Puteri, radicali și logaritmi — introducere

Puterea, radicalul și logaritmul sunt trei răspunsuri la întrebări diferite despre aceeași egalitate $a^x=b$. Dacă se cunosc baza și exponentul, rezultatul este puterea: $2^3=8$. Dacă se cunosc exponentul și rezultatul, baza se recuperează cu radicalul: $\sqrt[3]{8}=2$. Dacă se cunosc baza și rezultatul, exponentul se recuperează cu logaritmul: ${\log }_{2}8=3$. Fiecare operație are condiții proprii de existență: radicalul de ordin par cere radicandul nenegativ, iar logaritmul cere baza pozitivă și diferită de $1$ și argumentul strict pozitiv. De exemplu, ${\log }_{3}1=0$, deoarece $3^0=1$.

Logaritmul apare când necunoscuta este exponentul: din $2^x=10$ rezultă $x={\log }_{2}10$, un număr între $3$ și $4$, fiindcă $2^3=8<10<16=2^4$. Radicalul apare când necunoscuta este baza: din $x^3=8$ rezultă $x=2$. Puterile cu exponent fracționar leagă radicalul de putere: $8^{2/3}={\left(\sqrt[3]{8}\right)}^2=4$. Regulile fiecărei operații sunt aceleași, în forme diferite, iar condițiile de existență se verifică înaintea oricărui calcul.

Cele trei operații se află în aceeași familie de reguli. Puterea transformă adunarea exponenților în produs, logaritmul transformă produsul în sumă, iar radicalul păstrează produsul:

• $a^{x+y}=a^x\cdot a^y$ (putere, cu $a>0$);
• $\sqrt[n]{uv}=\sqrt[n]{u}\cdot \sqrt[n]{v}$ (radical, cu $u,v\ge 0$ la ordin par);
• ${\log }_a(uv)={\log }_{a}u+{\log }_{a}v$ (logaritm, cu $u,v>0$).

Radicalul de ordin $n$ este o putere cu exponent fracționar, $\sqrt[n]{u}=u^{1/n}$ pentru $u\ge 0$. Funcția exponențială $a^x$ și funcția logaritmică ${\log }_{a}x$ sunt inverse una alteia pentru $a>0$, $a\ne 1$. Prima primește orice număr real și produce valori pozitive; a doua primește doar valori pozitive. Din definiție rezultă ${\log }_a(a^x)=x$ pentru orice $x$ real și $a^{{\log }_{a}x}=x$ pentru $x>0$. Radicalul de ordin par desemnează rădăcina nenegativă, spre deosebire de o ecuație de putere pară, care poate avea două soluții: $x^2=9$ dă $x=\pm 3$, dar $\sqrt{9}=3$.

Un exemplu în care apar și puterea, și logaritmul este dobânda compusă. O sumă de $1000$ lei, cu dobândă de $5\%$ pe an, ajunge după $n$ ani la $1000\cdot 1,05^n$ lei: după $14$ ani sunt aproximativ $1980$ lei, iar după $15$ ani aproximativ $2079$ lei. Dublarea sumei cere $1,05^n=2$, adică $n={\log }_{1,05}2\approx 14,2$ ani.

Detaliile fiecărei operații sunt în lecțiile „Puteri cu exponent întreg și rațional”, „Radicali” și „Logaritmi”. Ecuațiile în care necunoscuta apare ca exponent, sub radical sau sub logaritm sunt tratate în lecțiile despre ecuații exponențiale, iraționale și logaritmice. Aici rămâne esențial un lucru: într-o expresie care combină operațiile, condițiile de existență se adună. Argumentul unui logaritm poate conține un radical, iar atunci radicandul trebuie să fie nenegativ și, în plus, expresia de sub logaritm strict pozitivă.

Alegerea operației inverse depinde de ce este necunoscut în egalitatea $a^x=b$:

• necunoscuta este $b$: se calculează puterea, $2^5=32$;
• necunoscuta este $a$ (la exponent $n$ dat): se folosește radicalul, iar din $x^5=32$ rezultă $x=\sqrt[5]{32}=2$;
• necunoscuta este exponentul: se folosește logaritmul, iar din $3^x=8$ rezultă $x={\log }_{3}8$, un număr între $1$ și $2$, fiindcă $3<8<9$.

Trecerea dintr-o formă în alta ușurează calculele. Avem $\sqrt[n]{a^m}=a^{m/n}$ pentru $a\ge 0$ și ${\log }_a\sqrt[n]{b}=\frac{1}{n}{\log }_{a}b$ pentru $b>0$, deoarece radicalul este o putere cu exponent $\frac{1}{n}$ și regula puterii din logaritm scoate exponentul în fața logaritmului.

Exemplu rezolvat. Rezolvăm ${\log }_2\sqrt{x-1}=2$.

1. Argumentul logaritmului trebuie să fie strict pozitiv, deci $\sqrt{x-1}>0$ și $x>1$.
2. Definiția logaritmului dă $\sqrt{x-1}=2^2=4$.
3. Pătrăm membrii nenegativi: $x-1=16$, deci $x=17$.
4. Valoarea respectă domeniul; verificarea este ${\log }_2\sqrt{16}={\log }_{2}4=2$.

