Logaritmi: definiție, proprietăți și formule, cu exemple

Q: Ce înseamnă lg și ln?

lg x este logaritmul în baza 10, iar ln x este logaritmul în baza e, unde e ≈ 2,718. Se calculează cu aceleași proprietăți ca orice alt logaritm.

Q: De ce nu există logaritmul unui număr negativ?

Pentru o bază a > 0, orice putere aˣ este un număr strict pozitiv. Nu există deci niciun exponent x pentru care aˣ să fie negativ sau zero, așa că logaritmul se definește numai pentru numere strict pozitive.

1pe scurtstratul 1 din 3 · rezumatul lecției

Pe scurt

Logaritmul indică exponentul necesar pentru a obține un număr dintr-o bază: $lo g_{a} b = x ⟺ a^{x} = b$ , cu $a > 0$ , $a \neq = 1$ , $b > 0$ . Astfel $lo g_{2} 8 = 3$ , deoarece $2^{3} = 8$ , iar $lo g_{3} \frac{1}{9} = - 2$ , deoarece $3^{- 2} = \frac{1}{9}$ . Condițiile asupra bazei și argumentului fac parte din definiție: nu există $lo g_{2} (- 4)$ , deoarece nicio putere a lui $2$ nu este negativă.

Din definiție rezultă $lo g_{a} 1 = 0$ , $lo g_{a} a = 1$ , $lo g_{a} a^{x} = x$ și $a^{l o g_{a} b} = b$ . Logaritmul în baza $10$ se notează $l g$ , iar cel în baza $e$ (numărul $e \approx 2, 718$ ) se notează $ln$ . De exemplu, $l g 1000 = 3$ .

Exemplu rezolvat. Calculează $lo g_{3} 81$ .

Căutăm exponentul $x$ cu $3^{x} = 81$ .
Scriem $81 = 3^{4}$ .
Egalăm exponenții și obținem $lo g_{3} 81 = 4$ .

Ce	Formula
Definiția	$lo g_{a} b = x ⟺ a^{x} = b$
Condițiile de existență	$a > 0$ , $a \neq = 1$ , $b > 0$
Valori particulare	$lo g_{a} 1 = 0$ , $lo g_{a} a = 1$ , $lo g_{a} a^{n} = n$
Identitatea fundamentală	$a^{l o g_{a} b} = b$
Logaritmul unui produs	$lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$
Logaritmul unui cât	$lo g_{a} \frac{x}{y} = lo g_{a} x - lo g_{a} y$
Logaritmul unei puteri	$lo g_{a} x^{n} = n lo g_{a} x$
Schimbarea bazei	$lo g_{a} b = \frac{lo g _{c} b}{lo g _{c} a}$
Inversarea bazei	$lo g_{a} b = \frac{1}{lo g _{b} a}$ , pentru $b \neq = 1$
Baze cu notație proprie	$l g x = lo g_{10} x$ , $ln x = lo g_{e} x$

2în detaliustratul 2 din 3 · pentru clasă și Bacalaureat

În detaliu

Pentru $x > 0$ și $y > 0$ , $lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$ , iar $lo g_{a} (x / y) = lo g_{a} x - lo g_{a} y$ . De asemenea, $lo g_{a} (x^{r}) = r lo g_{a} x$ pentru $x > 0$ și $r \in R$ . Cele trei reguli sunt scrierea cu logaritmi a regulilor puterilor: la produs se adună exponenții, la cât se scad, iar la putere se înmulțesc. Dacă exponentul este par, regula puterii se scrie cu modul, $lo g_{a} x^{2} = 2 lo g_{a} ∣ x ∣$ pentru $x \neq = 0$ , deoarece $x^{2} > 0$ chiar când $x < 0$ .

Schimbarea bazei dă $lo g_{a} b = \frac{lo g _{c} b}{lo g _{c} a}$ pentru o bază admisă $c$ . Din ea rezultă $lo g_{a} b \cdot lo g_{b} a = 1$ pentru $a, b > 0$ și diferite de $1$ , precum și $lo g_{a^{k}} b = \frac{1}{k} lo g_{a} b$ pentru $k \neq = 0$ . Funcția $lo g_{a} x$ este crescătoare dacă $a > 1$ și descrescătoare dacă $0 < a < 1$ . Prin urmare, $lo g_{a} x < lo g_{a} y$ implică $x < y$ la baza $a > 1$ și $x > y$ la baza $a \in (0; 1)$ , cu $x, y > 0$ .

Semnul unui logaritm se citește din poziția argumentului față de $1$ . Pentru $a > 1$ , $lo g_{a} x > 0$ dacă și numai dacă $x > 1$ ; pentru $0 < a < 1$ , $lo g_{a} x > 0$ dacă și numai dacă $0 < x < 1$ . Funcția fiind monotonă, ea este și injectivă: din $lo g_{a} x = lo g_{a} y$ rezultă $x = y$ . Tocmai de aceea o egalitate de logaritmi în aceeași bază se reduce la egalitatea argumentelor, dar numai după ce s-au verificat condițiile $x > 0$ și $y > 0$ .

