Partea întreagă și partea fracționară

Orice număr real $x$ se află între doi întregi consecutivi. Partea întreagă $[x]$ este cel mai mare întreg care nu depășește $x$, adică întregul din stânga lui pe axă: $[x]\le x<[x]+1$. Partea fracționară este $\{x\}=x-[x]$ și verifică $0\le \{x\}<1$. Din definiție rezultă $x=[x]+\{x\}$.

Pentru numerele pozitive, $[x]$ se obține tăind zecimalele: $[3,8]=3$ și $\{3,8\}=0,8$. Pentru numerele negative nu merge așa: $[-2,7]=-3$ și $\{-2,7\}=0,3$. Și numerele iraționale se încadrează între pătrate perfecte: $9<10<16$ dă $3<\sqrt{10}<4$, deci $[\sqrt{10}]=3$ și $\{\sqrt{10}\}=\sqrt{10}-3$.

Exemplu rezolvat. Pentru $x=-1,4$:

1. Încadrăm $-2\le -1,4<-1$.
2. Rezultă $[x]=-2$.
3. Calculăm $\{x\}=-1,4-(-2)=0,6$.

Partea întreagă este aproximarea prin lipsă a lui $x$ cu o unitate, iar $[10x]/10$ este aproximarea prin lipsă cu o zecime: pentru $\sqrt{2}$ obținem $[10\sqrt{2}]/10=1,4$. Iată proprietățile care se folosesc în calcule, pentru $x,y\in \mathbb{R}$ și $n\in \mathbb{Z}$:

• $[x]=x$ dacă și numai dacă $x\in \mathbb{Z}$, dacă și numai dacă $\{x\}=0$;
• $x-1<[x]\le x$;
• $[x+n]=[x]+n$ și $\{x+n\}=\{x\}$: adăugarea unui întreg mută numărul pe altă treaptă, dar nu schimbă partea fracționară;
• pentru $x\notin \mathbb{Z}$, $[-x]=-[x]-1$ și $\{-x\}=1-\{x\}$; pentru $x\in \mathbb{Z}$, $[-x]=-[x]$;
• $[x+y]=[x]+[y]$ dacă $\{x\}+\{y\}<1$, respectiv $[x+y]=[x]+[y]+1$ dacă $\{x\}+\{y\}\ge 1$.

Partea întreagă apare și la rotunjire: $[x+\frac{1}{2}]$ este întregul cel mai apropiat de $x$, iar jumătățile se rotunjesc în sus. Astfel $[2,6+0,5]=3$, $[2,4+0,5]=2$ și $[-1,5+0,5]=-1$. Tot cu ea se numără multiplii: între $1$ și $n$ sunt $[n/m]$ multipli ai lui $m\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, de pildă $[100/7]=14$ multipli ai lui $7$ între $1$ și $100$. Verificarea este directă: $14\cdot 7=98\le 100<105=15\cdot 7$.

Graficul lui $[x]$ are trepte: pe fiecare interval $[k;k+1)$ funcția are valoarea $k$, cu capătul stâng inclus și cel drept exclus. Graficul lui $\{x\}$ repetă pe fiecare interval $[k;k+1)$ segmentul de la $0$ (inclus) la $1$ (exclus). O ecuație cu parte întreagă se rezolvă cu echivalența $[f(x)]=k⟺k\le f(x)<k+1$, cu $k\in \mathbb{Z}$. O ecuație cu parte fracționară se rezolvă scriind $x=k+t$, cu $k=[x]\in \mathbb{Z}$ și $t=\{x\}\in [0;1)$.

Ecuația $\{x\}=a$ are soluții numai pentru $a\in [0;1)$, iar atunci soluțiile sunt $x=k+a$, cu $k\in \mathbb{Z}$. De exemplu, $\{x\}=0,3$ are soluțiile $\dots ;-1,7;-0,7;0,3;1,3;\dots$, iar $\{x\}=1,2$ nu are nicio soluție, fiindcă partea fracționară este mereu mai mică decât $1$.