Exemplu rezolvat. Calculăm $E=\sqrt[3]{-8}+2^{-2}+{\log }_3\sqrt{3}$.

1. Radicalul de ordin impar admite radicand negativ: $\sqrt[3]{-8}=-2$, deoarece $(-2{)}^3=-8$.
2. Puterea cu exponent negativ cere inversul: $2^{-2}=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}$.
3. Scriem $\sqrt{3}=3^{1/2}$, deci ${\log }_3\sqrt{3}=\frac{1}{2}$.
4. Adunăm: $E=-2+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=-\frac{5}{4}$.

Exemplu rezolvat. Calculăm ${\log }_2\sqrt[3]{16}$.

1. Scriem radicalul ca putere: $\sqrt[3]{16}=16^{1/3}={\left(2^4\right)}^{1/3}=2^{4/3}$.
2. Logaritmul unei puteri a bazei este exponentul: ${\log }_2{2}^{4/3}=\frac{4}{3}$.
3. Verificare: $2^{4/3}=\sqrt[3]{2^4}=\sqrt[3]{16}$.

Exemplu rezolvat. Determinăm domeniul expresiei ${\log }_3(x-2)+\sqrt{5-x}$.

1. Logaritmul cere $x-2>0$, adică $x>2$.
2. Radicalul de ordin $2$ cere $5-x\ge 0$, adică $x\le 5$.
3. Ambele condiții trebuie să fie îndeplinite simultan: $x\in (2;5]$.

Problemă. Soluția ecuației ${\log }_{2}x+{\log }_2(x-2)=3$ este:

a) $-2$ b) $4$ c) $\{-2;4\}$ d) $3$ e) $5$ f) $1+\sqrt{10}$

Domeniul cere $x>0$ și $x-2>0$, deci $x>2$. Combinăm logaritmii: ${\log }_2\left(x(x-2)\right)=3$, deci $x^2-2x=2^3=8$. Ecuația $x^2-2x-8=0$ se descompune în $(x-4)(x+2)=0$, cu rădăcinile $4$ și $-2$. Numai $4$ respectă domeniul, deoarece pentru $x=-2$ ar apărea ${\log }_2(-2)$, care nu există. Verificarea pentru $x=4$ dă ${\log }_{2}4+{\log }_{2}2=2+1=3$. Răspunsul corect este b. La un test cu variante, o strategie rapidă este să elimini mai întâi variantele din afara domeniului: a și c conțin pe $-2$, care nu verifică $x>2$. Apoi înlocuiești în ecuație valorile rămase, de pildă $x=3$ dă ${\log }_{2}3+{\log }_{2}1\approx 1,58\ne 3$.

Variantele greșite vin din greșeli obișnuite. Varianta a păstrează rădăcina $-2$, deși ea nu respectă domeniul, iar varianta c le păstrează pe ambele rădăcini. Varianta d scrie partea dreaptă ca $3$ în loc de $2^3$, deci $x^2-2x=3$. Varianta e adună argumentele în loc să le înmulțească: $x+(x-2)=2^3$. Varianta f inversează baza cu rezultatul și scrie $x^2-2x=3^2$.

Problemă. Valoarea expresiei $E=\sqrt[3]{-27}+4^{-1/2}\cdot {\log }_{2}8$ este:

a) $-9$ b) $-\frac{3}{2}$ c) $3$ d) $\frac{9}{2}$ e) $-1$ f) $-\frac{15}{2}$

Calculăm separat factorii: $\sqrt[3]{-27}=-3$, apoi $4^{-1/2}=\frac{1}{4^{1/2}}=\frac{1}{2}$ și ${\log }_{2}8=3$. Deci $E=-3+\frac{1}{2}\cdot 3=-\frac{3}{2}$, răspunsul b. Varianta a ia $4^{-1/2}=-2$, adică transformă exponentul negativ în semn al rezultatului. Varianta c uită inversul: $4^{1/2}=2$ și $-3+2\cdot 3=3$. Varianta d pierde semnul radicalului de ordin impar: $3+\frac{3}{2}$. Varianta e ia ${\log }_{2}8=4$, de unde $-3+\frac{1}{2}\cdot 4$. Varianta f calculează $\sqrt[3]{-27}$ ca $-27:3=-9$ și obține $-9+\frac{3}{2}$.

Greșeli frecvente

• Greșit: ${\log }_2(4+4)={\log }_{2}4+{\log }_{2}4=4$.
  Corect: regula este pentru produs; ${\log }_{2}8=3$, iar ${\log }_{2}4+{\log }_{2}4=2+2=4$ este alt număr.
• Greșit: în exemplul cu doi logaritmi se acceptă $x=-2$.
  Corect: ambii argumenți trebuie să fie pozitivi, deci candidatul se elimină.
• Greșit: $\sqrt[4]{16}=\pm 2$, pentru că $2^4=(-2{)}^4=16$.
  Corect: radicalul de ordin par desemnează rădăcina nenegativă, deci $\sqrt[4]{16}=2$; abia ecuația $x^4=16$ are soluțiile $\pm 2$.
• Greșit: $2^{{\log }_2(-4)}=-4$.
  Corect: ${\log }_2(-4)$ nu există, iar egalitatea $a^{{\log }_{a}x}=x$ este valabilă doar pentru $x>0$.

Înainte și după

Întrebări frecvente