Egalitatea $a^{l o g_{a} b} = b$ simplifică puterile al căror exponent este un logaritm. Dacă baza puterii este altă putere a lui $a$ , o scriem mai întâi în baza $a$ : $9^{l o g_{3} 5} = (3^{2})^{l o g_{3} 5} = (3^{l o g_{3} 5})^{2} = 5^{2} = 25$ . Pentru $5^{l o g_{5} 7}$ rezultatul este direct $7$ .

Operația de logaritmare înseamnă să aplici logaritmul ambilor membri ai unei egalități cu termeni pozitivi. Din $x = \frac{a ^{3} b}{c ^{2}}$ , cu $a, b, c > 0$ , obținem $l g x = 3 l g a + \frac{1}{2} l g b - 2 l g c$ . Procedeul transformă produsele și puterile în sume și produse cu numere.

Exemplu rezolvat. Rezolvă $lo g_{2} (x - 1) = 3$ .

Impunem $x - 1 > 0$ , deci $x > 1$ .
Trecem la forma exponențială: $x - 1 = 2^{3} = 8$ .
Obținem $x = 9$ , care respectă domeniul.

Exemplu rezolvat. Calculăm $lo g_{6} 9 + lo g_{6} 4$ și $lo g_{4} 8$ .

Prima sumă: $lo g_{6} 9 + lo g_{6} 4 = lo g_{6} (9 \cdot 4) = lo g_{6} 36 = 2$ , deoarece $6^{2} = 36$ .
Pentru $lo g_{4} 8$ trecem în baza $2$ : $lo g_{4} 8 = \frac{lo g _{2} 8}{lo g _{2} 4} = \frac{3}{2}$ .
Verificare: $4^{3/2} = (4)^{3} = 8$ .

Exemplu rezolvat. Dacă $l g 2 = a$ , exprimăm $l g 50$ cu ajutorul lui $a$ .

Scriem $50 = \frac{100}{2}$ .
Regula câtului dă $l g 50 = l g 100 - l g 2 = 2 - a$ .
Verificare numerică: $l g 2 \approx 0, 301$ și $l g 50 \approx 1, 699 = 2 - 0, 301$ .

Exemplu rezolvat. Comparăm $lo g_{2} 3$ și $lo g_{3} 5$ .

Luăm numărul de comparație $\frac{3}{2}$ . Avem $2^{3/2} = 8 \approx 2, 83 < 3$ , deci $lo g_{2} 3 > \frac{3}{2}$ .
Avem $3^{3/2} = 27 \approx 5, 20 > 5$ , deci $lo g_{3} 5 < \frac{3}{2}$ .
Rezultă $lo g_{2} 3 > lo g_{3} 5$ ; numeric, $1, 585 > 1, 465$ .

Logaritmul zecimal dă ordinul de mărime al unui număr: $l g x$ crește cu $1$ când $x$ se înmulțește cu $10$ . Un număr natural $N$ are $[l g N] + 1$ cifre, unde $[\cdot]$ este partea întreagă.

Exemplu rezolvat. Câte cifre are $2^{100}$ , dacă $l g 2 \approx 0, 30103$ ?

Regula puterii dă $l g 2^{100} = 100 l g 2 \approx 30, 103$ .
Partea întreagă este $[30, 103] = 30$ , deci numărul are $30 + 1 = 31$ de cifre.
Verificare directă: $2^{100} = 1267650600228229401496703205376$ are 31 de cifre.

Formula produsului nu înseamnă că logaritmul sumei se desparte în suma logaritmilor. De pildă, pentru argumentele $2$ și $3$ , avem $lo g_{a} (2 + 3) = lo g_{a} 5$ , pe când $lo g_{a} 2 + lo g_{a} 3 = lo g_{a} 6$ . Cele două rezultate sunt diferite pentru orice bază admisă.

3pentru admiterestratul 3 din 3 · pentru examene

Pentru admitere

Când necunoscuta este baza, condițiile $x > 0$ și $x \neq = 1$ fac parte din ecuație.

Problemă. Soluția ecuației $lo g_{x} 16 = 2$ este:

a) $4$ b) $- 4$ c) $\pm 4$ d) $8$ e) $2$ f) $256$

Trecem la forma exponențială: $x^{2} = 16$ , cu candidații $x = 4$ și $x = - 4$ . Baza trebuie să fie pozitivă și diferită de $1$ , deci $- 4$ se elimină. Rămâne $x = 4$ ; verificare: $lo g_{4} 16 = 2$ , fiindcă $4^{2} = 16$ . Răspunsul corect este a. Varianta b uită condiția bazei, iar c scrie ambele rădăcini ale ecuației $x^{2} = 16$ fără să verifice domeniul. Varianta d vine din $2 x = 16$ , adică din înmulțirea bazei cu exponentul. Varianta e apare când se observă $16 = 2^{4}$ și se alege baza $2$ , deși $lo g_{2} 16 = 4$ . Varianta f ridică la pătrat numărul $16$ în loc să extragă rădăcina.

