Numere reale și logică — introducere

Tema are două părți: mulțimile de numere și limbajul în care se raționează cu ele. Mulțimile se includ una în alta: $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$. Fiecare apare fiindcă o ecuație simplă nu are soluție în mulțimea dinainte: $x+3=0$ cere $\mathbb{Z}$, $2x=1$ cere $\mathbb{Q}$, iar $x^2=2$ cere $\mathbb{R}$. Numerele reale care nu sunt raționale se numesc iraționale, iar mulțimea lor este $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$.

Raționamentul lucrează cu propoziții, adică enunțuri care sunt adevărate sau false. Afirmația „pentru orice real, pătratul este nenegativ” este adevărată. Afirmația „pentru orice real, pătratul este pozitiv” este falsă, deoarece $0^2=0$. „Pentru orice” cere o justificare valabilă în toate cazurile, iar „există” cere cel puțin un exemplu din mulțimea dată. Fiecare idee are lecția ei: Mulțimea numerelor reale, Modulul unui număr real, Propoziții logice și conectori, Predicate și cuantificatori, Metode de demonstrație.

Mulțimile de numere. Avem $\mathbb{N}=\{0;1;2;\dots \}$, $\mathbb{Z}=\{\dots ;-2;-1;0;1;2;\dots \}$ și $\mathbb{Q}=\left\{\frac{a}{b}\mid a\in \mathbb{Z},b\in {\mathbb{Z}}^{\ast }\right\}$. Un număr este rațional dacă și numai dacă scrierea lui zecimală este finită sau periodică: $\frac{3}{4}=0,75$, iar $0,(27)=\frac{27}{99}=\frac{3}{11}$. Numerele iraționale au scrierea zecimală infinită și neperiodică, de exemplu $\sqrt{2}=1,4142\dots$.

Mulțimea $\mathbb{N}$ este închisă la adunare și înmulțire; $\mathbb{Z}$ este închisă și la scădere; $\mathbb{Q}$ este închisă și la împărțirea cu un număr nenul. Iraționalele nu sunt închise la operații: $\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2$ și $\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0$ sunt raționale. În schimb, dacă $r$ este rațional și $x$ irațional, atunci $r+x$ este irațional: din $r+x=q\in \mathbb{Q}$ ar rezulta $x=q-r\in \mathbb{Q}$, fals.

Exemplu rezolvat. Stabilim cea mai mică mulțime dintre $\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R}$ care conține fiecare număr: $a=\sqrt{2}\cdot \sqrt{8}$, $b=\sqrt{3}-\sqrt{12}$, $c=0,(27)$, $d=\sqrt{25}-\sqrt{49}$.

1. $a=\sqrt{16}=4$, deci $a\in \mathbb{N}$.
2. $b=\sqrt{3}-2\sqrt{3}=-\sqrt{3}$, iar $\sqrt{3}$ este irațional, deci $b\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$.
3. $c=\frac{3}{11}$, deci $c\in \mathbb{Q}$, dar $c\notin \mathbb{Z}$.
4. $d=5-7=-2$, deci $d\in \mathbb{Z}$, dar $d\notin \mathbb{N}$.

Trei dintre numere conțin radicali, dar ajung în trei mulțimi diferite: semnul radicalului nu decide categoria.

Limbajul matematic. O propoziție are o valoare de adevăr. Conectorii „non”, „și”, „sau”, „dacă…, atunci”, „dacă și numai dacă” construiesc propoziții compuse. Un predicat $P(x)$ devine propoziție când se fixează $x$ sau când se folosește $\forall$ ori $\exists$. O afirmație universală se respinge printr-un contraexemplu și se dovedește printr-un raționament valabil pentru orice element; una existențială se dovedește printr-un exemplu. Demonstrațiile pot fi directe, prin contrapoziție sau prin reducere la absurd.

O expresie are sens numai pentru valorile care respectă condițiile operațiilor ei: numitor nenul, radicand nenegativ la radicalii de ordin par. O implicație spune că adevărul ipotezei atrage adevărul concluziei, pe când o echivalență cere ambele implicații. Adunarea aceluiași număr în ambii membri și înmulțirea cu un număr nenul sunt transformări echivalente; ridicarea la pătrat nu este, fiindcă numerele opuse au același pătrat.

Exemplu rezolvat. Rezolvăm în $\mathbb{R}$ ecuația $\sqrt{x+2}=x$.

