Proprietățile operațiilor aritmetice

La adunare poți schimba locul numerelor: $3+5=5+3=8$. Dacă pui laolaltă $3$ cuburi și $5$ cuburi, totalul nu depinde de grupa pe care o numeri prima. Poți și să grupezi numerele cum îți convine: la $6+9+4$ aduni întâi $6+4=10$, apoi $10+9=19$. Dacă aduni pe rând, $6+9=15$ și $15+4=19$, ajungi la același rezultat. Numărul $0$ nu schimbă suma: $7+0=7$, iar $0+7=7$.

Aceleași reguli le observi și la înmulțire. Dacă așezi $2$ rânduri de câte $4$ jetoane, sunt $2\cdot 4=8$ jetoane; dacă întorci tabla și vezi $4$ rânduri de câte $2$ jetoane, sunt tot $4\cdot 2=8$. Poți grupa și factorii: $2\cdot 3\cdot 4$ se calculează ca $6\cdot 4=24$ sau ca $2\cdot 12=24$. Un număr înmulțit cu $1$ rămâne același: $9\cdot 1=9$. Un număr înmulțit cu $0$ dă $0$: $9\cdot 0=0$.

Cu scăderea lucrurile stau altfel. Nu poți schimba locul numerelor: $12-5=7$, dar din $5$ nu poți lua $12$. Nici gruparea nu merge oricum: $20-(8-3)=20-5=15$, dar $(20-8)-3=12-3=9$. Când scazi, păstrezi ordinea în care sunt scrise numerele.

Regulile te ajută la calculul în minte. Cauți numerele care se completează până la zece sau până la o sută și le calculezi primele: la $4+8+6$ faci $4+6=10$ și apoi $10+8=18$. La $5\cdot 7\cdot 2$ faci întâi $5\cdot 2=10$, apoi $10\cdot 7=70$.

Exemplu rezolvat. Calculează în minte $8+17+2$ și $5\cdot 7\cdot 2$.

1. La adunare, caută numerele care fac zece: $8+2=10$.
2. Adaugă și celălalt număr: $10+17=27$.
3. La înmulțire, schimbă ordinea factorilor: $5\cdot 2\cdot 7$.
4. Calculează $5\cdot 2=10$, apoi $10\cdot 7=70$.

Răspuns: $27$ și $70$. Gruparea convenabilă a transformat fiecare calcul într-unul cu $10$.

Din clasa a V-a, proprietățile au nume. Literele $a$, $b$ și $c$ sunt numere naturale oarecare.

Adunarea are trei proprietăți:

• comutativitatea: $a+b=b+a$, de exemplu $14+36=36+14=50$;
• asociativitatea: $(a+b)+c=a+(b+c)$, de exemplu $(25+17)+3=25+(17+3)=45$;
• element neutru: numărul $0$, pentru că $a+0=0+a=a$.

Înmulțirea are proprietăți asemănătoare:

• comutativitatea: $a\cdot b=b\cdot a$;
• asociativitatea: $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$;
• element neutru: numărul $1$, pentru că $a\cdot 1=1\cdot a=a$.

În plus, $a\cdot 0=0\cdot a=0$. Scăderea și împărțirea nu au comutativitate și nici asociativitate, așa cum ai văzut la $12-5$ și la $20-(8-3)$.

Distributivitatea înmulțirii față de adunare leagă cele două operații: $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$. Un dreptunghi cu o latură de $3$ cm și cu cealaltă latură formată din segmentele de $4$ cm și $5$ cm are aria $3\cdot (4+5)=27$ cm${}^2$. Același rezultat se obține adunând ariile celor două dreptunghiuri mici: $3\cdot 4+3\cdot 5=12+15=27$ cm${}^2$. Proprietatea este valabilă și față de scădere: $a\cdot (b-c)=a\cdot b-a\cdot c$, când $b\ge c$.

Distributivitatea se aplică doar când înmulțirea stă în fața unei paranteze cu adunare sau scădere: fiecare termen din paranteză se înmulțește cu factorul. Fără paranteză, ordinea operațiilor decide: întâi înmulțirea, apoi adunarea.

