Numere iraționale

Un număr rațional se poate scrie ca fracție $\frac{a}{b}$, cu $a,b$ întregi și $b\ne 0$. Există însă numere care nu se pot scrie astfel. Acestea sunt iraționale. Un exemplu este $\sqrt{2}$, lungimea diagonalei unui pătrat cu latura de o unitate. Alt exemplu este $\pi$, raportul dintre lungimea unui cerc și diametrul lui.

Să vedem de ce $\sqrt{2}$ nu este rațional. Presupunem că $\sqrt{2}=\frac{a}{b}$, cu fracția ireductibilă. Atunci $a^2=2b^2$, deci $a^2$ este par și, în consecință, $a$ este par: $a=2k$. Din $4k^2=2b^2$ rezultă $b^2=2k^2$, deci și $b$ este par. Fracția s-ar simplifica prin $2$, ceea ce contrazice ipoteza. Deci $\sqrt{2}$ este irațional.

Scrierea zecimală a unui irațional are nesfârșit de multe cifre și nu devine periodică. Prin contrast, $\frac{1}{3}=0,(3)$ este rațional: cifra $3$ se repetă. Un număr cu zecimale care se termină sau se repetă periodic este întotdeauna rațional. Semnul radicalului nu înseamnă automat „irațional”. $\sqrt{25}=5$ este natural, deci rațional; $\sqrt{2}$ este irațional. Pentru un număr natural $n$, $\sqrt{n}$ este rațional dacă și numai dacă $n$ este pătrat perfect; altfel este irațional.

În zecimale, un număr irațional poate fi dat doar prin aproximări. Scriem $1,41<\sqrt{2}<1,42$, deoarece $1,41^2=1,9881<2<2,0164=1,42^2$; $1,41$ este aproximare prin lipsă, iar $1,42$ prin adaos. Iraționalele se află pe axa numerelor, între valori raționale apropiate: $1<\sqrt{2}<2$, deoarece $1^2<2<2^2$. Când calculezi cu ele, păstrează forma exactă cu radical cât timp poți. Poți scoate factori de sub radical: $\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}$.

Suma dintre un rațional și un irațional este irațională, de exemplu $3+\sqrt{2}$. Produsul dintre un rațional nenul și un irațional este irațional, de exemplu $5\sqrt{2}$. Suma sau produsul a două iraționale poate fi însă rațional: $\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2$ și $(3+\sqrt{2})+(3-\sqrt{2})=6$.

Exemplu rezolvat. Stabilește dacă $\sqrt{36}$ și $\sqrt{10}$ sunt raționale.

1. $36=6^2$, deci $\sqrt{36}=6$ este rațional.
2. $3^2=9<10<16=4^2$, iar $10$ nu este pătrat perfect; $\sqrt{10}$ este irațional.
3. Totodată, $3<\sqrt{10}<4$.

Exemplu rezolvat. Scrie $\sqrt{50}$ în forma $a\sqrt{b}$ și încadrează-l între două numere naturale consecutive.

1. $\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}$, deci numărul este irațional.
2. Din $7^2=49<50<64=8^2$ obținem $7<\sqrt{50}<8$.
3. Din $7,07^2=49,9849<50<50,1264=7,08^2$ obținem o încadrare mai fină: $7,07<\sqrt{50}<7,08$.

Greșeli frecvente

• Greșit: $\sqrt{49}$ este irațional fiindcă apare un radical.
  Corect: $\sqrt{49}=7$, număr natural și rațional.
• Greșit: $\sqrt{2}=1,41$.
  Corect: scriem $\sqrt{2}\approx 1,41$; $1,41^2=1,9881\ne 2$.
• Greșit: $0,(7)$ este irațional fiindcă are infinit de multe zecimale.
  Corect: perioada repetată îl face rațional, egal cu $\frac{7}{9}$.
• Greșit: $\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$.
  Corect: $(\sqrt{2}+\sqrt{3}{)}^2=5+2\sqrt{6}\ne 5$, deci cele două numere sunt diferite.
• Greșit: $\pi =\frac{22}{7}$.
  Corect: $\frac{22}{7}$ este rațional, iar $\pi$ este irațional; $\frac{22}{7}=3,142857\dots$ este doar o aproximare a lui $\pi =3,14159\dots$.

Înainte și după