1. Radicalul impune $x\ge -2$, iar membrul stâng nenegativ impune suplimentar $x\ge 0$.
2. Pătrăm: $x+2=x^2$, adică $(x-2)(x+1)=0$.
3. Candidații sunt $2$ și $-1$. Al doilea nu respectă condiția $x\ge 0$.
4. Verificăm: $\sqrt{2+2}=2$. Soluția este $x=2$; ecuația obținută prin pătrare avea mai multe soluții decât cea inițială.

Exemplu rezolvat. Stabilim valoarea de adevăr a propozițiilor (i) $\exists x\in \mathbb{Z},2x=1$, (ii) $\exists x\in \mathbb{Q},2x=1$ și (iii) $\forall x\in \mathbb{R},x^2\ge x$.

1. În (i), ecuația dă $x=\frac{1}{2}$, care nu aparține lui $\mathbb{Z}$. Propoziția este falsă.
2. În (ii), același $x=\frac{1}{2}$ aparține lui $\mathbb{Q}$. Propoziția este adevărată.
3. În (iii), alegem $x=\frac{1}{2}$ și obținem $\frac{1}{4}<\frac{1}{2}$. Acest contraexemplu face propoziția falsă.

Ecuația $2x=1$ are aceeași soluție în (i) și (ii), dar valoarea de adevăr diferă, fiindcă s-a schimbat mulțimea în care căutăm.

Problemă. Câte dintre numerele $-\sqrt{9};\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}};\sqrt{2}+\sqrt{3};0,(6);\sqrt{18}-\sqrt{2};(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)$ sunt iraționale?

• a) $0$
• b) $1$
• c) $2$
• d) $3$
• e) $4$
• f) $5$

Rezolvare. Simplificăm fiecare număr. Avem $-\sqrt{9}=-3$, apoi $\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}=\sqrt{4}=2$ și $0,(6)=\frac{2}{3}$. Produsul $(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)=5-1=4$. Mai departe, $\sqrt{18}-\sqrt{2}=3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}$, irațional. Rămâne $\sqrt{2}+\sqrt{3}$: dacă ar fi rațional, atunci $(\sqrt{2}+\sqrt{3}{)}^2=5+2\sqrt{6}$ ar fi rațional, deci $\sqrt{6}$ ar fi rațional, fals, pentru că $6$ nu este pătrat perfect. Iraționale sunt două numere, deci răspunsul corect este c).

Variantele greșite vin din greșeli reale. Varianta b) reține numai suma $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ și uită că diferența $\sqrt{18}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}$ este tot irațională. Varianta d) numără și $0,(6)$, fiindcă are infinit de multe zecimale, deși sunt periodice. Varianta e) simplifică numai $\sqrt{9}$ și consideră iraționale celelalte patru numere cu radicali. Varianta f) numără toate numerele care conțin un radical. La un test cu variante, simplifică întâi fiecare număr și abia apoi hotărăște în ce mulțime se află.

Problemă. Stabilim valoarea de adevăr a propoziției $\forall x\in \mathbb{R},\sqrt{x^2}=x$ și scriem negația ei. Pentru $x=-3$ avem $\sqrt{(-3{)}^2}=\sqrt{9}=3\ne -3$, deci propoziția este falsă. Negația este $\exists x\in \mathbb{R},\sqrt{x^2}\ne x$ și este adevărată, cu martorul $x=-3$. Egalitatea corectă pentru orice real este $\sqrt{x^2}=|x|$, iar $\sqrt{x^2}=x$ are loc dacă și numai dacă $x\ge 0$. La o problemă cu șase variante a)–f), exact una este corectă: înlocuiește candidatul în enunțul inițial și elimină orice variantă care încalcă o condiție de existență, cum ar fi un radicand negativ sau un numitor nul.

Greșeli frecvente

• Greșit: din $x^2=9$ rezultă $x=3$.
  Corect: rezultă $x\in \{-3;3\}$, în lipsa unei condiții suplimentare.
• Greșit: dacă $x^2>x$ la $x=2$, atunci inegalitatea este adevărată pentru toți realii.
  Corect: un exemplu nu dovedește o afirmație universală; la $x=\frac{1}{2}$ avem $\frac{1}{4}<\frac{1}{2}$.
• Greșit: suma a două numere iraționale este irațională.
  Corect: $\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0$ este rațional.
• Greșit: $0,(9)<1$.
  Corect: $0,(9)=\frac{9}{9}=1$.
• Greșit: după pătrarea ecuației $\sqrt{x+2}=x$, ambele soluții $2$ și $-1$ rămân valabile.
  Corect: se verifică în ecuația inițială, iar $x=-1$ dă $\sqrt{1}=-1$, fals.

Înainte și după