Metode de demonstrație

O demonstrație explică de ce concluzia rezultă din ipoteze pentru toate cazurile admise. Demonstrația directă pornește din ipoteză și ajunge la concluzie. Contrapoziția înlocuiește „dacă $p$, atunci $q$” cu „dacă nu $q$, atunci nu $p$”, echivalentă logic. Reducerea la absurd presupune negația concluziei și arată că duce la contradicție. Un contraexemplu este suficient pentru a respinge o afirmație universală, dar un exemplu nu o demonstrează. O afirmație de forma „$p$ dacă și numai dacă $q$” se demonstrează în ambele sensuri.

Exemplu rezolvat. Arătăm direct că suma a două numere pare este pară.

1. Scriem $a=2m$ și $b=2n$, cu $m,n\in \mathbb{Z}$.
2. Adunăm: $a+b=2m+2n=2(m+n)$.
3. Deoarece $m+n$ este întreg, suma are forma $2k$, deci este pară.

Metoda se alege după forma enunțului. Pentru o implicație, contrapoziția poate evita calcule dificile; pentru imposibilitatea existenței, reducerea la absurd este firească. Demonstrația prin cazuri împarte domeniul în situații care acoperă toate posibilitățile și se verifică fiecare. Pentru o echivalență se dovedesc ambele implicații sau se scrie un lanț de echivalențe, fiecare pas fiind reversibil. Inducția matematică, dezvoltată în Inducția matematică, este potrivită pentru afirmații indexate de numere naturale.

Exemplu rezolvat. Demonstrăm prin contrapoziție: dacă $n^2$ este par, atunci $n$ este par.

1. Contrapoziția este: dacă $n$ nu este par, atunci $n^2$ nu este par.
2. Presupunem că $n$ este impar, deci $n=2k+1$, cu $k\in \mathbb{Z}$.
3. Atunci $n^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1$, adică este impar.
4. Contrapoziția este dovedită, deci și enunțul inițial, care îi este echivalent.

La reducerea la absurd se păstrează ipotezele și se presupune adevărată negația concluziei. Dacă din această presupunere, împreună cu rezultate deja cunoscute, se ajunge la o propoziție falsă sau la contradicția cu o ipoteză, presupunerea este falsă, deci concluzia este adevărată.

Exemplu rezolvat. Demonstrăm prin reducere la absurd că $\sqrt{2}$ este irațional.

1. Presupunem contrariul: $\sqrt{2}=\frac{a}{b}$, cu $a,b\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Ridicăm la pătrat: $a^2=2b^2$.
2. În descompunerea în factori primi, exponentul lui $2$ din $a^2$ este par, fiindcă este dublul exponentului lui $2$ din $a$.
3. Exponentul lui $2$ din $2b^2$ este impar: este $1$ plus un număr par.
4. Același număr nu poate avea doi exponenți ai lui $2$ cu parități diferite. Contradicția arată că presupunerea este falsă, deci $\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}$.

Exemplu rezolvat. Demonstrăm prin cazuri că $n^3-n$ se divide cu $3$ pentru orice $n\in \mathbb{Z}$.

1. Scriem $n^3-n=(n-1)n(n+1)$, produsul a trei întregi consecutivi.
2. Orice întreg are una dintre formele $3k$, $3k+1$, $3k+2$, deci cazurile acoperă toate posibilitățile.
3. Dacă $n=3k$, factorul $n$ se divide cu $3$. Dacă $n=3k+1$, factorul $n-1=3k$ se divide cu $3$. Dacă $n=3k+2$, factorul $n+1=3k+3$ se divide cu $3$.
4. În fiecare caz produsul are un factor multiplu de $3$, deci este multiplu de $3$.

Exemplu rezolvat. Demonstrăm printr-un lanț de echivalențe că $\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$ pentru $a,b\ge 0$.

