Radicali

Rădăcina pătrată a unui număr nenegativ $a$ este numărul nenegativ care, ridicat la pătrat, dă $a$. Se scrie $\sqrt{a}$. De exemplu, $\sqrt{25}=5$, pentru că $5^2=25$, și $\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{3}{4}$. Semnul radicalului desemnează rădăcina nenegativă; ecuația $x^2=25$ are însă două soluții, $5$ și $-5$. Sub radicalul pătrat nu poate sta un număr negativ.

Numerele care nu sunt pătrate perfecte ale unor numere raționale au rădăcina irațională. De exemplu, $\sqrt{20}$ este între $4$ și $5$, fiindcă $4^2=16<20<25=5^2$. Forma $\sqrt{2}$ păstrează valoarea exactă, în timp ce $1,41$ este doar o aproximație.

Pentru $a,b\ge 0$ avem $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$, iar pentru $b>0$ avem $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$. Cu prima regulă scoatem factorii de sub radical: $\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt{2}$. Citită invers, ea introduce factorii sub radical: $5\sqrt{3}=\sqrt{25\cdot 3}=\sqrt{75}$. Radicalii care au aceeași parte irațională se adună ca niște termeni asemenea: $3\sqrt{2}+2\sqrt{2}=5\sqrt{2}$. Nu există o regulă asemănătoare pentru sumă, deci $\sqrt{a+b}\ne \sqrt{a}+\sqrt{b}$ pentru $a,b>0$.

Pentru orice număr real $x$, $\sqrt{x^2}=|x|$: dacă $x=-4$, atunci $\sqrt{(-4{)}^2}=\sqrt{16}=4$. Media geometrică a numerelor pozitive $a$ și $b$ este $\sqrt{ab}$; pentru $4$ și $9$ ea este $6$.

Radicalii apar în geometrie: diagonala unui pătrat cu latura de $3$ cm are lungimea $\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$ cm, adică aproximativ $4,24$ cm, iar un pătrat cu aria de $50$ cm² are latura $\sqrt{50}=5\sqrt{2}$ cm.

Pentru a aproxima $\sqrt{20}$ continuăm încadrarea cu zecimi: $4,4^2=19,36<20<20,25=4,5^2$, deci $4,4<\sqrt{20}<4,5$. Produsul a doi radicali se calculează sub un singur radical: $\sqrt{2}\cdot \sqrt{8}=\sqrt{16}=4$, iar câtul $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}=\sqrt{4}=2$. În sume și diferențe se scot mai întâi factorii: $\sqrt{48}-\sqrt{27}=4\sqrt{3}-3\sqrt{3}=\sqrt{3}$.

Pentru a compara două numere cu radicali, le aducem sub același radical. Ca să vedem care este mai mare, $3\sqrt{2}$ sau $2\sqrt{5}$, introducem factorii: $3\sqrt{2}=\sqrt{18}$ și $2\sqrt{5}=\sqrt{20}$, iar $18<20$.

Exemplu rezolvat. Simplifică $\sqrt{50}+\sqrt{8}$.

1. Descompunem $50=25\cdot 2$ și $8=4\cdot 2$.
2. Obținem $\sqrt{50}=5\sqrt{2}$ și $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$.
3. Adunăm coeficienții: $5\sqrt{2}+2\sqrt{2}=7\sqrt{2}$.

Exemplu rezolvat. Compară $3\sqrt{2}$ cu $2\sqrt{5}$.

1. Introducem factorii sub radical: $3\sqrt{2}=\sqrt{9\cdot 2}=\sqrt{18}$ și $2\sqrt{5}=\sqrt{4\cdot 5}=\sqrt{20}$.
2. Cum $18<20$ și radicalul pătrat este crescător, $\sqrt{18}<\sqrt{20}$.
3. Deci $3\sqrt{2}<2\sqrt{5}$; aproximativ, $4,24<4,47$.

