Puteri cu exponent întreg și rațional

Știi că $2^3=8$: exponentul natural arată câți factori egali înmulțești. Uită-te ce se întâmplă când exponentul scade din unu în unu: $2^3=8$, $2^2=4$, $2^1=2$, $2^0=1$. La fiecare pas rezultatul se împarte la $2$, deci următorii termeni sunt $\frac{1}{2}$ și $\frac{1}{4}$. Din acest șir, ca regulile de calcul să rămână valabile și când exponentul este zero sau negativ, se definesc, pentru $a\ne 0$ și $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$:

De exemplu, $2^{-3}=\frac{1}{8}$ și $10^{-3}=0,001$. Semnul minus al exponentului cere inversul puterii, nu un rezultat negativ. Pentru fracții, inversul se obține prin inversarea fracției: ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{-2}={\left(\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{9}{4}$.

Regulile de la puterile cu exponent natural rămân valabile pentru exponenți întregi și baze reale nenule:

• $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ și $a^m:a^n=a^{m-n}$, acum pentru orice $m,n\in \mathbb{Z}$;
• $(a^m{)}^n=a^{mn}$;
• $(ab{)}^n=a^n{b}^n$ și ${\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}$.

Regula împărțirii nu mai cere $m\ge n$: $2^3:2^5=\frac{8}{32}=\frac{1}{4}=2^{3-5}=2^{-2}$.

Înainte de calcul, uită-te la baza puterii și la paranteze: $(-2{)}^{-2}=\frac{1}{(-2{)}^2}=\frac{1}{4}$, pe când $-2^{-2}=-\frac{1}{4}$. Exponentul negativ nu schimbă semnul bazei: $(-2{)}^{-3}=-\frac{1}{8}$, deoarece $(-2{)}^3=-8$.

În clasa a VII-a baza poate fi orice număr real nenul, de exemplu ${\left(\sqrt{3}\right)}^{-2}=\frac{1}{{\left(\sqrt{3}\right)}^2}=\frac{1}{3}$. Pentru baza $2$, exponenții negativi mai mici dau puteri mai mici: $2^{-5}<2^{-2}$, adică $\frac{1}{32}<\frac{1}{4}$. Cu cât numitorul $2^n$ este mai mare, cu atât inversul lui este mai mic.

Puterile lui $10$ cu exponent negativ descriu numerele mici. În $10^{-n}$ cifra $1$ se află pe locul $n$ după virgulă. Un număr se scrie în notație științifică sub forma $c\cdot 10^n$, cu $1\le c<10$ și $n\in \mathbb{Z}$: $4500000=4,5\cdot 10^6$ și $0,00032=3,2\cdot 10^{-4}$. Un milimetru are $10^{-3}$ metri, iar $0,0000005$ m înseamnă $5\cdot 10^{-7}$ m.

Exemplu rezolvat. Calculează $3^{-2}\cdot 3^4$.

1. Aceeași bază: exponenții se adună, $-2+4=2$.
2. Obținem $3^2=9$.

Verificare: $\frac{1}{9}\cdot 81=9$.

Exemplu rezolvat. Calculează ${\left(\frac{2}{5}\right)}^{-3}$.

1. Inversăm fracția și schimbăm semnul exponentului: ${\left(\frac{5}{2}\right)}^3$.
2. Ridicăm la cub numărătorul și numitorul: $\frac{5^3}{2^3}=\frac{125}{8}$.

Exemplu rezolvat. Calculează ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-3}\cdot 2^{-5}$.

1. Scriem ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-3}=2^3$.
2. Produsul este $2^3\cdot 2^{-5}=2^{-2}$.
3. Rezultatul este $\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}$.

Exemplu rezolvat. Efectuează $\left(3\cdot 10^{-2}\right)\cdot \left(4\cdot 10^5\right)$ și scrie rezultatul în notație științifică.

1. Grupăm: $(3\cdot 4)\cdot \left(10^{-2}\cdot 10^5\right)=12\cdot 10^3$.
2. Cum $12=1,2\cdot 10$, rezultatul este $1,2\cdot 10^4$, adică $12000$.