Inegalitățile cu parte întreagă se reduc la inegalități fără parte întreagă, pentru $k\in \mathbb{Z}$:

• $[x]\ge k⟺x\ge k$ și $[x]>k⟺x\ge k+1$;
• $[x]<k⟺x<k$ și $[x]\le k⟺x<k+1$.

De pildă, $[x]\le 2$ înseamnă $x<3$, deoarece $[2,9]=2$, dar $[3]=3$. Atenție la capătul drept: la $[x]>3$ primul număr bun este $4$, nu orice număr mai mare ca $3$. Tot așa, $[2x-1]<3$ este echivalentă cu $2x-1<3$, deci cu $x<2$.

Exemplu rezolvat. Rezolvăm $[3x+1]=-2$.

1. Definiția transformă egalitatea în $-2\le 3x+1<-1$.
2. Scădem $1$: $-3\le 3x<-2$.
3. Împărțim la $3>0$ și obținem $x\in [-1;-\frac{2}{3})$.
4. Pentru $x=-1$, expresia din paranteze are valoarea $-2$; pentru $x=-\frac{2}{3}$ ar avea valoarea $-1$, de aceea capătul drept se exclude.

Exemplu rezolvat. Rezolvăm $[x]+2\{x\}=3,5$.

1. Notăm $k=[x]\in \mathbb{Z}$ și $t=\{x\}\in [0;1)$. Ecuația devine $k+2t=3,5$, deci $t=\frac{3,5-k}{2}$.
2. Condiția $0\le t<1$ dă $0\le 3,5-k<2$, adică $1,5<k\le 3,5$. Întregii cu această proprietate sunt $k=2$ și $k=3$.
3. Pentru $k=2$: $t=0,75$ și $x=2,75$. Pentru $k=3$: $t=0,25$ și $x=3,25$.
4. Verificare: $[2,75]+2\cdot 0,75=2+1,5=3,5$ și $[3,25]+2\cdot 0,25=3+0,5=3,5$.

Mulțimea soluțiilor este $\{2,75;3,25\}$.

Exemplu rezolvat. Calculăm $E=[\sqrt{10}]+[-\sqrt{10}]+\{\sqrt{10}\}+\{-\sqrt{10}\}$.

1. Numărul $\sqrt{10}$ nu este întreg, deoarece $3<\sqrt{10}<4$. Rezultă $[\sqrt{10}]=3$ și $[-\sqrt{10}]=-[\sqrt{10}]-1=-4$.
2. Pentru un număr neîntreg, $\{-x\}=1-\{x\}$, deci $\{\sqrt{10}\}+\{-\sqrt{10}\}=1$.
3. Adunăm: $E=3+(-4)+1=0$.

Verificare directă: $\{\sqrt{10}\}=\sqrt{10}-3$ și $\{-\sqrt{10}\}=-\sqrt{10}+4$; suma lor este $1$.

Greșeli frecvente

• Greșit: $[-2,7]=-2$ prin eliminarea zecimalelor.
  Corect: întregul care nu depășește numărul este $-3$.
• Greșit: $[0,7+0,8]=[0,7]+[0,8]=0$.
  Corect: suma este $1,5$, deci $[1,5]=1$; aici $\{0,7\}+\{0,8\}=1,5\ge 1$, deci apare $+1$.
• Greșit: $\{-2,7\}=0,7$, pentru că „se păstrează zecimalele”.
  Corect: $\{-2,7\}=-2,7-(-3)=0,3$; partea fracționară nu este niciodată negativă.
• Greșit: soluția lui $[3x+1]=-2$ este $x\in [-1;-\frac{2}{3}]$.
  Corect: la $x=-\frac{2}{3}$ se obține $[-1]=-1$, deci capătul drept este exclus: $x\in [-1;-\frac{2}{3})$.

Înainte și după

Întrebări frecvente