Pentru un ordin natural $n\ge 2$, condițiile depind de paritate. La ordin par, radicandul este nenegativ, iar valoarea radicalului este nenegativă: $\sqrt[n]{a}$ este unicul număr $b\ge 0$ cu $b^n=a$. La ordin impar, orice radicand real este admis și semnul se păstrează: $\sqrt[3]{-8}=-2$, deoarece $(-2{)}^3=-8$. De aceea

Pentru $a,b\ge 0$ (iar la ordin impar, pentru orice $a,b$ reali), $m,n\ge 2$ naturale, se folosesc regulile:

• $\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}$ și $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$, cu $b\ne 0$;
• ${\left(\sqrt[n]{a}\right)}^m=\sqrt[n]{a^m}$;
• $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}$;
• $\sqrt[nk]{a^{mk}}=\sqrt[n]{a^m}$ pentru $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, adică ordinul și exponentul pot fi amplificate sau simplificate cu același număr.

Ultima regulă servește la compararea și la înmulțirea radicalilor de ordine diferite, aducându-i la același ordin: ordinul comun este un multiplu comun al ordinelor. Radicalii de același ordin se adună numai dacă sunt asemenea: $\sqrt[3]{54}-\sqrt[3]{2}=3\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{2}=2\sqrt[3]{2}$. Un radical dublu se simplifică atunci când numărul de sub radical este pătratul unei sume de radicali: $3+2\sqrt{2}={\left(1+\sqrt{2}\right)}^2$, deci $\sqrt{3+2\sqrt{2}}=1+\sqrt{2}$. Ecuațiile cu radicali, în care necunoscuta apare sub radical, au lecția lor, iar un exemplu scurt apare mai jos.

Radicalii rezolvă ecuațiile de forma $x^n=a$. Pentru $n$ impar există o singură soluție reală, $x=\sqrt[n]{a}$, oricare ar fi $a$: din $x^3=-27$ rezultă $x=-3$. Pentru $n$ par și $a>0$ există două soluții, $x=\pm \sqrt[n]{a}$: din $x^4=16$ rezultă $x=\pm 2$. Pentru $n$ par și $a<0$ nu există nicio soluție reală, deci $x^2=-4$ nu are soluții.

Când sub radical apare o expresie cu necunoscută, condițiile de existență se scriu înainte de orice calcul. Radicalii de ordin par cer radicandul nenegativ, radicalii de ordin impar nu impun nicio condiție, iar numitorul trebuie să fie nenul. De asemenea, forma lui $\sqrt{(x-5{)}^2}$ depinde de poziția lui $x$ față de $5$: este $x-5$ dacă $x\ge 5$ și $5-x$ dacă $x<5$. Pentru $x=3$, de pildă, se obține $\sqrt{(3-5{)}^2}=\sqrt{4}=2=5-3$.

Exemplu rezolvat. Determinăm valorile reale ale lui $x$ pentru care $\frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt[3]{x-1}}$ are sens.

1. Radicalul de ordin $2$ cere $x+2\ge 0$, adică $x\ge -2$.
2. Radicalul de ordin $3$ există pentru orice $x$, dar este la numitor, deci $\sqrt[3]{x-1}\ne 0$, adică $x\ne 1$.
3. Mulțimea valorilor este $[-2;1)\cup (1;+\infty )$.

Exemplu rezolvat. Comparăm $\sqrt[3]{4}$ și $\sqrt{2}$.

1. Ordinele sunt $3$ și $2$; ordinul comun este $6$.
2. Amplificăm: $\sqrt[3]{4}=\sqrt[6]{4^2}=\sqrt[6]{16}$ și $\sqrt{2}=\sqrt[6]{2^3}=\sqrt[6]{8}$.
3. Cum $16>8$, rezultă $\sqrt[3]{4}>\sqrt{2}$; într-adevăr, $1,59>1,41$.

Exemplu rezolvat. Calculăm $\sqrt[3]{54}-\sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{2}$.

1. Scoatem factorii cubici: $54=27\cdot 2$, deci $\sqrt[3]{54}=3\sqrt[3]{2}$; $16=8\cdot 2$, deci $\sqrt[3]{16}=2\sqrt[3]{2}$.
2. Expresia devine $3\sqrt[3]{2}-2\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{2}$.
3. Adunăm coeficienții: $(3-2+1)\sqrt[3]{2}=2\sqrt[3]{2}$.

Exemplu rezolvat. Rezolvăm $\sqrt{x+1}=x-1$.

1. Radicalul cere $x\ge -1$, iar membrul drept trebuie să fie nenegativ, deci $x\ge 1$.
2. Pătrăm: $x+1=x^2-2x+1$, adică $x(x-3)=0$.
3. Candidații sunt $0$ și $3$. Valoarea $0$ nu respectă condiția $x\ge 1$.
4. Pentru $x=3$, $\sqrt{4}=2=3-1$. Soluția unică este $x=3$.