Pentru o bază pozitivă $a$, puterea cu exponent rațional se definește prin

Definiția este firească: regula $(a^r{)}^s=a^{rs}$ cere ca ${\left(a^{1/n}\right)}^n=a^1=a$, deci $a^{1/n}$ este tocmai rădăcina de ordin $n$ a lui $a$. Așadar $a^{1/2}=\sqrt{a}$, $8^{2/3}={\left(\sqrt[3]{8}\right)}^2=4$ și $x^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{x}}$. Exponentul rațional negativ combină cele două definiții: $a^{-m/n}=\frac{1}{a^{m/n}}$, de pildă $125^{-2/3}=\frac{1}{{\left(\sqrt[3]{125}\right)}^2}=\frac{1}{25}$. Puterea unui număr pozitiv este întotdeauna pozitivă, oricare ar fi exponentul rațional. Baza $0$ se acceptă numai la exponent pozitiv, iar atunci $0^r=0$; $0^{-1}$ și $0^0$ nu au sens. Valoarea nu depinde de felul în care este scrisă fracția: $a^{2/4}=a^{1/2}$. Baza trebuie să fie pozitivă, altfel regulile se contrazic: $(-8{)}^{1/3}$ ar fi $-2$, dar $(-8{)}^{2/6}=\sqrt[6]{64}=2$, deși $\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$.

Pentru $a,b>0$ și $r,s\in \mathbb{Q}$ se păstrează toate regulile exponenților:

• $a^r{a}^s=a^{r+s}$ și $a^r:a^s=a^{r-s}$;
• $(a^r{)}^s=a^{rs}$;
• $(ab{)}^r=a^r{b}^r$ și ${\left(\frac{a}{b}\right)}^r=\frac{a^r}{b^r}$.

Pentru un număr real $x$ irațional, $a^x$ se definește cu aproximări raționale ale lui $x$ (de pildă, $2^{\sqrt{2}}$ se află între $2^{1,4}$ și $2^{1,5}$), iar aceleași reguli rămân valabile. Rezolvarea ecuațiilor în care necunoscuta este exponent se face în lecția despre ecuații exponențiale; aici contează că, pentru $a>0$ și $a\ne 1$, din $a^r=a^s$ rezultă $r=s$.

Compararea puterilor are două cazuri. Dacă $a>1$, atunci $r<s$ implică $a^r<a^s$. Dacă $0<a<1$, atunci $r<s$ implică $a^r>a^s$. La același exponent pozitiv, baza mai mare dă puterea mai mare, iar la exponent negativ ordinea se inversează. Trecerea între radicali și puteri ușurează calculele: $\sqrt[3]{x^2}=x^{2/3}$, iar produsul radicalilor de ordine diferite se calculează adunând exponenții fracționari.

Exemplu rezolvat. Calculăm $16^{3/4}\cdot 16^{-1/2}$.

1. Baza este pozitivă, deci putem aduna exponenții.
2. Obținem $16^{3/4-1/2}=16^{1/4}$.
3. Calculăm $\sqrt[4]{16}=2$, deoarece $2^4=16$.
4. Separat, $16^{3/4}=8$ și $16^{-1/2}=\frac{1}{4}$; produsul $8\cdot \frac{1}{4}=2$ confirmă calculul.

Exemplu rezolvat. Calculăm ${\left(\frac{27}{8}\right)}^{-2/3}$.

1. Inversăm baza și schimbăm semnul exponentului: ${\left(\frac{8}{27}\right)}^{2/3}$.
2. Extragem rădăcina de ordin $3$: $\sqrt[3]{\frac{8}{27}}=\frac{2}{3}$.
3. Ridicăm la pătrat: ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}$.

Exemplu rezolvat. Simplificăm, pentru $x>0$, expresia $\frac{x^{3/2}\cdot x^{-1/2}}{x^{1/4}}$.

1. La numărător adunăm exponenții: $\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1$, deci numărătorul este $x$.
2. La împărțire scădem exponenții: $1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$.
3. Rezultatul este $x^{3/4}=\sqrt[4]{x^3}$.

Pentru a compara două puteri cu exponenți raționali diferiți și baze diferite, ridicăm ambele numere la o putere naturală care elimină numitorii exponenților. Ridicarea la o putere naturală nenulă păstrează ordinea numerelor pozitive, deci rezultatul comparației rămâne valabil pentru numerele inițiale.

Exemplu rezolvat. Comparăm $2^{1/2}$ și $3^{1/3}$.

1. Cel mai mic multiplu comun al numitorilor $2$ și $3$ este $6$; ridicăm ambele numere la puterea $6$.
2. Obținem ${\left(2^{1/2}\right)}^6=2^3=8$ și ${\left(3^{1/3}\right)}^6=3^2=9$.
3. Cum $8<9$ și ambele numere sunt pozitive, rezultă $2^{1/2}<3^{1/3}$.

