Mulțimea numerelor reale

Pe axa numerelor întâlnești numere naturale, întregi, fracții și numere precum $\sqrt{2}$. Toate acestea sunt numere reale; mulțimea lor se notează $\mathbb{R}$. Mulțimile cunoscute se includ una în alta: $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$. Numerele care sunt în $\mathbb{R}$, dar nu în $\mathbb{Q}$, se numesc iraționale.

Nu forma scrierii decide singură categoria. $5=\frac{5}{1}$ este natural, întreg și rațional; $\sqrt{16}=4$ este rațional, deși are semnul radicalului. În schimb, $\sqrt{2}$ nu poate fi exprimat ca fracție de întregi. Pe axă, fiecare real corespunde unui punct și fiecare punct corespunde unui real. Aproximările zecimale te ajută să așezi numerele, dar nu înlocuiesc valoarea exactă.

Cu numerele reale se fac adunarea, scăderea, înmulțirea, împărțirea la un număr nenul și ridicarea la o putere întreagă, de exemplu $2^{-3}=\frac{1}{8}$. Fiecare real $x$ are un opus, $-x$, iar dacă $x\ne 0$ are și un invers, $\frac{1}{x}$: opusul lui $\sqrt{2}$ este $-\sqrt{2}$, iar inversul lui este $\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Trebuie totuși să respecți condițiile expresiilor: $\sqrt{x}$ există ca număr real numai când $x\ge 0$, iar împărțirea la zero rămâne imposibilă. Media geometrică a numerelor pozitive $a$ și $b$ este $\sqrt{ab}$; pentru $2$ și $8$ obținem $\sqrt{16}=4$, în timp ce media aritmetică este $5$. Media ponderată a numerelor $6$ și $9$, cu ponderile $1$ și $2$, este $\frac{1\cdot 6+2\cdot 9}{1+2}=8$.

Ecuația $x^2=a$ are două soluții opuse, $-\sqrt{a}$ și $\sqrt{a}$, când $a>0$; are soluția $0$ când $a=0$ și nu are soluții reale când $a<0$. Pentru o comparație, încadrezi un radical între pătrate perfecte sau compari puterile unor numere nenegative.

Exemplu rezolvat. Compară $\sqrt{10}$ cu $3$.

1. Ambele numere sunt nenegative.
2. Ridicăm la pătrat: $(\sqrt{10}{)}^2=10$, iar $3^2=9$.
3. Cum $10>9$, rezultă $\sqrt{10}>3$.

Valoarea rămâne exact $\sqrt{10}$; $3,16$ este doar o aproximație.

Exemplu rezolvat. Ordonează crescător numerele $-\sqrt{5};2;\frac{7}{3};-2,3$.

1. Numerele negative sunt mai mici decât cele pozitive, deci $-\sqrt{5}$ și $-2,3$ vin primele.
2. Între ele, comparăm $2,3$ cu $\sqrt{5}$: $2,3^2=5,29>5$, deci $2,3>\sqrt{5}$ și, schimbând semnele, $-2,3<-\sqrt{5}$.
3. Între pozitive, $\frac{7}{3}=2,33\dots >2$.

Ordinea este $-2,3<-\sqrt{5}<2<\frac{7}{3}$.

Relația de ordine din $\mathbb{R}$ are proprietăți pe care le folosești la inegalități. Pentru $a<b$ și orice $c\in \mathbb{R}$ avem $a+c<b+c$. Dacă $c>0$, atunci $ac<bc$; dacă $c<0$, atunci $ac>bc$, adică sensul se inversează. Dacă $a$ și $b$ au același semn și $a<b$, atunci $\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$. Pătrarea păstrează ordinea numai între numere nenegative: din $0\le a<b$ rezultă $a^2<b^2$ și $\sqrt{a}<\sqrt{b}$, dar $-3<2$, iar $(-3{)}^2=9>4=2^2$.

Adunarea și înmulțirea în $\mathbb{R}$ sunt comutative și asociative, au elementele neutre $0$ și $1$, iar înmulțirea se distribuie față de adunare. Din ele rezultă regula produsului nul: $ab=0$ dacă și numai dacă $a=0$ sau $b=0$. Așa se rezolvă o ecuație descompusă în factori: $(x-3)(x+4)=0$ are soluțiile $3$ și $-4$.

Pentru a compara două numere reale $a$ și $b$ ai trei căi. Studiezi semnul diferenței: $a<b$ dacă și numai dacă $b-a>0$. Compari pătratele, dacă numerele sunt nenegative. Introduci factorii sub radical: $2\sqrt{3}=\sqrt{12}$ și $3\sqrt{2}=\sqrt{18}$, iar din $12<18$ rezultă $2\sqrt{3}<3\sqrt{2}$. Alegi metoda care elimină radicalii cel mai repede.

Exemplu rezolvat. Demonstrăm că $\sqrt{5}-\sqrt{3}<\sqrt{3}-1$.

1. Adunând $\sqrt{3}+1$ în ambii membri, inegalitatea devine $\sqrt{5}+1<2\sqrt{3}$.
2. Ambii membri sunt pozitivi, deci pătrăm: $(\sqrt{5}+1{)}^2=6+2\sqrt{5}$, iar $(2\sqrt{3}{)}^2=12$.
3. Inegalitatea $6+2\sqrt{5}<12$ este echivalentă cu $\sqrt{5}<3$, adică cu $5<9$, adevărat.
4. Fiecare pas a fost o echivalență, deci inegalitatea inițială este adevărată.

Condițiile de existență ale unei expresii trebuie satisfăcute simultan, chiar dacă ulterior expresia se simplifică și pare definită într-un domeniu mai mare. Mulțimile soluțiilor se scriu ca intervale: paranteza pătrată include capătul finit, iar cea rotundă îl exclude; infinitul nu este un număr real și nu se include. Intersecția combină condiții simultane, iar reuniunea combină alternative.