Problemă. Valoarea expresiei $E = lo g_{2} 48 - lo g_{2} 3 + lo g_{3} 27$ este:

a) $\frac{11}{2}$ b) $\frac{9}{2}$ c) $7$ d) $\frac{35}{2}$ e) $4 + 3$ f) $\frac{3}{2}$

Primii doi termeni se grupează prin regula câtului: $lo g_{2} 48 - lo g_{2} 3 = lo g_{2} \frac{48}{3} = lo g_{2} 16 = 4$ . Al treilea: $27 = 3^{3/2}$ , deci $lo g_{3} 27 = \frac{3}{2}$ . Atunci $E = 4 + \frac{3}{2} = \frac{11}{2}$ , răspunsul a. Se poate verifica numeric: $lo g_{2} 48 \approx 5, 585$ , $lo g_{2} 3 \approx 1, 585$ , iar diferența lor este $4$ .

Variantele greșite provin din erori obișnuite. Varianta b ia $lo g_{3} 27 = \frac{1}{2}$ , adică uită că $lo g_{3} 27 = 3$ . Varianta c ignoră radicalul și ia $lo g_{3} 27 = 3$ . Varianta d înlocuiește $lo g_{2} \frac{48}{3}$ cu câtul $16$ , deci pierde logaritmul. Varianta e scrie $lo g_{3} 27 = lo g_{3} 27 = 3$ . Varianta f consideră că primii doi termeni se reduc între ei.

Greșeli frecvente

Greșit: $lo g_{a} (x + y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$ .
Corect: logaritmul sumei nu se descompune în sumă de logaritmi; regula este pentru produs, $lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$ .
Greșit: $lo g_{2} (- 8) = - 3$ , pentru că $2^{3} = 8$ .
Corect: argumentul trebuie să fie strict pozitiv, deci $lo g_{2} (- 8)$ nu există.
Greșit: la baza $\frac{1}{2}$ inegalitatea $lo g_{1/2} x < lo g_{1/2} y$ dă $x < y$ .
Corect: la baza dintre zero și unu sensul comparației se inversează, deci $x > y$ .
Greșit: $lo g_{a} x^{2} = 2 lo g_{a} x$ pentru orice $x \neq = 0$ .
Corect: pentru $x < 0$ , $lo g_{a} x^{2} = 2 lo g_{a} ∣ x ∣$ ; de pildă $lo g_{2} (- 3)^{2} = lo g_{2} 9 = 2 lo g_{2} 3$ , iar $lo g_{2} (- 3)$ nu există.

în contul tăuPremium

Testează-te pe această lecție

Lecția o citești aici, fără cont. Testele pe lecții și capitole sunt în cont, cu grile originale Didaxis și explicația fiecăreia: gratuit 10 grile pe zi, fără limită cu Premium, 49 de lei pe lună pentru fiecare copil.

Testează-te în cont

Înainte și după

ÎnainteRaționalizarea numitoruluiTransformarea fracțiilor cu radicali la numitor.CapitolulNumere reale, logică și calculToate lecțiile capitolului „Numere reale, logică și calcul”.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă lg și ln?

lg x este logaritmul în baza 10, iar ln x este logaritmul în baza e, unde e ≈ 2,718. Se calculează cu aceleași proprietăți ca orice alt logaritm.

De ce nu există logaritmul unui număr negativ?

Pentru o bază a > 0, orice putere aˣ este un număr strict pozitiv. Nu există deci niciun exponent x pentru care aˣ să fie negativ sau zero, așa că logaritmul se definește numai pentru numere strict pozitive.

Se poate desface logaritmul unei sume?

Nu. Proprietățile transformă un produs în sumă, nu o sumă în produs, iar logₐ(x + y) nu se simplifică în general. De exemplu, lg(10 + 10) = lg 20 ≈ 1,301, nu 2.

Surse și referințe

Programa școlară de matematică, clasa a X-a (OMEdC 4598/2004), p. PDF 5–10; rocnee.eu
Programa de bacalaureat Matematică M_mate-info (anexa 2 la OMEN 4430/2014), copie publicată de ISJ Vaslui, p. PDF 3–25; isj.vs.edu.ro
Regulamentul de admitere UNSTPB 2026, Anexa XI (programa de Algebră și analiză matematică), p. PDF 114–115; admitere.pub.ro
Subiectele și baremele Bacalaureatului 2026; subiecte2026.edu.ro

Desene: Redactare proprie (desen original)