Estimarea și rotunjirea rezultatelor

Estimarea îți spune cam cât ar trebui să fie un rezultat. Dacă aduni $38$ și $21$, poți gândi „aproape $40$ plus aproape $20$”, deci te aștepți la un rezultat în jur de $60$. Calculul exact este $59$. Estimarea te ajută să observi o greșeală mare, de exemplu un răspuns de $95$.

Rotunjirea la zeci înlocuiește un număr cu multiplul de zece cel mai apropiat. Te uiți la cifra unităților. Dacă este $0;1;2;3$ sau $4$, păstrezi zecile; dacă este $5;6;7;8$ sau $9$, treci la zecea următoare. Astfel $42\approx 40$, iar $47\approx 50$. Numărul $45$ se rotunjește la $50$ după regula școlară.

Numărul rotunjit nu este mereu egal cu cel inițial. Semnul $\approx$ se citește „aproximativ egal”; scrii $47\approx 50$, nu $47=50$. Dacă numeri obiecte, răspunsul exact rămâne important: sunt $47$ de creioane, chiar dacă o estimare rapidă spune „aproape $50$”.

Pentru a decide dacă o sumă estimată este potrivită, compar-o cu numerele de la care ai pornit. Dacă aduni două numere pozitive, răspunsul exact trebuie să fie mai mare decât fiecare dintre ele.

Exemplu rezolvat. Estimează $38+21$ și calculează exact.

1. Rotunjim la zeci: $38\approx 40$ și $21\approx 20$.
2. Estimăm $40+20=60$.
3. Calculăm exact $38+21=59$.

Rezultatul exact este aproape de estimare, deci este plauzibil.

Estimarea și rotunjirea devin măsurabile prin eroare. Pentru un număr real $x$ și o aproximație $a$, eroarea absolută este $|x-a|$. Dacă $x\ne 0$, eroarea relativă este $\frac{|x-a|}{|x|}$, adesea exprimată în procente; ea arată cât de mare este greșeala față de mărimea măsurată. O eroare de $1\mathrm{cm}$ este neglijabilă la lungimea unei săli de $20\mathrm{m}$ și mare la lungimea unui creion de $15\mathrm{cm}$.

La rotunjirea la $k$ zecimale, eroarea absolută este cel mult $\frac{1}{2}\cdot 10^{-k}$; egalitatea apare la valorile aflate exact la mijloc, rotunjite după regula școlară în sus. Aproximarea poate fi prin lipsă (mai mică decât numărul) sau prin adaos (mai mare). Pentru $\pi$ avem $3,14<\pi <3,15$: valoarea $3,14$ este prin lipsă, iar $3,15$ prin adaos.

Exemplu rezolvat. Rotunjim $12,347$ la două zecimale și calculăm eroarea.

1. A treia zecimală este $7\ge 5$, deci mărim a doua zecimală: $12,35$.
2. Eroarea absolută este $|12,347-12,35|=0,003<0,005$.
3. Eroarea relativă este $\frac{0,003}{12,347}\approx 0,00024$, adică aproximativ $0,024\%$.

La o mărime măsurată ca $12,347\mathrm{m}$, aproximația $12,35\mathrm{m}$ este prin adaos.

Exemplu rezolvat. Compară calitatea aproximărilor $\pi \approx \frac{22}{7}$ și $\pi \approx 3,14$.

1. $\frac{22}{7}\approx 3,142857$, deci eroarea absolută este $|\pi -\frac{22}{7}|\approx 0,00126$.
2. Pentru $3,14$ eroarea absolută este $|\pi -3,14|\approx 0,00159$.
3. Aproximarea $\frac{22}{7}$ are eroarea mai mică.

Estimarea unui produs sau a unui cât se poate face prin încadrare între două valori simple: rotunjind fiecare factor prin lipsă obții o margine inferioară, iar rotunjind prin adaos obții una superioară. Rezultatul exact trebuie să stea între ele; dacă iese în afară, calculul conține o greșeală.

Exemplu rezolvat. Încadrează produsul $4,8\cdot 7,2$ între două numere întregi simple și compară cu valoarea exactă.

1. Prin lipsă: $4,8>4$ și $7,2>7$, deci produsul este mai mare decât $4\cdot 7=28$.
2. Prin adaos: $4,8<5$ și $7,2<8$, deci produsul este mai mic decât $5\cdot 8=40$.
3. Valoarea exactă este $4,8\cdot 7,2=34,56$, care se află între $28$ și $40$.

O estimare mai fină se obține rotunjind la cel mai apropiat întreg: $5\cdot 7=35$, foarte aproape de $34,56$. Un răspuns de $3,456$ sau de $345,6$ ar fi respins imediat de aceste margini, deoarece greșeala de virgulă schimbă ordinul de mărime. La un cât procedezi la fel, alegând numere care se împart ușor: $2380:48$ se estimează prin $2400:50=48$, iar câtul exact, $49,58\dots$, confirmă estimarea. Alegerea numerelor „prietenoase” (multipli de $10$, $50$, $100$) este ce face estimarea rapidă și sigură.

Eroarea relativă a lui $\frac{22}{7}$ este $\frac{0,00126}{\pi }\approx 0,0004$, adică aproximativ $0,04\%$. Când folosești mai multe aproximări într-un calcul, precizează precizia datelor și rotunjește rezultatul abia la final: o rotunjire făcută la fiecare pas adună erorile. Cifrele reținute într-un rezultat trebuie să fie compatibile cu precizia datelor inițiale.

Estimare și rotunjire de tipărit

Două fișe despre estimare și rotunjire, potrivite pentru exersare după lecție. Fiecare are șase sarcini și cheia pe ultima pagină.

• 

  Rotunjește la zeci

  Deschide fișa
• 

  Estimează sume la zeci

  Deschide fișa

Greșeli frecvente

• Greșit: A folosi $=$ în loc de $\approx$ pentru un rezultat rotunjit.
  Corect: aproximarea se notează cu $\approx$.
• Greșit: când rotunjești la sute, privești cifra unităților.
  Corect: la rotunjirea la sute se privește cifra zecilor.
• Greșit: A crede că estimarea trebuie să dea exact același număr ca operația completă.
  Corect: estimarea dă o valoare apropiată, nu obligatoriu identică.
• Greșit: rotunjirea intermediară nu influențează rezultatul final.
  Corect: dacă rotunjești $1,46$ și $1,46$ la o zecimală ($1,5$ fiecare) înainte de adunare, obții $3,0$, iar suma exactă rotunjită este $2,92\approx 2,9$.

Înainte și după