Exemplu rezolvat. Scriem $\sqrt[3]{4}\cdot \sqrt{2}$ ca un singur radical.

1. Trecem la puteri ale lui $2$: $\sqrt[3]{4}=2^{2/3}$ și $\sqrt{2}=2^{1/2}$.
2. Adunăm exponenții: $\frac{2}{3}+\frac{1}{2}=\frac{7}{6}$, deci produsul este $2^{7/6}$.
3. Revenim la radical: $2^{7/6}=\sqrt[6]{2^7}=\sqrt[6]{128}=2\sqrt[6]{2}$.

Problemă. Soluția ecuației $9^x=27^{x-1}$ este:

a) $1$ b) $-3$ c) $3$ d) $\frac{3}{2}$ e) $0$ f) $2$

Scriem ambii membri cu baza $3$: $9^x=3^{2x}$ și $27^{x-1}=3^{3(x-1)}$. Funcția exponențială cu baza $3>1$ este injectivă, deci exponenții sunt egali: $2x=3x-3$, de unde $x=3$. Verificare: $9^3=729=27^2$. Răspunsul corect este c.

Variantele greșite vin din greșeli reale. Varianta a se obține scriind $27^{x-1}=3^{3x-1}$, adică înmulțind cu $3$ doar pe $x$: $2x=3x-1$. Varianta b vine dintr-o greșeală de semn, $2x=3x+3$. Varianta d apare când se împart bazele și exponenții separat: $\frac{x}{x-1}=3$, deci $x=3x-3$ și $x=\frac{3}{2}$. Valorile $0$ și $2$ nu verifică egalitatea: $9^0=1\ne \frac{1}{27}$ și $9^2=81\ne 27$.

Problemă. Valoarea expresiei $E=(0,25{)}^{-1/2}+27^{2/3}-{\left(\frac{1}{16}\right)}^{-3/4}$ este:

a) $-1$ b) $\frac{3}{2}$ c) $3$ d) $\frac{1}{2}$ e) $12$ f) $19$

Calculăm pe rând fiecare putere. Prima: $(0,25{)}^{-1/2}={\left(\frac{1}{4}\right)}^{-1/2}=4^{1/2}=2$. A doua: $27^{2/3}={\left(\sqrt[3]{27}\right)}^2=3^2=9$. A treia: ${\left(\frac{1}{16}\right)}^{-3/4}=16^{3/4}={\left(\sqrt[4]{16}\right)}^3=2^3=8$. Deci $E=2+9-8=3$, răspunsul c.

Celelalte variante vin din greșeli tipice. Varianta a apare dacă se calculează $16^{3/4}=16\cdot \frac{3}{4}=12$: $2+9-12=-1$. Varianta b apare dacă $(0,25{)}^{-1/2}$ se ia egal cu $0,5$, adică se ia rădăcina fără a inversa baza: $0,5+9-8$. Varianta d provine din $(0,25{)}^{-1/2}=-0,5$ (exponentul negativ confundat cu semn negativ): $-0,5+9-8$. Varianta e vine din $27^{2/3}=27\cdot \frac{2}{3}=18$: $2+18-8$. Varianta f vine dintr-o greșeală de semn la scădere: $2+9+8$. La probleme de acest fel, primul pas este să scrii fiecare bază ca putere a unui număr prim ($0,25=2^{-2}$, $27=3^3$, $\frac{1}{16}=2^{-4}$), al doilea să aplici regulile exponenților, iar la final să verifici rezultatul prin înlocuire.

Greșeli frecvente

• Greșit: $16^{3/4}=(16/4{)}^3=64$.
  Corect: $16^{3/4}={\left(\sqrt[4]{16}\right)}^3=2^3=8$.
• Greșit: ${\left(\frac{1}{2}\right)}^3>{\left(\frac{1}{2}\right)}^2$, deoarece trei este mai mare decât doi.
  Corect: pentru baza subunitară ordinea se inversează, iar $\frac{1}{8}<\frac{1}{4}$.
• Greșit: $2^{-3}=-8$.
  Corect: exponentul negativ cere inversul, $2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$.
• Greșit: $(2+3{)}^{-1}=2^{-1}+3^{-1}$.
  Corect: $(2+3{)}^{-1}=5^{-1}=\frac{1}{5}$, iar $2^{-1}+3^{-1}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}$.

Înainte și după