Citită de la dreapta la stânga, aceeași egalitate înseamnă scoaterea factorului comun: $a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)$. Factorul comun este numărul care apare în fiecare termen al sumei.

Exemplul 1. Calculează în minte $7\cdot 103$ și $6\cdot 98$.

1. Scrie $103=100+3$, deci $7\cdot 103=7\cdot (100+3)=7\cdot 100+7\cdot 3$.
2. Calculează $700+21=721$.
3. Scrie $98=100-2$, deci $6\cdot 98=6\cdot (100-2)=6\cdot 100-6\cdot 2$.
4. Calculează $600-12=588$.

Răspuns: $721$ și $588$.

Exemplul 2. Calculează $37\cdot 24+37\cdot 76$ cu scoaterea factorului comun.

1. Factorul comun este $37$, deci suma devine $37\cdot (24+76)$.
2. Calculează paranteza: $24+76=100$.
3. Calculează produsul: $37\cdot 100=3700$.

Răspuns: $3700$. Fără factor comun ar fi trebuit să faci două înmulțiri mari și apoi o adunare. Verifică și prin calcul direct: $37\cdot 24=888$, $37\cdot 76=2812$, iar $888+2812=3700$.

Exemplul 3. Scrie suma $24+36$ ca produs. Numerele $24$ și $36$ se împart amândouă la $12$: $24=12\cdot 2$ și $36=12\cdot 3$. Deci $24+36=12\cdot 2+12\cdot 3=12\cdot (2+3)=12\cdot 5=60$. Aceeași idee stă la baza reducerii termenilor asemenea: $5a+3a=(5+3)\cdot a=8a$.

Exemplul 4. La o papetărie, $12$ caiete costă câte $8$ lei bucata, iar $12$ pixuri costă câte $7$ lei bucata. Cât costă toate?

1. Caietele costă $12\cdot 8$ lei, iar pixurile $12\cdot 7$ lei.
2. Suma este $12\cdot 8+12\cdot 7$, iar factorul comun este $12$.
3. Scoate-l: $12\cdot (8+7)=12\cdot 15=180$.

Răspuns: $180$ lei. Aceeași sumă se obține și dacă te gândești la $12$ truse, fiecare cu un caiet și un pix, la $15$ lei trusa.

Exemplul 5. Calculează $25\cdot 17\cdot 4$ și $15\cdot 99+15$.

1. La primul produs, folosește comutativitatea și asociativitatea: $25\cdot 17\cdot 4=(25\cdot 4)\cdot 17=100\cdot 17=1700$.
2. La a doua sumă, scrie $15=15\cdot 1$. Factorul comun este $15$, deci $15\cdot 99+15\cdot 1=15\cdot (99+1)$.
3. Calculează $15\cdot 100=1500$.

Răspuns: $1700$ și $1500$. Când un termen este chiar factorul comun, în paranteză rămâne $1$.

Proprietățile operațiilor de tipărit

Două fișe despre proprietățile operațiilor, pentru lucru după lecție. Fiecare fișă are șase sarcini scurte din lecție și o cheie cu răspunsurile.

• 

  Schimbă locul la adunare

  Deschide fișa
• 

  Grupează pentru calcul

  Deschide fișa

Greșeli frecvente

• Greșit: $12-5=5-12$, pentru că „se pot schimba numerele”.
  Corect: la scădere nu schimbi locul numerelor; $12-5=7$, iar din $5$ nu poți lua $12$.
• Greșit: $20-(8-3)=(20-8)-3=9$.
  Corect: prima expresie este $20-5=15$; la scădere nu poți grupa numerele cum vrei.
• Greșit: $9\cdot 0=9$, pentru că „$0$ nu schimbă nimic”.
  Corect: $9+0=9$, dar $9\cdot 0=0$.
• Greșit: $3\cdot (4+5)=3\cdot 4+5=17$.
  Corect: factorul $3$ înmulțește fiecare termen din paranteză, deci $3\cdot 4+3\cdot 5=12+15=27$.
• Greșit: $12:(6:2)=(12:6):2$.
  Corect: prima parte este $12:3=4$, a doua este $2:2=1$; la împărțire nu poți grupa numerele cum vrei.

Înainte și după