Puteri cu exponent natural

O putere scrie mai scurt un produs de factori egali. Numărul care se repetă este baza, iar numărul de factori este exponentul: $3^4=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81$. Exponentul nu se înmulțește cu baza, deci $3^4\ne 3\cdot 4$. Se definesc $a^1=a$ și, pentru $a\ne 0$, $a^0=1$; expresia $0^0$ nu are sens. Puterile lui $10$ arată numărul de zerouri: $10^5=100000$, iar $2,5\cdot 10^3=2500$. Pătratele perfecte sunt $1;4;9;16;25;\dots$, iar cuburile perfecte sunt $1;8;27;64;125;\dots$

Pentru $m,n\in \mathbb{N}$ și baze nenule când se împarte, regulile de calcul sunt:

• $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ (aceeași bază: se adună exponenții);
• $a^m:a^n=a^{m-n}$, cu $m\ge n$;
• $(a^m{)}^n=a^{m\cdot n}$;
• $(a\cdot b{)}^n=a^n\cdot b^n$ și $(a:b{)}^n=a^n:b^n$.

Ele se verifică scriind factorii. Atenție: $(2^3{)}^2=2^6=64$, dar $2^{3^2}=2^9=512$, pentru că $3^2$ se calculează întâi. Regula nu se aplică sumei: $(2+3{)}^2=25$, iar $2^2+3^2=13$.

Semnul rezultatului depinde de exponent: o putere cu exponent par a unui număr negativ este pozitivă, iar una cu exponent impar este negativă. Așadar $(-2{)}^4=16$, $(-2{)}^3=-8$, dar $-2^4=-16$, fiindcă minusul nu face parte din bază.

Ridicarea la putere se efectuează înaintea înmulțirii și a adunării: $2+3\cdot 2^2=2+3\cdot 4=14$. Pentru orice $n\ne 0$ avem $1^n=1$ și $0^n=0$. Un pătrat perfect se termină numai cu una dintre cifrele $0;1;4;5;6;9$, deci $2027$ nu este pătrat perfect.

Puterile se compară aducându-le la aceeași bază sau la același exponent. Dacă baza este mai mare decât $1$, puterea mai mare are exponentul mai mare.

Exemplu rezolvat. Calculează $\frac{2^7\cdot 4^3}{8^3}$.

1. Scriem baza $2$ peste tot: $4=2^2$ și $8=2^3$. Atunci $4^3=2^6$ și $8^3=2^9$.
2. Numărătorul este $2^7\cdot 2^6=2^{13}$.
3. Câtul este $2^{13}:2^9=2^4=16$.

Verificare cu valorile numerice: $2^7=128$, $4^3=64$, $8^3=512$ și $128\cdot 64:512=16$.

Exemplu rezolvat. Care număr este mai mare, $2^{50}$ sau $3^{30}$?

1. Aducem la același exponent: $2^{50}=(2^5{)}^{10}=32^{10}$ și $3^{30}=(3^3{)}^{10}=27^{10}$.
2. La același exponent se compară bazele, iar $32>27$.
3. Prin urmare $2^{50}>3^{30}$.

Exemplu rezolvat. Ultima cifră a lui $7^{2026}$.

1. Ultimele cifre ale puterilor lui $7$ sunt $7;9;3;1$ și apoi se repetă din patru în patru.
2. Împărțim: $2026=4\cdot 506+2$, deci ultima cifră este a doua din grup.
3. Ultima cifră a lui $7^{2026}$ este $9$.

Greșeli frecvente

• Greșit: $3^4=3\cdot 4=12$.
  Corect: exponentul arată patru factori egali, $3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81$.
• Greșit: $(2+3{)}^2=2^2+3^2=13$.
  Corect: ridicăm suma la pătrat, $5^2=25$; distribuirea puterii este valabilă pentru produs, nu pentru sumă.
• Greșit: $(-2{)}^2=-4$.
  Corect: parantezele includ semnul în bază, deci $(-2)(-2)=4$.
• Greșit: $2^3\cdot 2^2=2^6$, pentru că $3\cdot 2=6$.
  Corect: la înmulțirea puterilor cu aceeași bază exponenții se adună, $2^3\cdot 2^2=2^5=32$.

Înainte și după