Raționalizarea numitorului

O fracție precum $\frac{3}{\sqrt{2}}$ are un radical la numitor. Raționalizarea schimbă forma fracției astfel încât numitorul să devină un număr rațional, fără a schimba valoarea fracției. Procedeul este același ca la amplificarea fracțiilor obișnuite: înmulțești numărătorul și numitorul cu aceeași expresie nenulă, deci înmulțești fracția cu $1$.

Pentru $\frac{a}{\sqrt{b}}$, cu $b>0$, amplifici cu $\sqrt{b}$:

Numitorul devine $b$, deoarece $(\sqrt{b}{)}^2=b$. Condiția $b>0$ asigură că radicalul există și că nu împărțim la zero. Dacă numitorul este de forma $c\sqrt{b}$, amplifici tot cu $\sqrt{b}$ și numitorul devine $cb$: $\frac{4}{3\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{3\cdot 2}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$. Dacă după amplificare fracția se poate simplifica, fă și acest pas.

Dacă $b$ este pătrat perfect, radicalul este un număr rațional și fracția se calculează direct: $\frac{3}{\sqrt{9}}=\frac{3}{3}=1$. La final verifică două lucruri: numitorul nu mai conține radicali, iar fracția este adusă la forma cea mai simplă. De exemplu, $\frac{10\sqrt{3}}{6}$ se simplifică la $\frac{5\sqrt{3}}{3}$.

De ce raționalizăm? Forma $\frac{\sqrt{2}}{2}$ se calculează ușor cu aproximarea $\sqrt{2}\approx 1,414$, care dă $0,707$; împărțirea $1:1,414$ ar fi mult mai greoaie. În plus, două expresii cu radicali se compară și se adună mai ușor când nu mai au radicali la numitor.

Când numitorul este o sumă sau o diferență cu un radical, de exemplu $2+\sqrt{3}$, folosești conjugata lui, adică $2-\sqrt{3}$. Produsul lor este $(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=2^2-(\sqrt{3}{)}^2=1$, pe baza formulei $(u+v)(u-v)=u^2-v^2$. Radicalul dispare, pentru că în produs rămân doar pătrate. Conjugata lui $\sqrt{5}-\sqrt{2}$ este $\sqrt{5}+\sqrt{2}$.

Exemplu rezolvat. Raționalizează $\frac{5}{\sqrt{3}}$.

1. Înmulțim sus și jos cu $\sqrt{3}$.
2. Obținem $\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}$.
3. Cum $\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=3$, rezultă $\frac{5\sqrt{3}}{3}$.

Verificare: am amplificat cu $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=1$, deci valoarea nu s-a schimbat; numeric, $5:1,732\approx 2,887$ și $5\cdot 1,732:3\approx 2,887$.

Exemplu rezolvat. Raționalizează $\frac{6}{\sqrt{12}}$.

1. Scoatem factorul de sub radical: $\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}$, deci fracția este $\frac{6}{2\sqrt{3}}=\frac{3}{\sqrt{3}}$.
2. Amplificăm cu $\sqrt{3}$: $\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$.

Dacă amplificăm direct cu $\sqrt{12}$, obținem $\frac{6\sqrt{12}}{12}=\frac{\sqrt{12}}{2}=\sqrt{3}$, același rezultat, dar cu calcule mai grele.

Exemplu rezolvat. Raționalizează $\frac{3}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$.

1. Conjugata numitorului este $\sqrt{5}+\sqrt{2}$; amplificăm cu ea.
2. Numitorul devine $(\sqrt{5}{)}^2-(\sqrt{2}{)}^2=5-2=3$.
3. Fracția este $\frac{3(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{3}=\sqrt{5}+\sqrt{2}$.

Regula conjugatei se aplică oricărui numitor de forma $\sqrt{a}\pm \sqrt{b}$ sau $a\pm \sqrt{b}$, cu $a,b>0$ și termenii diferiți:

Conjugata este nenulă, deoarece $\sqrt{a}\ne \sqrt{b}$ când $a\ne b$, deci amplificarea este permisă. O fracție și forma ei raționalizată au aceeași valoare pe tot domeniul de existență: condiția $a\ne b$ vine chiar din numitor.

Pentru un numitor cu mai mulți radicali, gruparea termenilor permite aplicarea succesivă a diferenței de pătrate. Prima amplificare poate reduce numărul radicalilor fără să-i elimine complet; atunci continuăm asupra numitorului rămas. Când radicalul este de ordin trei, diferența de pătrate nu mai ajunge. Pentru $\frac{a}{\sqrt[3]{b}}$ amplificăm cu $\sqrt[3]{b^2}$, ca să obținem $\sqrt[3]{b^3}=b$ la numitor. Pentru un numitor $u-v$ cu $u=\sqrt[3]{a}$ și $v=\sqrt[3]{b}$ folosim identitatea $(u-v)\left(u^2+uv+v^2\right)=u^3-v^3=a-b$.

Exemplu rezolvat. Raționalizăm $\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}$.

1. Grupăm $u=\sqrt{2}+\sqrt{3}$ și amplificăm cu $u-\sqrt{5}$. Acesta este nenul, deoarece $u^2=5+2\sqrt{6}>5$.
2. Numitorul devine $u^2-5=2\sqrt{6}$, deci fracția este $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2\sqrt{6}}$.
3. Amplificăm cu $\sqrt{6}$: numitorul devine $12$, iar numărătorul $\sqrt{12}+\sqrt{18}-\sqrt{30}$.
4. Scoatem factorii pătrați și obținem $\frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-\sqrt{30}}{12}$.