Problemă. Mulțimea soluțiilor inecuației $\sqrt{x^2-4x+4}\le 3$ este:

a) $[-1;5]$ b) $(-\infty ;5]$ c) $[-5;5]$ d) $(-1;5)$ e) $[-3;3]$ f) $\{-1;5\}$

Radicandul este $x^2-4x+4=(x-2{)}^2$, iar $\sqrt{(x-2{)}^2}=|x-2|$ pentru orice $x$ real. Inecuația devine $|x-2|\le 3$, adică $-3\le x-2\le 3$. Adunăm $2$ în toți membrii: $-1\le x\le 5$. Verificare: pentru $x=-1$ și $x=5$ obținem $|-3|=3$ și $|3|=3$, iar pentru $x=2$ radicalul este $0\le 3$. Răspunsul corect este a.

Variantele greșite vin din greșeli tipice. Varianta b apare când se scrie $\sqrt{(x-2{)}^2}=x-2$, fără modul, și se păstrează doar $x-2\le 3$. Varianta c apare când limita stângă se calculează cu semnul greșit, $-3-2=-5$. Varianta d înlocuiește inegalitatea nestrictă cu una strictă, deși la $x=-1$ și $x=5$ radicalul este chiar $3$. Varianta e este soluția inecuației $|x|\le 3$, adică se uită translația cu $2$. Varianta f confundă inecuația cu ecuația $|x-2|=3$.

Problemă. Valoarea expresiei $E=\sqrt{7+4\sqrt{3}}-\sqrt{7-4\sqrt{3}}$ este:

a) $4$ b) $\sqrt{8\sqrt{3}}$ c) $2\sqrt{3}$ d) $-2\sqrt{3}$ e) $\sqrt{3}$ f) $4\sqrt{3}$

Observăm că $7+4\sqrt{3}=4+3+2\cdot 2\cdot \sqrt{3}={\left(2+\sqrt{3}\right)}^2$ și, la fel, $7-4\sqrt{3}={\left(2-\sqrt{3}\right)}^2$. Cum $2-\sqrt{3}>0$, avem $\sqrt{7-4\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$, deci $E=\left(2+\sqrt{3}\right)-\left(2-\sqrt{3}\right)=2\sqrt{3}$, răspunsul c. Verificare numerică: $\sqrt{7+4\sqrt{3}}\approx 3,732$, $\sqrt{7-4\sqrt{3}}\approx 0,268$, iar diferența lor este $3,464\approx 2\sqrt{3}$.

Celelalte variante: a se obține dacă se ia $\sqrt{7-4\sqrt{3}}=\sqrt{3}-2$ (un radical negativ) sau dacă se adună radicalii în loc să se scadă. Varianta b rezultă din eroarea $\sqrt{A}-\sqrt{B}=\sqrt{A-B}$. Varianta d inversează ordinea scăderii. Valorile $\sqrt{3}\approx 1,73$ și $4\sqrt{3}\approx 6,93$ din e și f nu coincid cu valoarea numerică $E\approx 3,46$.

Greșeli frecvente

• Greșit: $\sqrt{(-5{)}^2}=-5$.
  Corect: radicalul principal este nenegativ, deci $\sqrt{25}=5$.
• Greșit: $\sqrt{9+16}=3+4=7$.
  Corect: radicalul nu se distribuie peste sumă; $\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.
• Greșit: $\sqrt{50}=25\sqrt{2}$, pentru că $25\cdot 2=50$.
  Corect: sub radical iese rădăcina pătratului perfect: $\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}$.
• Greșit: $\sqrt[4]{x^4}=x$ pentru orice $x$ real.
  Corect: la ordin par se obține modulul, $\sqrt[4]{x^4}=|x|$; de pildă $\sqrt[4]{(-2{)}^4}=\sqrt[4]{16}=2$.
• Greșit: $\sqrt{x^2}=x$ și apoi „$x$ este pozitiv” fără justificare.
  Corect: $\sqrt{x^2}=|x|$ și se cercetează separat $x\ge 0$ și $x<0$.

Înainte și după

Întrebări frecvente