei kilograme costă $12$ lei, cât timp prețul pe kilogram rămâne neschimbat. Raportul preț:masă este constant: $4$ lei pentru un kilogram.

Două mărimi sunt invers proporționale dacă produsul lor rămâne constant. Pentru aceeași lucrare și aceeași viteză de lucru a fiecărei persoane, mai mulți lucrători pot termina în mai puțin timp. Dacă două persoane au nevoie de șase ore, trei persoane ar avea nevoie de patru ore în modelul ideal: $2\cdot 6=3\cdot 4=12$. În realitate, organizarea lucrului poate modifica durata.

Nu orice pereche de mărimi care crește împreună este direct proporțională. Trebuie să verifici raportul. Nici o scădere simultană nu dovedește proporționalitate inversă: acolo verifici produsul. Un tabel cu mai multe perechi ajută să vezi modelul.

Exemplu rezolvat. Două kilograme de mere costă $8$ lei. Cât costă cinci kilograme la același preț unitar?

1. Află prețul unui kilogram: $8:2=4$ lei.
2. Înmulțește pentru cinci kilograme: $5\cdot 4=20$ lei.
3. Verifică raportul: $8:2=20:5=4$.

Răspuns: $20$ lei.

Pentru mărimi direct proporționale $y=kx$, graficul este o dreaptă prin origine. Dacă $3$ kg de mere costă $18$ lei, prețul unui kilogram este $18:3=6$ lei; $5$ kg costă $5\cdot 6=30$ lei. Aceasta este regula de trei simplă directă. La proporționalitate inversă $y=k/x$, produsul $xy$ rămâne constant.

Exemplu rezolvat. Cu o viteză constantă, un biciclist parcurge $24$ km în $2$ ore. Câte ore îi trebuie pentru $60$ km? Dar dacă ar merge de două ori mai repede, în câte ore ar parcurge cei $24$ km?

1. Distanța și timpul sunt direct proporționale: viteza $24:2=12$ km/h rămâne constantă.
2. Pentru $60$ km, timpul este $60:12=5$ ore.
3. Pentru aceeași distanță de $24$ km, viteza și timpul sunt invers proporționale: produsul $12\cdot 2=24$ rămâne constant.
4. Cu viteza dublă, $24$ km/h, timpul este $24:24=1$ oră, adică jumătate din cel inițial.

Răspuns: $5$ ore pentru $60$ km; $1$ oră dacă viteza se dublează.

Un tabel te ajută să recunoști tipul: la proporționalitate directă, raportul dintre cele două linii este același pe fiecare coloană; la cea inversă, același este produsul. Constanta raportului se numește factor de proporționalitate. Dacă două mărimi nu respectă niciuna dintre aceste două reguli, ele nu sunt proporționale: înălțimea unui copil nu este proporțională cu vârsta lui.

Greșeli frecvente

• Greșit: două mărimi care cresc amândouă sunt întotdeauna direct proporționale.
  Corect: trebuie ca raportul să fie același; $1$ an și $2$ ani de vârstă nu dublează înălțimea.
• Greșit: dacă $3$ lucrători termină o lucrare în $12$ zile, $6$ lucrători identici au nevoie de $24$ de zile.
  Corect: în modelul cu productivitate egală și constantă, timpul este $3\cdot 12/6=6$ zile.
• Greșit: dacă $2$ kg costă $8$ lei, $5$ kg costă $8+(5-2)=11$ lei.
  Corect: prețul unitar este $8:2=4$ lei/kg, deci costul este $5\cdot 4=20$ lei.

Înainte și după