Verificare numerică: numitorul inițial este $1,414+1,732+2,236=5,382$, iar $1:5,382\approx 0,1858$; noua formă dă $\frac{3,464+4,243-5,477}{12}\approx 0,1858$.

Exemplu rezolvat. Calculăm $S=\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+2}$.

1. Raționalizăm fiecare termen; pentru toți, diferența radicandelor este $1$: $\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}-1}{2-1}=\sqrt{2}-1$.
2. Analog, $\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$ și $\frac{1}{\sqrt{3}+2}=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}=\sqrt{4}-\sqrt{3}=2-\sqrt{3}$.
3. În sumă se reduc termenii consecutivi: $S=(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(2-\sqrt{3})=2-1=1$.

Exemplu rezolvat. Raționalizăm $\frac{1}{\sqrt[3]{2}-1}$.

1. Notăm $u=\sqrt[3]{2}$ și $v=1$; amplificăm cu $u^2+u\cdot 1+1=\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1$.
2. Numitorul devine $u^3-1=2-1=1$.
3. Fracția este $\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1$; numeric, $1:0,26\approx 3,85$ și $1,587+1,260+1\approx 3,85$.

Exemplu rezolvat. Raționalizăm $\frac{4}{3-\sqrt{5}}$.

1. Conjugata numitorului este $3+\sqrt{5}$, iar numitorul devine $3^2-(\sqrt{5}{)}^2=9-5=4$.
2. Fracția este $\frac{4(3+\sqrt{5})}{4}=3+\sqrt{5}$.
3. Verificare numerică: $4:0,764\approx 5,236$ și $3+2,236=5,236$.

Regula generală este aceasta: pentru $a,b\in \mathbb{Q}$ și $c>0$, produsul $(a+b\sqrt{c})(a-b\sqrt{c})=a^2-b^{2}c$ este rațional, deci

Dacă $a^2=b^{2}c$, adică $a=\pm b\sqrt{c}$, numitorul este fie $0$ (fracția nu există), fie $2a$ (se simplifică direct, fără conjugată).

Raționalizarea se folosește și când radicalii conțin necunoscute. Pentru $x>0$, $\frac{x}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}$, iar pentru $x\ge 0$, $\frac{1}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}=\sqrt{x+1}+\sqrt{x}$, deoarece $(x+1)-x=1$. Condiția de existență se scrie înainte de amplificare: radicandul trebuie să fie nenegativ, iar numitorul nenul.

Exemplu rezolvat. Comparăm $\frac{1}{\sqrt{3}-1}$ și $\frac{2}{\sqrt{5}-1}$.

1. Raționalizăm primul număr: $\frac{\sqrt{3}+1}{3-1}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$.
2. Raționalizăm al doilea: $\frac{2(\sqrt{5}+1)}{5-1}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$.
3. Cum $\sqrt{3}<\sqrt{5}$, avem $\frac{\sqrt{3}+1}{2}<\frac{\sqrt{5}+1}{2}$; numeric, $1,37<1,62$.

Exemplu rezolvat. Calculăm $T=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}+\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$.

1. Primul termen: amplificăm cu $\sqrt{3}+1$ și obținem $\frac{(\sqrt{3}+1{)}^2}{3-1}=\frac{4+2\sqrt{3}}{2}=2+\sqrt{3}$.
2. Al doilea termen este inversul primului, deci este $\frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$.
3. Suma este $T=(2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})=4$: rezultatul este rațional, deși termenii sunt iraționali.

Același rezultat iese cu numitor comun: $T=\frac{(\sqrt{3}+1{)}^2+(\sqrt{3}-1{)}^2}{(\sqrt{3}{)}^2-1}=\frac{8}{2}=4$.

Exemplu rezolvat. Aflăm numerele raționale $a$ și $b$ pentru care $\frac{1}{2+\sqrt{3}}=a+b\sqrt{3}$.

1. Raționalizăm: $\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{4-3}=2-\sqrt{3}$.
2. Deci $a+b\sqrt{3}=2-\sqrt{3}$, adică $(a-2)+(b+1)\sqrt{3}=0$.
3. Deoarece $\sqrt{3}$ este irațional, o egalitate $p+q\sqrt{3}=0$ cu $p,q$ raționali impune $q=0$ (altfel $\sqrt{3}=-p/q$ ar fi rațional), apoi $p=0$. Rezultă $a=2$ și $b=-1$.

Greșeli frecvente

• Greșit: $\frac{1}{2+\sqrt{3}}$ devine $\frac{1}{4-3}=1$.
  Corect: și numărătorul se amplifică, deci rezultatul este $2-\sqrt{3}$.
• Greșit: $(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})=5+2=7$.
  Corect: termenii încrucișați se reduc și rămâne diferența $5-2=3$.
• Greșit: $\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ se raționalizează amplificând cu $\sqrt{2}+\sqrt{3}$.
  Corect: se amplifică cu conjugata $\sqrt{3}-\sqrt{2}$; amplificarea cu aceeași sumă dă la numitor $5+2\sqrt{6}$, un număr tot irațional.
• Greșit: $\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$, înmulțind doar numărătorul.
  Corect: se înmulțesc și numărătorul, și numitorul, altfel valoarea se schimbă: $\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Înainte și după