Numere întregi

Numerele naturale $0;1;2;\dots$ nu ajung când vrem să arătăm o temperatură sub zero sau o datorie. De aceea folosim și numere negative. Împreună cu zero și cu numerele naturale, ele formează numerele întregi, notate $\mathbb{Z}$. De exemplu, $-5;-1;0;2$ sunt întregi; $\frac{1}{2}$ nu este întreg.

Pe axa numerelor, zero desparte numerele negative de cele pozitive. Dacă mergi spre dreapta, numerele cresc: $-4<-2<0<3$. Două numere aflate la aceeași distanță de zero, dar în părți opuse, sunt opuse: $-3$ și $3$. Opusul lui zero este tot zero. Distanța față de zero se numește modul: $|-3|=3$ și $|3|=3$. Dacă $|x|=4$, numărul $x$ este $-4$ sau $4$. Dacă $x$ este întreg și $|x|<3$, atunci $x$ se află între $-3$ și $3$, deci $x\in \{-2;-1;0;1;2\}$.

Pentru a aduna numere cu același semn, aduni modulele și păstrezi semnul. Pentru semne diferite, scazi modulul mai mic din cel mai mare și păstrezi semnul numărului cu modulul mai mare. Scăderea înseamnă adunarea opusului: $a-b=a+(-b)$. Poți verifica un calcul cu numere întregi și prin pași pe axă.

Exemplu rezolvat. Dimineața sunt $-4^{\circ }\mathrm{C}$, iar temperatura crește cu $7^{\circ }\mathrm{C}$.

1. Pornim de la $-4$ pe axă.
2. Mergem șapte unități la dreapta: $-4+7=3$.
3. Temperatura finală este $3^{\circ }\mathrm{C}$.

Verificare: diferența dintre $3$ și $-4$ este $7^{\circ }\mathrm{C}$.

La produse cu factori nenuli, semnele egale dau rezultat pozitiv, iar semnele diferite dau rezultat negativ: $(-3)\cdot (-4)=12$. Dacă un factor este $0$, produsul este $0$. Aceeași regulă a semnelor se aplică împărțirii, dar numai când deîmpărțitul este multiplu al împărțitorului: $(-12):3=-4$ și $(-18):(-6)=3$, în timp ce $(-7):2$ nu este număr întreg. Împărțirea la zero nu are sens. Adunarea și înmulțirea sunt comutative și asociative, iar înmulțirea se distribuie față de adunare: $3\cdot (-5+2)=3\cdot (-5)+3\cdot 2=-9$.

Pentru puteri, $(-2{)}^2=4$ și $(-2{)}^3=-8$, dar $-2^2=-4$, deoarece parantezele schimbă baza puterii. O bază negativă dă rezultat pozitiv la exponent par și negativ la exponent impar; de aceea $(-1{)}^{101}=-1$.

Exemplu rezolvat. Calculează $-12+(-3)\cdot (-4)-8:(-2)$.

1. Întâi înmulțirea și împărțirea: $(-3)\cdot (-4)=12$ și $8:(-2)=-4$.
2. Expresia devine $-12+12-(-4)$.
3. Avem $-12+12=0$, apoi $0-(-4)=0+4=4$.

Rezultatul este $4$.

Exemplu rezolvat. Rezolvă în $\mathbb{Z}$ ecuația $x+9=2$.

1. Scădem $9$ din ambii membri: $x=2-9$.
2. Rezultă $x=-7$.
3. Proba: $-7+9=2$, deci soluția este corectă.

Greșeli frecvente

• Greșit: $-8>-3$ deoarece $8>3$.
  Corect: $-8$ este mai la stânga pe axă, deci $-8<-3$.
• Greșit: $5-(-2)=3$.
  Corect: scăderea opusului se transformă în adunare, $5+2=7$.
• Greșit: $(-3{)}^2=-9$.
  Corect: baza negativă se înmulțește cu ea însăși, $(-3)(-3)=9$; expresia fără paranteze $-3^2=-9$.
• Greșit: $|-7|=-7$.
  Corect: modulul este o distanță, deci $|-7|=7$.
• Greșit: $(-12):(-4)=-3$.
  Corect: semne egale dau cât pozitiv, deci $(-12):(-4)=3$.

Înainte și după