Exemplu rezolvat. Determinăm domeniul real al expresiei $\frac{\sqrt{x+2}}{x-1}$.

1. Radicalul impune $x+2\ge 0$, deci $x\ge -2$.
2. Numitorul impune $x-1\ne 0$, deci eliminăm $x=1$.
3. Intersectăm condițiile și obținem $[-2;1)\cup (1;+\infty )$.
4. Capătul $x=-2$ este permis: radicalul devine $0$, iar numitorul rămâne nenul. Valoarea $x=1$ este interzisă, chiar dacă radicalul există acolo.

Exemplu rezolvat. Rezolvăm în $\mathbb{R}$ inecuația $3-2x\le 7$ și o intersectăm cu intervalul $(-5;0)$.

1. Scădem $3$ din ambii membri: $-2x\le 4$.
2. Împărțim la $-2<0$ și inversăm sensul: $x\ge -2$, adică $x\in [-2;+\infty )$.
3. Intersecția cu $(-5;0)$ cere $x\ge -2$ și $x<0$, deci $x\in [-2;0)$.
4. Verificăm un punct: la $x=-1$ avem $3-2\cdot (-1)=5\le 7$, adevărat. La $x=-3$ avem $9\le 7$, fals, iar $-3$ nu aparține mulțimii găsite.

Un radical se poate reprezenta exact pe axă, fără zecimale. Diagonala pătratului cu latura $1$ are lungimea $\sqrt{2}$, iar ipotenuza triunghiului dreptunghic cu catetele $1$ și $2$ are lungimea $\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$. Se așază compasul cu vârful în origine și se transportă lungimea pe axă.

Aproximările permit așezarea pe axă: dacă $a<\sqrt{2}<b$ cu $a=1,41$ și $b=1,42$, lungimea intervalului $[a;b]$ este $0,01$, iar valoarea exactă $\sqrt{2}$ se află în interior. Cu cât capetele sunt mai apropiate, cu atât aproximarea este mai bună.

Problemă. Câte numere întregi se află în intervalul $(-\sqrt{10};\sqrt{26})$?

• a) $7$
• b) $8$
• c) $9$
• d) $10$
• e) $11$
• f) $5$

Rezolvare. Din $3^2=9<10<16=4^2$ rezultă $3<\sqrt{10}<4$, deci $-4<-\sqrt{10}<-3$. Din $5^2=25<26<36=6^2$ rezultă $5<\sqrt{26}<6$. Întregii din interval sunt cei mai mari decât $-\sqrt{10}$ și mai mici decât $\sqrt{26}$, adică $-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5$. Sunt nouă, deci răspunsul corect este c).

Variantele greșite au cauze concrete. Varianta a) folosește $\sqrt{10}$ la ambele capete și numără doar $-3,\dots ,3$. Varianta b) crede că $\sqrt{26}<5$ și oprește lista la $4$, deși $5^2=25<26$. Varianta d) rotunjește $\sqrt{10}$ în sus la $4$ și numără și pe $-4$. Varianta e) rotunjește ambele capete în sus. Varianta f) numără numai întregii pozitivi $1,\dots ,5$.

Alt exemplu. Comparăm exact $\sqrt{7}+\sqrt{2}$ și $\sqrt{17}$. Ambele sunt pozitive. Pătratul primei expresii este $9+2\sqrt{14}$. Pentru a-l compara cu $17$, comparăm $\sqrt{14}$ cu $4$: deoarece $14<16$, avem $\sqrt{14}<4$. Rezultă $9+2\sqrt{14}<17$, deci $\sqrt{7}+\sqrt{2}<\sqrt{17}$. Încadrarea între pătrate perfecte și compararea pătratelor dau rezultatul exact, fără valori zecimale aproximative.

Alt exemplu. Aflăm cel mai mic număr natural $n$ cu $n>\sqrt{500}$. Căutăm pătratele perfecte din apropiere: $22^2=484<500<529=23^2$, deci $22<\sqrt{500}<23$. Numărul $22$ nu convine, fiindcă este mai mic decât $\sqrt{500}$, iar $23$ convine. Răspunsul este $n=23$.

Alt exemplu. Calculăm $(\sqrt{3}-2{)}^2+(\sqrt{3}+2{)}^2$. Desfacem fiecare pătrat: $3-4\sqrt{3}+4$ și $3+4\sqrt{3}+4$. Termenii cu radical se reduc, iar suma este $7+7=14$, un număr întreg, deși fiecare termen al sumei este irațional.

Greșeli frecvente

• Greșit: înmulțind $-2x<6$ cu $-1$, obținem $2x<-6$.
  Corect: sensul se inversează, deci $2x>-6$.
• Greșit: domeniul real al expresiei $\frac{\sqrt{x+2}}{x-1}$ include $x=1$, deoarece radicalul există acolo.
  Corect: numitorul se anulează la $x=1$, deci valoarea trebuie exclusă.
• Greșit: $\sqrt{x}$ este definit pentru orice real $x$.
  Corect: în $\mathbb{R}$ există $\sqrt{x}$ numai pentru $x\ge 0$; de exemplu $\sqrt{-4}$ nu este număr real.
• Greșit: din $-3<2$ rezultă $(-3{)}^2<2^2$.
  Corect: $9>4$; pătrarea păstrează ordinea numai între numere nenegative.
• Greșit: ecuația $x^2=7$ are soluția $x=\sqrt{7}$.
  Corect: are două soluții, $-\sqrt{7}$ și $\sqrt{7}$.

Înainte și după

Întrebări frecvente