1. Înmulțim cu $2>0$: inegalitatea este echivalentă cu $a+b\ge 2\sqrt{ab}$.
2. Mutăm termenii: $a-2\sqrt{ab}+b\ge 0$, adică $(\sqrt{a}-\sqrt{b}{)}^2\ge 0$.
3. Ultima inegalitate este adevărată, fiindcă un pătrat este nenegativ.
4. Toți pașii sunt reversibili, deci inegalitatea inițială este adevărată; egalitatea are loc dacă și numai dacă $\sqrt{a}=\sqrt{b}$, adică $a=b$.

Exemplu rezolvat. Afirmația „$n^2+n+41$ este număr prim pentru orice $n\in \mathbb{N}$” este falsă. Pentru $n=0;1;2$ valorile sunt $41;43;47$, toate prime, dar trei exemple nu dovedesc nimic. Contraexemplul este $n=40$: $40^2+40+41=40\cdot 41+41=41\cdot 41=1681$, număr compus. Un singur contraexemplu infirmă o afirmație universală.

Scrie explicit ipoteza, concluzia și domeniul. La demonstrații de echivalență, rezolvă ambele sensuri. Dacă ridici la pătrat, împarți sau aplici o funcție, verifică dacă operația păstrează echivalența în condițiile date.

Problemă. Care este cel mai mic număr natural $n$ pentru care $n^2+n+41$ nu este număr prim?

• a) $39$
• b) $40$
• c) $41$
• d) $1681$
• e) $81$
• f) nu există un astfel de $n$

Rezolvare. Observăm că $n^2+n+41=n(n+1)+41$. Pentru $n=0;1;2;\dots ;39$ valorile sunt prime: de exemplu $41;43;47$ și $1601$ la $n=39$. Pentru $n=40$ obținem $40\cdot 41+41=41\cdot (40+1)=41^2=1681$, număr compus. Deoarece valorile anterioare sunt prime, cel mai mic $n$ cerut este $40$, deci răspunsul corect este b).

Variantele greșite au explicații precise. Varianta a) alege ultimul $n$ pentru care valoarea este prim, nu primul pentru care nu este. Varianta c) pornește de la factorizarea evidentă $41\cdot 42+41=41\cdot 43$, dar există un $n$ mai mic. Varianta d) dă valoarea expresiei, nu valoarea lui $n$. Varianta e) dă suma $n+41=81$. Varianta f) generalizează câteva verificări reușite, adică exact eroarea care duce la afirmații universale false.

Problemă. Demonstrăm prin contrapoziție: dacă $a,b\in \mathbb{Z}$ și $ab$ este impar, atunci $a$ și $b$ sunt impare. Contrapoziția este: dacă $a$ sau $b$ este par, atunci $ab$ este par. Dacă $a=2k$, atunci $ab=2(kb)$ este par; cazul $b$ par este simetric. Contrapoziția este adevărată, deci și enunțul inițial.

Greșeli frecvente

• Greșit: $n^2+n+41$ este prim pentru $n=0;1;2;3$, deci este prim pentru orice $n\in \mathbb{N}$.
  Corect: exemplele nu demonstrează un enunț universal; la $n=40$ valoarea este $1681=41^2$.
• Greșit: pentru a demonstra „dacă $n^2$ este par, atunci $n$ este par”, se demonstrează „dacă $n$ este par, atunci $n^2$ este par”.
  Corect: aceasta este reciproca; contrapoziția este „dacă $n$ este impar, atunci $n^2$ este impar”.
• Greșit: la reducerea la absurd se presupune contrariul ipotezei.
  Corect: se păstrează ipoteza și se presupune contrariul concluziei.
• Greșit: pentru $n^3-n$ se verifică cazurile $n=0$ și $n=1$ și demonstrația se consideră încheiată.
  Corect: cazurile $n=3k$, $n=3k+1$ și $n=3k+2$ acoperă toți întregii; $0$ și $1$ sunt doar două valori.

Înainte și după